高数 上册 习题课

第一章函数与极限

习题课

主要内容典型例题（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1、函数的定义函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)2、函数的性质(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo(2)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(3)函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(4旷)函数急的周括期性:oyx3、反百函数4、隐愈函数5、反护函数闯与直禁接函资数之才间的盼关系6、基份本初捆等函榜数1）幂函劈燕数2）指恨数函欣数3）对古数函热数4）三皆角函察数5）反浅三角来函数7、复罩合函培数8、初差等函则数由常陕数和趋基本舌初等彻函数技经过职有限遇次四蒜则运幼算和拳有限喊次的底函数傍复合旷步骤恐所构腿成并畅可用一个谱式子捎表示的函病数,称为初等戒函数.9、双奋曲函攀数与霞反双纹曲函浓数双曲密函数疫常用谜公式左右想极限两个悉重要极限求极砌限的咱常用清方法无穷徒小的性蚂质极限权存在宵的充要匆条件判定筛极限存在马的准羡则无穷俯小的茂比较极限敞的性聚质数列甜极限函纵数衡极且限等价箱无穷阵小及其桃性质唯一淹性无穷小两者迎的关系无穷大1、极摔限的格定义左极异限右极剪限无穷睬小:极限兆为零恭的变概量称植为无穷揪小.绝对揉值无刷限增写大的辈变量税称为无穷答大.无穷培大:在同转一过精程中,无穷该大的践倒数幻玉为无央穷小;恒不樱为零兰的无抢穷小再的倒伸数为灶无穷颈大.无穷闪小与者无穷嫩大的掉关系2、无替穷小转与无默穷大定理1在同杯一过捏程中,有限诉个无勒穷小府的代庸数和源仍是枯无穷宋小.定理2有界补函数朽与无杠穷小哲的乘禽积是溜无穷咸小.推论1在同蔬一过绘程中,有极松限的徒变量蠢与无钻穷小乔的乘叼积是位无穷锄小.推论2常数役与无吐穷小秀的乘撞积是长无穷莫小.推论3有限泼个无出穷小招的乘苹积也纳是无章穷小.无穷膨小的候运算戒性质定理推论1推论23、极躁限的抓性质4、求睁极限锅的常框用方井法a.多项间式与游分式脏函数膀代入点法求院极限;b.消去粉零因较子法虚求极类限;c.无穷捷小因馅子分倚出法晋求极饱限;d.利用她无穷芝小运社算性颂质求尾极限;e.利用弯左右般极限咏求分晒段函仁数极线限.5、判越定极吃限存倘在的贼准则(夹逼六准则)(1)(2)6、两昏个重健要极科限定义:7、无案穷小识的比创较定理(等价随无穷锈小替骡换定好理)8、等距价无画穷小与的性舅质9、极支限的莲唯一启性左右客连续在区摊间[a元,b青]上连邻续连续凝函数的荒性在质初等下函数的连洒续性间断白点定姻义连建续胶定客义连续乒的充要垄条件连续目函数弃的运算敬性质非初偏等函击数的连济续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连炒续的渣定义定理3、连辰续的家充要糕条件2、单狗侧连腥续4、间狡断点盯的定衔义(1袍)跳跃敞间断菠点(2奖)可去暂间断汤点5、间材断点易的分扒类跳跃珠间断像点与钻可去摇间断尘点统奴称为第一狼类间晶断点.特点:可去今型第一粮类间再断点跳跃抬型0yx0yx0yx无穷婆型振荡姐型第二诞类间窝断点0yx第二说类间另断点6、闭镜区间盼的连壮续性7、连喝续性喂的运院算性彻质定理定理1严格校单调犯的连趟续函拿数必逝有严疾格单冠调的鼠连续格反函晨数.定理28、初彩等函位数的展连续努性定理3定理4基本按初等穗函数恳在定政义域询内是渡连续句的.定理5一切塘初等野函数澡在其定义旋区间内都牺是连责续的.定义讯区间醒是指副包含技在定朱义域恒内的婚区间.9、闭胖区间哑上连清续函堪数的郑性质定理1(最大屿值和俯最小略值定伏理)在闭辣区间缺上连缎续的惰函数耳一定掠有最形大值拼和最龙小值.定理2(有界智性定奔理)在闭沟区间羽上连示续的核函数罪一定退在该育区间俭上有时界.推论在闭