重庆璧山实验中学高三数学理下学期期末试题含解析

重庆璧山实验中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起后所在的平面记为，，设与所成的角分别为均不为0．若，则点的轨迹为（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线参考答案：B略2.把下列各题中的“=”全部改成“”，结论仍然成立的是

（

）A、如果，那么；

B、如果，那么；

C、如果，且，那么；D、如果，那么

参考答案：D3.在同一直角坐标系下，已知双曲线的离心率为，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数的图象向右平移单位后得到曲线D，点A、B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段AB长度的最小值为（

）A.2 B. C. D.1参考答案：D【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数，．再画出曲线的图象和双曲线的图象，观察图象可得解．【详解】解：因为离心率为，所以该双曲线是等轴双曲线，可设方程为所以，故焦点，渐近线，取到的距离为2，得，解得．所以双曲线方程为．函数的图象向右平移单位后得到曲线的方程为：．同一坐标系做出曲线、的图象：由图可知，当点为与轴的交点，点为双曲线的下顶点时，最小为1．故选：．【点睛】本题考查了双曲线方程的求法和三角函数的图象变换．同时考查了利用数形结合解决问题的能力．属于中档题．4.已知x，y满足，若目标函数z=y﹣x的最小值是﹣4，则k的值为（）A． B．﹣3 C． D．﹣2参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，若z=y﹣x的最小值为﹣4，即y﹣x=﹣4，即y=x﹣4，则不等式对应的区域在y=x﹣4的上方，先作出对应的图象，由得，即C（4，0），同时C（4，0）也在直线kx﹣y+2=0上，则4k+2=0，得k=，故选：C．5.若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D∵集合有且只有一个元素，∴，∴实数的取值范围为.故选：D6.已知函数的图像恒过一个定点P，且过点P在直线上，则的值是A.1

B.2

C.

8

D.

4参考答案：B7.已知，实数满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（

）A． B. C. D.参考答案：D8.将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后的函数图象关于直线对称，则实数的最大值为A． B． C． D．参考答案：D9.设定义在上的奇函数，满足对任意都有，且时，，则的值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为，即………………①又因为函数是奇函数，即…………②所以由①②得：，所以函数的周期为2，所以，因此选C。10.复数满足，则复数的实部与虚部之差为 A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图，在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为

．参考答案：512.的二项展开式中含的项是

（的系数用数值表示）．参考答案：13.若向量相互垂直，则的最小值为________________．参考答案：6略14.若函数是奇函数，则______．参考答案：-3略15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

。

参考答案：略16.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______．参考答案：-5

不等式组表示的平面区域如图所示

由得，

求的最小值，即求直线的纵截距的最大值

当直线过图中点时，纵截距最大由解得点坐标为，此时

17.函数y＝－(x－3)x的递增区间是________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前n项和为，且满足.(1)求及；(2)若，求的前2n项的和.参考答案：（1）由得，，即，所以.

（2分）又，所以以2为首项，2为公差的等差数列.所以，故.

（4分）所以当时，，所以.

（5分）（2）由（1）知，所以，

（9分），所以.

（12分）19.（12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】：复合命题的真假．【专题】：规律型．【分析】：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围．解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，则a，即q：a．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足，即a＞2，∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【点评】：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧．20.右面茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.(1)如果x＝6，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果x＝7，从学习次数大于7的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率.参考答案：解:(1)当x＝6时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：6，7，8，11，所以平均数为x－＝＝8，方差为s2＝[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(11－8)2]＝.(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，11，12；乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B1，B2，他们去图书馆学习次数依次为8，11；从学习次数大于7的学生中选两名学生，所有可能的结果有10个，它们是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2用事件C表示：“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：A1B2，A2B2，A3B1，A3B2，故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为P(C)＝＝.21.已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：（其中f′（x）是f（x）的导函数）．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m≤2lnx﹣x2，利用导数求出g（x）=2lnx﹣x2在上的最大值得答案；（2）由f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，把两根代入方程后作差得到，求得，然后令换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案．【解答】（1）解：由，得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max．令g（x）=2lnx﹣x2，则，∵x∈，故g′（x）=0时，x=1．当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=﹣1，∴m≤﹣1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则，两式相减得，又，则，要证，即证明，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明在0＜t＜1上恒成立，∵，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知．故，即成立．22.在如右图的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，∥，，，．⑴求证：平面；⑵求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案：解：（1）证明：因为，在△中，由余弦定理可得．所以．所以．因为，，、平面，所以平面．…5分（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．取的中点，连结，，因为是