高一数学必修1各章知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结

集A的补集，记作A'一、集合与函数概念1.集合的含义：集合是由一些确定的元素构成的整体。2.集合的元素特性：确定性、互异性、无序性。3.集合的表示方法：列举法、描述法、语言描述法、Venn图。4.集合的分类：有限集、无限集、空集。二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集：A包含于B，记作A⊆B。2.“相等”关系：A=B表示A和B的元素相同。3.真子集：A是B的子集但不等于B，记作A⊂B。4.空集：不含任何元素的集合，记为Φ。三、集合的运算1.交集：由属于A且属于B的元素组成的集合，记作A∩B。2.并集：由属于A或属于B的元素所组成的集合，记作A∪B。3.补集：由S中不属于A的元素组成的集合，记作A'。集合A的补集记作C(S-A)，表示集合S中所有不属于A的元素组成的集合。集合S由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，称为A,B的交集，记作A∩B。韦恩图可以用来表示集合的运算，如(C∪A)∩(C∪B)=C∪(A∪B)，(C∪A)∪(C∪B)=C∪(A∩B)，A∪(C∪A)=U，A∩(C∪A)=Φ，A∩A=A，A∩Φ=Φ，A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∪A=A，A∪Φ=A，A∪B=B∪A，A∪B⊆A，A∪B⊆B。例题：1.能构成集合的是A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书。2.集合{a，b，c}的真子集共有7个。3.集合M={y|y=x-2x+1,x∈R}∩{x|x≥0}。4.若A⊆B，且A={x|1<x<a}，B={x|0<x<2}，则a的取值范围是(1,2)。5.两种实验都做对的有67人。6.阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M可以用{x|0≤x≤2,1≤y≤2-x}来描述。7.当m∈(3,4)时，B∩C≠Φ，A∩C=Φ。函数是指集合A到集合B的一个映射关系，记作y=f(x)，其中x为自变量，A为函数的定义域，f(x)为函数值，{f(x)|x∈A}为函数的值域。在求函数的定义域时，需要注意分式的分母不能为零，偶次方根的被开方数不能小于零，对数式的真数必须大于零，指数、对数式的底必须大于零且不等于1。)成立，则称函数y=f(x)在区间D上是增函数。（2）减函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)成立，则称函数y=f(x)在区间D上是减函数。2.函数的奇偶性(全局性质)（1）奇函数如果对于函数y=f(x)，对于任何x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数y=f(x)是奇函数。（2）偶函数如果对于函数y=f(x)，对于任何x∈D，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数y=f(x)是偶函数。3.函数的周期性(全局性质)如果存在一个正数T，使得对于函数y=f(x)，对于任何x∈D，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数y=f(x)是周期函数，T称为函数的周期。单调性是函数的一种局部性质。如果函数y=f(x)在区间D上任意两个自变量的值x1和x2满足x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间D称为y=f(x)的单调增区间。如果对于区间D上任意两个自变量的值x1和x2满足x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数，区间D称为y=f(x)的单调减区间。函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数时，就具有单调性。在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。判定函数单调性的方法有定义法、图象法和复合函数的单调性。定义法是通过计算差f(x)-f(x)的正负来判断函数在给定区间上的单调性。图象法则是从函数的图象上看升降。复合函数的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律是“同增异减”。函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间合并成其并集。函数的奇偶性是函数的一种整体性质。如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函数。如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。判断函数奇偶性的步骤是首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称，然后确定f(-x)与f(x)的关系，最后作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。首先需要检查函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶函数。如果对称，可以通过以下方法判断函数的奇偶性：（1）根据定义判定；（2）利用f(-x)±f(x)=或f(x)/f(-x)=±1来判定；（3）利用定理或者函数的图像来判定。9、函数的解析表达式（1）函数的解析式是一种表示函数的方法，需要确定两个变量之间的函数关系，并确定函数的定义域。（2）求函数的解析式的主要方法有：（1）凑配法；（2）待定系数法；（3）换元法；（4）消参法。10、函数最大（小）值函数的最大（小）值可以通过以下方法求解：（1）利用二次函数的性质（配方法）；（2）利用函数的图像；（3）通过函数单调性来判断函数的最大（小）值。如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。例题：1.求下列函数的定义域：⑴y=(x^2-2x-15)/(x+3)：x≠-3⑵y=1-(x-1)^2/[(x+1)(x+3)-3]：x≠-1,-32.设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x^2)的定义域为[0,1]。3.若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-3,4)。4.函数f(x)的解析式为：f(x)=x+2(x≤-1)；f(x)=x^2(-1<x<2)；f(x)=2x(x≥2)。5.求下列函数的值域：⑴y=x^2+2x-3：y≥-4⑵y=x^2+2x-3：1≤y≤2⑶y=x-1-2x：y∈R⑷y=-x^2+4x+5：y≤66.已知函数f(x-1)=x^2-4x，求函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)^2-4。7.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+4，则f(2x+1)的解析式为f(2x+1)=(3x+5)/2。8.设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=x(1+3x)，则当x∈(-∞,0)时，f(x)在R上的解析式为f(x)=-x(1-3x)。9.求下列函数的单调区间：⑴y=x^2+2x+3：无单调区间⑵y=-x^2+2x+3：(-∞,1]和[1,+∞)⑶y=x^2-6x-1：(-∞,3]和[3,+∞)10.