江苏省徐州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含答案解析）

2022～2023学年度第二学期期中考试高一数学试题（考试时间120分钟试卷满分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据的次方运算的周期性可得答案.【详解】，故选：A2.中角，，所对边的长分别为，，.向量，.若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量共线可得，然后由余弦定理可得答案.【详解】因为向量，，，所以，即，由余弦定理可得，因为，所以，故选：B3.复数满足，则复数（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数模长和除法运算可求得，依次验证各个选项即可得到结果.【详解】，，；；；；.故选：B.4.定义：，其中为向量，的夹角，若，，，则（）A6 B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】根据条件和数量积的运算求得，从而得，然后根据新定义求解即可.【详解】∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴.故选：D.5.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，，根据这些信息，可求得的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求得，可得的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解．【详解】由图可知，且，所以故选:C.6.已知，，，均为锐角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.【详解】是锐角，，，，，且，，，.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形，即求的值.7.已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B．8.已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知边化角求得，然后根据已知得出.根据两角差的余弦公式以及两角差的正弦公式，化简得出，进而根据三角函数的范围，即可得出答案.【详解】由边化角可得，.因为，所以.因为为锐角三角形，所以，所以，，由可得，.因为，又，所以，，所以，.故选：C.【点睛】思路点睛：通过已知求出，然后消去，化简得出关于的三角函数，化简根据三角函数的范围，即可得出答案.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.已知复数，则下列结论正确的是（）A.B.复数的虚部为C.D.若复数满足，则的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】计算出可判断A，根据虚部的概念可判断B，计算出可判断C，根据复数的几何意义可判断D.【详解】因为，所以，所以，故A正确；复数的虚部为，故B错误；，所以，故C错误；若复数满足，设，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以的最大值为，故D正确，故选：AD10.下列等式成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据二倍角的正余弦公式，以及两角和的正切公式及其逆用，化简各个式子，即可得出答案.【详解】对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，因为，即，所以有，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选：BCD.11.已知是边长为2的等边三角形，，分别是，上的点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】根据已知可知共线，共线，设，用表示出，根据向量共线，即可得出，进而得出A项；用表示出，然后根据数量积的运算律，即可得出B项；用表示出，然后根据数量积的运算律，即可判断C项；用表示出，然后根据投影向量的概念，即可得出D项.【详解】对于A项，因为与交于点，则共线，共线，设，，则.又，因为共线，所以，使得，即.因为不共线，所以，解得，所以，，所以，，故A项正确；对于B项，由A可知，，，，所以，，所以，，故B项正确；对于C项，由A知，，，所以，，故C项错误；对于D项，因为，，所以，.又，所以，在上的投影向量为，故D项正确.故选：ABD.12.在中角，，所对边的长分别为，，，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，则是等腰三角形D.若，，则面积的最大值为【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，由正弦定理可得，结合二倍角公式可得；对于选项B，由余弦定理得为锐角；对于选项C，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解；对于选项D，由余弦定理结合基本不等式得，由三角形面积公式可得面积的最大值．【详解】对于选项A，已知，则，则，即，即选项A正确；对于选项B，已知，则，即为锐角，则不一定是锐角三角形，即选项B错误；对于选项C，已知若，则，即，即，则，展开整理得，又，则或，则是直角三角形或等腰三角形，即选项C不正确；对于选项D，已知，则，即，即，当且仅当时取等号，即，则面积的最大值为，即选项D正确．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量，的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据已知得出，然后根据数量积的运算律得出，开方即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以，.故答案为：.14.已知，则______，______.【答案】①.2②.##【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得，再根据两角和的正弦公式以及二倍角的公式展开，根据齐次式即可求解.【详解】由，得，．故答案为：2，．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．【答案】【解析】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：16.在中，角，，的对边分别是，，，若，则___________.【答案】9【解析】【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和与差的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为，，间的关系，则问题可解．【详解】解：因为，所以，即故原式化为，由正余弦定理得：，即，所以，所以．故答案为：9．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，，.（1）当时，求的值.（2）若是纯虚数，求的值.（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）当时，根据复数的乘法运算，即可求解；（2）化简复数，根据复数为纯虚数，得到，即可求解；（3）化简复数，根据在复平面上复数对应点位于第二象限点，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）当时，可得；（2）由复数为纯虚数，可得，解得；（3）由，可得在复平面上复数对应点，因为点位于第二象限点，可得，解得，所以的范围是.18.已知向量，，在同一平面上，且，（1）若与垂直，求的值；（2）若（其中），当取最小值时，求向量与的夹角大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示计算作答.（2）表示出的坐标，再利用模的坐标表示探求取最小值条件，借助向量数量积求解作答.【小问1详解】因，，则，，而与垂直于是得，解得，所以.【小问2详解】由，，及，得，于是有，则当时，取最小值，此时，而，即有，，所以向量与的夹角为19.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，计算求得的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的正弦公式，计算求得的值．【详解】解：（1）因为，所以，...（2）因，故.所以，.所以20.在中，角A，，所对的边分别为，，，且．（1）若，，求角（2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值.【小问1详解】解：因为，依据正弦定理，所以，即，由余弦定理变形知，因为，所以．因，，则在中，由正弦定理得：又，因为，所以．【小问2详解】法一：因为，是的角平分线，而，所以，即，所以，因为，，，且，故AD当且仅当取等，所以最大值为．答：当时，最大值为．法二：因为,设，，在，中由正弦定理知：①，②，因为，所以①②得，，令，，由于，所以，易得此函数在为单调递增函数，所以当时，最大值为．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．21.已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.（1）若，求的特征向量；（2）设向量，的特征函数分别为，.记函数.（i）求的单调增区间；（ii）若方程在上的解为，，求.【答案】（1）（2）（i），（ii）【解析】【分析】（1）利用和差公式将展开可得答案；（2）（i）根据定义可得的解析式，然后将其化为正弦型函数，然后可得其单调增区间，（ii）由条件可得，，，，然后可得，的值，然后算出的值，然后根据倍角公式可得答案.【小问1详解】，所以的特征向量为，【小问2详解】（i）因为向量，的特征函数分别为，，所以，，所以，令，可得，所以的单调增区间为，（ii）因为方程在上的解为，，所以为在上的两解，不妨设，因为当时，，所以，，，，所以，，，，所以，，因为，，所以可得.22.为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．（）若时，点与出入口的距离为多少米？（）设计在什么位置时，免费开放的植物园区域面积最大？并求此最大面积．【答案】（1）；（2）当点使时，面积最大，最大值为.【解析】【分析】（1）可设，然后根据题意得出、、，最后