高数第二章2 5极限存在准则

2.5极限的存在准则22-1夹逼准则单调有界收敛准则本节我们介绍极限存在的二个准则：⑴夹逼准则；⑵单调有界收敛准则。进而得到的两个重要极限：xxfi0第一重要极限：lim

sin

x

=1x22-2xfi

¥第二重要极限：

lim(1+

1

)x

=

e.nfi

¥22-3准则1（夹逼准则之数列形式）假设三个数列{an}，{bn}，{cn}满足下列两个条件：从某一项起有an≤cn≤bn,lim

an

=

lim

bn

=

a.nfi

¥

nfi

¥则数列{cn}收敛，且lim

cn

=

a.2.5.1夹逼准则证明从略准则1（夹逼准则之函数形式）设在自变量的同一变化过程中，f(x)，g(x)，h(x)都有定义，且满足（1）

g(x)

£

f

(x)

£

h(x)

；（2）

lim

g(x)

=

lim

h(x)

=

A

，22-4则lim

f

(x)

=

A.如果将准则1

中A

换成+¥

(或-¥

)，结论仍成立.解由于1

11££n2

+

n n2

+

i n2

+1,i

=1,2,,n

，所以11

1n2n2+n2

+

n

£

n(

n2

+1n2

+

2

+

+

n2

+

n

)

£

n2

+1.22+1又因为lim

=

limn2+

nn2nfi

¥

n

nfi

¥

n=1.

所以由夹逼准则知111lim

n(nfi

¥+)

=1.n2

+1n2

+

2n2

+

n+

+例2.5.1122-511).求lim

n(nfi

¥+n2

+1n2

+

2

n2

+

n+

+例2.5.2设

f

(x)

满足

f

(x)

£

x2

，证明xfi

0证由于f

(0)£

02

=0

，所以f

(0)=0

。lim

f

(x)=f

(0)。xfi

022-6又f

(x)£

x2

，所以-x2

£

f

(x)£

x2

。由于lim(-x2

)

=

lim

x2

=

0xfi0

xfi0所以由夹逼准则知lim

f

(x)=0

=f

(0)。xxfi

0第一重要极限：lim

sin

x

=1.x证

sin

x

是偶函数，故可将

x→0

等价地转化为

x→0+，2并限制x

˛

(0,

p

)

.

由结论

1.4.1

知有xtan

x

>x

>sin

x

>0,得cos

x

<sin

x

<1.xfi

0由于lim

cos

x

=cos

0

=1

，由夹逼准则，x22-7lim

sin

x

=1.xfi

0解1xfi

0xfi

0

xfi

0x

x

cos

x

x

xfi

0

cos

xlim

tan

x

=

lim

sin

x

1=

lim

sin

x

lim=

1.例2.5.3x求lim

tan

x

.xfi

0f

(x)f

(

x)fi

0第一重要极限的推广形式：

lim

sin

f

(x)

=1.f

(x)

„

0.证令u

=f

(x)，f

(x)

uf

(

x)fi

0ufi

0则

lim

sin

f

(x)

