新人教版高中数学教材例题课后习题必修一5．6函数y=Asin（ωxφ）

第五章三角函数5．6函数例1画出函数的简图.解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图所示.下面用“五点法”画函数在一个周期（）内的图象.令，则.列表（表），描点画图（图）.表X0xy020-20例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）.分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，.（2）当时，.所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过min后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，.当（或），即（或）时，h的最大值为.所以，甲、乙两人距离地面高度差的最大值约为7.2m.练习1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析（4）作图见解析【解析】【分析】（1）将的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的得到图像.（2）将的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的得到图像.（3）将的图像向右平移个单位得到图像.（4）将的图像向右平移个单位，纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的得到图像.【详解】各函数的简图分别如图：【点睛】本题考查了利用三角函数的平移和伸缩变换得到函数图像，意在考查学生对于三角函数图像的理解和掌握.2.已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）.A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向左平行移动个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的平移得到答案.【详解】把的图像向右平移个单位长度，得到的图像.故选：【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于简单题.3.已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点A.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变.B.横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变.C.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变.D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.【答案】B【解析】【分析】根据两函数解析式的特点，可以分析出这种变换是周期变换，所以按照正弦型函数的周期变换的特点，从四个选项中选出正确的答案.【详解】函数的图象为，通过变换得到函数的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的变为，因此只需横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变即可，故本题选B.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期变换，通过解析式之间的关系，判断出哪种变换或哪几种变换是解题的关键.4.已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的伸缩变换得到答案.【详解】把的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）得到的图像.故选：【点睛】本题考查了三角函数的伸缩变换，属于简单题.5.函数的图象与正弦曲线有什么关系？【答案】详见解析【解析】【分析】根据三角函数的平移变换和伸缩变换得到答案.【详解】的图像可以通过正弦曲线的平移、伸缩而得到.的图像向右平移个单位得到的图像；横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到的图像；纵坐标缩短为原来的，横坐标不变得到的图像.【点睛】本题考查了三角函数的平移和伸缩变换，意在考查学生对于函数变换的掌握.6.函数，的图象与正弦曲线有什么关系？【答案】详见解析【解析】【分析】直接根据三角函数的平移得到答案.【详解】把的图像向左平移个单位长度，再只保留的部分图像，即可得到，的图像.【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于函数图像平移的理解.习题5．6复习巩固1．选择题7.为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律确定选项.【详解】因为向左平行移动个单位长度得，故选：C【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.8.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数的图象．故选：．9.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律确定选项.【详解】因为纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到故选：D【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.10.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.【解析】【分析】根据五点作图法分别作四个函数在一个周期的闭区间上的简图.【详解】(1)040-40描点连线得如图①，(2)00描点连线得如图②，(3)030-30描点连线得如图③，(4)20-202描点连线得如图④，【点睛】本题考查根据五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.11.说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）：（1）；（2）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先根据三角函数图象变换得图象，再根据定义域去掉不满足的部分，即得结果；（2）先根据三角函数图象变换得图象，再根据定义域去掉不满足的部分，即得结果【详解】（1）先将正弦曲线上所有点向右平移个单位长度，得到的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到的图象；然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到的图象；最后将所得函数的图象在y轴左侧的部分去掉，就得到的图象.（2）先将正弦曲线上所有点向左平移个单位长度，得到的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；然后将所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），得到的图象；最后将所得函数的图象在y轴左侧的部分去掉，就得到的图象.【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析求解能力，属基础题.综合运用12.函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________．【答案】【解析】【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式．【详解】由图象可知，，，，三角函数的解析式是函数的图象过,，把点的坐标代入三角函数的解析式，，又，，三角函数的解析式是.故答案为：.13.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，求的解析式.【答案】【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律得结果.【详解】将函数的图象向左平移后得到,所以【点睛】本题考查根据三角函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中．【答案】【解析】【分析】由题意可以先写出秒针转过的角度，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果．【详解】设，过点作，垂足为，则，即，当时，，；当时，，，综上，，.故答案为：.【点睛】本题是一个实际应用问题，为了学生掌握这一部分的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式，培养他们的观察能力和分析能力．15.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水