函数y=-x^3+1的单调性为：在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果$x=a^n$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根，其中$n>1$，且$n\inN$。负数没有偶次方根；任何次方根都是正数，记作$n\sqrt[n]{a}$。当$n$是奇数时，$n\sqrt[n]{a}=a$，当$n$是偶数时，$n\sqrt[n]{a}=|a|$。2.分数指数幂：正数的分数指数幂的意义规定为：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$，其中$a>0,m,n\inN^*,n>1$。$a^{-m/n}=\dfrac{1}{a^{m/n}}$。正分数指数幂等于根式，负分数指数幂没有意义。3.实数指数幂的运算性质：（1）$a^r\cdota^s=a^{r+s}$，其中$a>0,r,s\inR$；（2）$(a^r)^s=a^{rs}$，其中$a>0,r,s\inR$；（3）$(ab)^r=a^r\cdotb^r$，其中$a>0,b>0,r\inR$；（4）$\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$，其中$a>0,r,s\inR$。（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域为$R$。注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。2.指数函数的图象和性质：当$a>1$时，函数图象在$R$上单调递增，定义域为$R$，值域为$y>0$，非奇非偶函数，函数图象都过定点$(0,1)$。当$0<a<1$时，函数图象在$R$上单调递减，定义域为$R$，值域为$y>0$，非奇非偶函数，函数图象都过定点$(0,1)$。注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在$[a,b]$上，$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）的值域是$[f(a),f(b)]$或$[f(b),f(a)]$；（2）若$x\neq0$，则$f(x)\neq1$；$f(x)$取遍所有正数当且仅当$x\inR$；（3）对于指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$），总有$f(1)=a$。二、对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果$a=N$（$a>0$且$a\neq1$），那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_aN$（$a$—底数，$N$—真数，$\log_aN$—对数式）。说明：（1）注意底数的限制$a>0$，且$a\neq1$；（2）$x=\log_aN$的充分必要条件是$a^x=N$；（3）注意对数的书写格式。两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数$\log_{10}N$；（2）自然对数：以无理数$e=2.71828\ldots$为底的对数$\lnN$。指数式与对数式是数学中非常重要的概念，它们之间有着密切的联系。指数式的底数和指数可以通过对数式互相转化。例如，当ab=N时，可以表示为logaN=b。这是指数式和对数式的互化。对数式有着许多运算性质。当a>1且a≠1，M>0，N>0时，有以下运算性质：①loga(M·N)=logaM+logaN；②loga(M/N)=logaM-logaN；③loga(Mn)=n·logaM(n∈R)。此外，还有换底公式，即当a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0时，有logab=logcb/logca。对数函数是指数函数的逆函数，记为y=logax(a>0且a≠1)。对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为R，且在R上递增。其图像都过点(1,0)。幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数。幂函数的定义域为(0,+∞)，值域为R。当α>1时，幂函数的图像在[,+∞)上递增且下凸；当0<α<1时，幂函数的图像在[,+∞)上递增且上凸；当α<0时，幂函数的图像在(0,+∞)上递减。幂函数的图像都过点(1,1)。练习题：1.已知a>0，a≠1，函数y=a与y=loga(-x)的图像只能是（B）。A.两个函数的图像都在第一象限B.函数y=a的图像在第一象限，函数y=loga(-x)的图像在第二象限C.函数y=a的图像在第二象限，函数y=loga(-x)的图像在第一象限D.两个函数的图像都在第二象限2.计算：①log32；②24+log23；③0.064-(-7)+[(-2)³]-½+.01。3.函数y=log1/(2x-3x²+1)的递减区间为2/3<x<1。第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数$y=f(x)$$(x\inD)$，使$f(x)=0$成立的实数$x$叫做函数$y=f(x)$$(x\inD)$的零点。2、函数零点的意义：函数$y=f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数根，也就是函数$y=f(x)$的图像与$x$轴交点的横坐标。即：方程$f(x)=0$有实数根$\Leftrightarrow$函数$y=f(x)$的图像与$x$轴有交点$\Leftrightarrow$函数$y=f(x)$有零点。3、函数零点的求法：1.代数法：求方程$f(x)=0$的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数$y=f(x)$的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。4、二次函数的零点：二次函数$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$。（1）$\Delta>0$，方程$ax^2+bx+c=0$有两不等实根，二次函数的图像与$x$轴有两个交点，二次函数有两个零点。（2）$\Delta=0$，方程$ax^2+bx+c=0$有两相等实根，二次函数的图像与$x$轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。（3）$\Delta<0$，方程$ax^2+bx+c=0$无实根，二次函数的图像与$x$轴无交点，二次函数无零点。5、函数的模型收集数据$\rightarrow$画散点图$\rightarrow$不符合实际$\rightarrow$选择函数模型$\rightarrow$求函数模型$\rightarrow$检验$\rightarrow$符合实际。4.若函数$f(x)=\log_ax$$(a<x<1)$在区间$[a,2a]$上的最大值是最小值的$3$倍，则$a=$。5.已知$f(x)=\log_{1+x}\frac{a}{1-x}$$(a>0$且$a\neq1)$，（1）求$f(x)$的定义域；（2）求使$f(x)$有意义的$x$的取值范围。第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1.函数零点的定义：对于函数$y=f(x)$$(x\inD)$，使$f(x)=0$成立的实数$x$叫做函数$y=f(x)$$(x\inD)$的零点。2.函数零点的意义：函数$y=f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数根，也就是函数$y=f(x)$的图像与$x$轴交点的横坐标。即：方程$f(x)=0$有实数根$\Leftrightarrow$函数$y=f(x)$的图像与$x$