=

lim

sin

u

=1.xfi

0x

xfi

0

sin(arcsin

x)lim

arcsin

x

=

lim

arcsin

x=1.x

x22-8xfi

0xfi

¥同理，

lim

arc

tan

x

=1, lim

x

sin1

=

1.例2.5.4x2求lim

1

-cos

x

.xfi

0解2

sin

2

sin1xx2

)2

,x2x2

x2xfi

0

xfi

02

xfi

0lim

-

cos

x

=

lim

2

=

1

lim(sin

xx2xfi

0由第一重要极限的推广形式得lim

2

=

1222-92

2sin

xx2x2xfi

0xfi

0故lim

1

-cos

x

=1

(lim2

)2

=

1

12

=

1

.例2.5.5x

-

x0求lim

sin

x

-sin

x0

.xfi

x0解2

2xfi

02

sin

x

-

x0

cos

x

+

x0lim

sin

x

-

sin

x0=

limxfi

0x

-

x0x

-

x0222-10220=1 cos

x0

+

x0

=

cos

x

.x

-

x0sin

x

-

x0=

lim

2

lim

cos

x

+

x0xfi

x0xfi

x0由以上讨论，可得一些等价无穷小:当

x

fi

0

时，

sin

x

~

x, tan

x

~

x,212x

.arcsin

x

~

x, arctan

x

~

x,

1-

cos

x

~例2.5.6(arc

sin

5x)3xfi

0解3x

1x222-11(arc

sin

5x)3

(5x)3

250xfi

0xfi

0lim

tan

3x

(1-

cos

x)

=

lim

2

=

3 .若f

(x)fi

0

，可将上面的x

全部换成f

(x)，结论也正确.求lim

tan

3x

(1-

cos

x)

.注意：不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.例2.5.7xfi

0求lim

tan

x

-sin

x

.sin

x

~

x.当x

fi

0时, tan

x

~

x,(2

x)3xfi

0解

当x

fi

0时,12~3x

,sin3

2

xsin

2

x

~

2

x,tan

x

-

sin

x

=

tan

x(1

-

cos

x)1(2

x)3x3xfi

0原式=

lim

2161=

.错

解原式·=lim

x

-x

=0.练习：计算下列极限xx(2)lim

arctan

2

x(1)lim

x

arcsin

1xfi

0xfi

¥解x~1

1x

x0,\

arcsin1

fi(1)

x

fi

¥

时，xxfi

¥\

原式

=

lim

x

1

=

1(2)

x

fi

0时，arctan

2

x

~

2

xxxfi

0\原式=lim

2

x

=22.5.2单调有界收敛准则如果数列{xn

}满足x1

£

x2

£

£

xn

£

,就称数列{xn

}为单增数列；如果数列{xn

}满足注意：含有等号x1

‡

x2

‡

‡

xn

‡

,就称数列{xn

}为单减数列.单增数列和单减数列统称为单调数列.22-15准则Ⅱ（单调有界准则）

单调有界数列一定收敛.22-16证明从略。推论

2.5.1

如果单增数列{xn

}

有上界，即存在常数M

，nfi

¥使得xn

£

M

,

n=1,

2,

，，则lim

xn

存在且不大于M

.推论2.5.2如果单减数列{xn

}有下界，即存在常数m

，nfi

¥使得xn

‡

m

,

n

=1,

2,

，则lim

xn

存在且不小于m

.例2.5.822-17设0

<x1

<1,xn+1

=sin

xn

,n

=1,2,3,

，证明nfi

¥lim

xn

存在，并求其极限值.证由题意知xn>0

，且xn+1

=sin

xn

<xn

，nfi

¥所以{xn

}单调下降且有下界。\lim

xn

存在。nfi

¥设lim

xn

=a

，在xn+1

=sin

xn

中令n

fi

¥

，由于nfi

¥lim

xn+1

=a

，故得a

=sin

a

，解得a

=0

，所以nfi

¥lim

xn

=0

。例2.5.9设x1

=2,xn+1

=2

+xn

,n

=1,2,3,

，证明nfi¥lim

xn

存在，并求其值．nnn证①由xn+1n-1n-1xn

-

xn-1-

x

=

2

+

x

-

2

+

x

=2

+

x

+

2

+

x，知xn+1

-xn

与xn

-xn-1

同号，以此类推，xn+1

-xn

与x2

-

x1

=

2

+

2

-22-182

>0

同号，\{xn

}单调增加。也可以用数学归纳法证明此数列单调增。续证②

x1

=一般地，xn

=2

<

2,

x2

=

2

+

x1

<

2

+

2

=

2,

，2

+

xn-1

<

<

2

+

2

=

2

，\{xn

}有上界。于是，由单调有界准则可得：{xn

}收敛。nfi

¥③设lim

xn

=

a

，则在关系式

xn+1

=2

+

xn中求极限可得：a

=22-192

+a

，解得：a

=2

。故nfi

¥lim

xn

=2

。练习：证明数列xn式)的极限存在.=3

+3

+

+3

(n重根证显然xn+1

>xn

,\{xn

}是单调递增的;又

x1

=<

3,3

<3,

假定xkxk

+1

=3

+

xk<3

+

3

<

3,n\{x

}是有(上)界的;nfi

¥\lim

xn

存在.

