湖南省长沙市艺方中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

湖南省长沙市艺方中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,,若，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知＜x＜，则tan为A.

B.

C.2

D.参考答案：A略3.如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：C【分析】由题意得，，从而，，取中点，连结，，从而平面，延长至点，使，连结，，，则四边形为正方形，即有，从而（或其补角）即为异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．【详解】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．4.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：B5.圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（）A． B． C．k≥2 D．参考答案：B【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx﹣y﹣3=0的距离d=，即，∴k2+1≥9，即k2≥8，∴k或k，∴圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是k，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要的条件的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．6.已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

，其中真命题是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.若，则（

） 参考答案：C8.在等差数列中，，则的前11项和（

）A．132

B．66

C.48

D．24参考答案：A设等差数列的公差为，则，，，，故选A.

9.设，，，则，，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：因为，，，所以．故选D．考点：指数函数与对数函数的性质．10.已知a,b是不共线的向量，=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R），则A、B、C共线的充要条件是（

）

A、λ+μ=1

B、λ-μ=1

C、λμ=1

D、λμ=-1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}的前n项和为Sn＝3?2n（n∈N+），数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn．若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝_____．参考答案：17或18【分析】利用Sn和an的关系求出，根据条件列出方程组，求出b1和d，由此求得{bn}的通项公式，根据通项公式得到b18＝0，由此即可求出Tn取最大值时n的值.【详解】数列{an}前n项和为Sn＝3?2n（n∈N+），所以，，，设数列{bn}的公差为d，且b2＝a5，b10＝S3，则，解得：b1＝51，d＝﹣3，所以，bn＝51﹣3(n﹣1)＝54﹣3n，当n＝18时，b18＝0，故Tn取最大值时n＝17或18．故答案为：17或18.【点睛】本题考查Sn和an的关系以及等差数列前n项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n项和取得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.12.某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，则

，

．参考答案：，13.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（）=

▲

．参考答案：14.给出下列命题：①抛物线的准线方程是；②在进制计算中，③命题：“”是真命题；④已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是

个。参考答案：4①抛物线的标准方程为，所以其的准线方程是，正确；②在进制计算中，③命题：“”是真命题，错误。或；④已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位，正确；⑤因为在上单调递增，所以，，所以M＋m=4027。15.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.参考答案：【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

16.等比数列{an}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，则a3=．参考答案：【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意，{an}是等比数列，a1=﹣2，设出公比q，表示出a5=﹣4，建立关系，求q，可得a3的值【解答】解：由题意，{an}是等比数列，a1=﹣2，设公比为q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，则那么a3=故答案为．【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用17.直线的倾斜角为，则的值是___________参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数。（I）求函数的单调区间；（II）设，求函数在区间上的最小值。参考答案：19.（本小题满分12分）直三棱柱中，，，点D在线段AB上.（I）若平面，确定D点的位置并证明；（II）当时，求二面角的余弦值.参考答案：

所以AC1∥平面B1CD．

………4分（Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．

则B(6,0,0)，A(0,8,0)，A1(0,8,8)，B1(6,0,8)．设D(a,b,0)（，），…5分因为点D在线段AB上，且，即．所以．…7分所以，． 平面BCD的法向量为．设平面B1CD的法向量为，由，，得，所以，．

…10分

设二面角的大小为，．所以二面角的余弦值为．……………12分20.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.参考答案：（2）试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.21.（本小题满分13分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为(其中)．△的面积为,以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列,求的取值范围．参考答案：（13分）（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

2分设其方程为，可知，，则，

3分所以点Q的轨迹的方程为．

4分(Ⅱ)设直线的方程为，，由可得，由韦达定理有：

且

6分∵构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：．∵，．

8分此时，即．又由三点不共线得，从而．故

10分∵

则为定值．

12分∴∴当且仅当时等号成立．综上：的取值范围是．

13分22.已知函数与函数且图象关于对称（Ⅰ）若当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数最小值．参考答案：（Ⅰ）且；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的解析式为，进而得到，再利用对数函