xn+1

=

3

+

xn

,nx

2=

3

+

x

,n+1nlim

x

2=

lim(3

+

x

),nfi

¥n+1nfi

¥A2

=

3

+

A,2213

,

A

=

1

-解得A

=1

+13

(舍去)2=

1

+

13

.n\

lim

xnfi

¥nfi

¥设lim

xn

=A,xxfi

¥第二重要极限：

lim(1+

1

)x

=

e.1nnfi

¥第二重要极限的数列形式：lim(1+)n

=

e.1!

2!

3!

n!n=0

n!¥在第13

章中将有e

=

1

=1+

1

+

1

+

1

++

1

+.注意：上面极限中的e

在当时只是极限值的记号，而现在已经成为重要的数值。以e

为底的对数称为自然对数.记作ln

x

，即ln

x

=logex

.函数y

=ln

x

与函数y

=ex

互为反函数.e

为无理数，其值为e=2.718281828459045…。注：一般地，如果u

fi

1,v

fi

¥

，就称极限lim

uv

为1¥

型未定式22-。21证明思路:n⑴先利用均值不等式证明数列{(1

+1

)n

}单增且有上界；然nn22-22nfi

¥后由单调有界准则知数列{(1

+1

)n

}收敛，即极限lim(1+1

)n存在，且记为e

。⑵再将数列的结论利用夹逼准则及及变量代换，引伸到函数的情形中去。1f

(x)f

(

x

)fi

¥第二重要极限的推广形式：

lim

(1+)

f

(

x

)

=

e。其中f

(x)可为任意函数，条件是f

(x)fi

¥

。1xfi

0第二重要极限的变形：lim(1+x)x=e

。1111)

xxxfi

0事实上：lim(1+x)x=

lim(1+xfi

0=e

。x22-23同理，第一重要极限的变形：xfi

¥lim

x

sin

1

=1。1]a

(

x

)

=

elim

[1

+a

(

x

)fi

¥a

(

x)1lim

（1

+

b

(

x))

b

(

x

)

=

eb（x

)fi

0两个极限的特征：底为两项之和，第一项为1，第二项极限为零，指数与第二项互为倒数。注意：例2.5.9计算以下极限x(1) lim(1

-

1

)xxfi

¥2(2) lim(1

+

3

x)xxfi

0x

fi

¥-

x-

x1

)-

xx

fi

¥(1

+11

)-

x

]-1

=

lim解（1）

原式=lim[(1

+=

1

.e（2）

令t

=3

x，则x

fi

0时，t

fi

0，于是11

.6xfi

0

t

fi

0原式

=

lim(1

+

3

x)3

x

=

[lim(1

+

t

)t

]6

=

e62

+

xx

fi

¥求lim(3

+x

)2

x

.例2.5.1011)-4x

+

2x

+

2)x

+2

]2

(1

+xfi

¥解（一）原式=lim[(1

+33x

.62

xe6e4

13

1

++

x

=

lim

= =

e2x

xfi

¥

12

xfi

x

x2

.4

+

x

1

+2x

二）原式=lim1

=

e

2

.11lim(1

+=

lim[(1

+)-4=

e2x

+

2x

+

2xfi

¥)x

+2

]2xfi

¥1¥

型）练习

求下列极限xfi

¥xxx

+

a3、lim(xfi

¥xfi

0xxfi

¥2、

lim(1

+

x

)2

x

=

lim[(1

+

1

)x

]2

=

e2xax

a)

a)x

=

lim(1

+xfi

¥=

ea25

tan

x1xfi

p5、lim(1

-21-

1)tan

x=

lim[(1

-)-5tan

x

]5

tan

xxfi

p5-

15