(新高考)高考数学一轮复习过关练考点09 导数的综合应用（含解析）

考点09导数的综合应用考纲要求考纲要求运用导数研究函数的零点问题运用导数研究函数的恒成立问题运用导数研究实际应用题运用导数研究定义型问题近三年高考情况分析近三年高考情况分析近几年各地对导数的考查逐步增加，选择、填空以及大题均有考查，难度也逐步增加，对于压轴题重点考查1、通过导数研究函数的零点、恒成立问题等问题。2、利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这是近几年江苏高考命题的趋势考点总结考点总结在高考复习中要注意以下几点：注意函数零点的判断，以及函数恒成立问题的解题策略。导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值范围；第二步：构建函数，将实际问题转化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步：将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、三角函数等知识点模块的结合。三年高考真题三年高考真题1、【2019年高考天津理数】已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，则SKIPIF1<0的取值范围为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上可知，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选C.2、【2019年高考浙江】已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．若函数SKIPIF1<0恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12SKIPIF1<0，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1-a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a则a>–1，b<0.故选C．3、【2020年江苏卷】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，SKIPIF1<0为铅垂线(SKIPIF1<0在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离SKIPIF1<0(米)与D到SKIPIF1<0的距离a(米)之间满足关系式SKIPIF1<0；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离SKIPIF1<0(米)与F到SKIPIF1<0的距离b(米)之间满足关系式SKIPIF1<0.已知点B到SKIPIF1<0的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于SKIPIF1<0的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价SKIPIF1<0(万元)(k>0).问SKIPIF1<0为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）SKIPIF1<0米【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0米（2）设总造价为SKIPIF1<0万元，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(0舍去)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，答：当SKIPIF1<0米时，桥墩CD与EF的总造价最低.4、【2020年江苏卷】.已知关于x的函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在区间D上恒有SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求h(x)的表达式；（2）若SKIPIF1<0，求k的取值范围；（3）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）由题设有SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不符合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合题意.综上所述，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，因为SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，不符合题意.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，等价于SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立.故SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.等价于SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.5、【2020年全国3卷】设函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点(SKIPIF1<0，f(SKIPIF1<0))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若SKIPIF1<0有一个绝对值不大于1的零点，证明：SKIPIF1<0所有零点的绝对值都不大于1．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0所有零点中存在一个绝对值大于1零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由零点存在性定理知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点，在SKIPIF1<0上不存在零点，此时SKIPIF1<0不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由零点存在性定理知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一一个零点，在SKIPIF1<0上不存在零点，此时SKIPIF1<0不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，SKIPIF1<0所有零点的绝对值都不大于1.6、【2020年天津卷】.已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，（i）求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（ii）求函数SKIPIF1<0的单调区间和极值；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，求证：对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)(i)当k=6时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(ii)依题意，SKIPIF1<0.从而可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当x变化时，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.①令SKIPIF1<0.当x>1时，SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以当t>1时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②由(Ⅰ)(ii)可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0③由①②③可得SKIPIF1<0.所以，当SKIPIF1<0时，任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.7、【2020年浙江卷】.已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点，证明：（ⅰ）SKIPIF1<0；（ⅱ）SKIPIF1<0．【解析】（I）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，所以由零点存在定理得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点；（II）（i）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0一方面：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另一方面：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，因此只需证明当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.（ii）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即只需证明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，因此SKIPIF1<0.8、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导数．证明：（1）SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0存在唯一极大值点；（2）SKIPIF1<0有且仅有2个零点．【解析】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，而SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有唯一零点，设为SKIPIF1<0.则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在唯一极大值点，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在唯一极大值点.（2）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.（i）当SKIPIF1<0时，由（1）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，而SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的唯一零点.（ii）当SKIPIF1<0时，由（1）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.从而，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0没有零点.（iii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减.而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有唯一零点.（iv）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0<0，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0没有零点.综上，SKIPIF1<0有且仅有2个零点.9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线SKIPIF1<0的切线.【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）SKIPIF1<0（1，+∞）．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故f（x）在（0，1）有唯一零点SKIPIF1<0．综上，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为SKIPIF1<0，故点B（–lnx0，SKIPIF1<0）在曲线y=ex上．由题设知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故直线AB的斜率SKIPIF1<0．曲线y=ex在点SKIPIF1<0处切线的斜率是SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线的斜率也是SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线也是曲线y=ex的切线．10、【2019年高考天津理数】设函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，证明SKIPIF1<0；（Ⅲ）设SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的零点，其中SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）由已知，有SKIPIF1<0．因此，当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增．所以，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0．（Ⅱ）证明：记SKIPIF1<0．依题意及（Ⅰ），有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．因此，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，进而SKIPIF1<0．所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（Ⅲ）证明：依题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0及（Ⅰ），得SKIPIF1<0．由（Ⅱ）知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，因此SKIPIF1<0．又由（Ⅱ）知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．11、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（i）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减.（ii）若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增.（2）由（1）知，SKIPIF1<0存在两个极值点当且仅当SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0的两个极值点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0.设函数SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，从而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.二年模拟试题二年模拟试题题型一、零点问题1、（北京市昌平区2019年高三月考）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且满足SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有6个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】函数SKIPIF1<0有6个零点，等价于函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有6个交点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0的极大值为：SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如下图，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有6个交点，须SKIPIF1<0，表示为区间形式即SKIPIF1<0.故选C.2、（北京市门头沟区2019年高三年级月考）函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0）若函数SKIPIF1<0有两个零点，则实数SKIPIF1<0取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,因此当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有两个零点，选C.3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个零点，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，还应满足SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（）A．1 B．e C．2e D．3e【答案】CD【解析】因为，可得，即为偶函数，由题意可得时，有两个零点，当时，，即时，，由，可得，由相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得：或（舍去），即有切线的斜率为，故，故选：CD.5、．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令函数，因为，，为奇函数，当时，，在上单调递减，在上单调递减．存在，得，，即，；，为函数的一个零点；当时，，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为，故选：．6、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则.【答案】BD【解析】A.函数的的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），则g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，则g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确故正确的是BD，故选：BD．7、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】已知实数SKIPIF1<0使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个零点，等价于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数图象在SKIPIF1<0上有2个交点，显然SKIPIF1<0与x轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，当SKIPIF1<0时，若要有2个交点，由数形结合知m一定小于e，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，若要有2个交点，须存在a使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两解，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然存在这样的a使上述不等式成立；由数形结合知m须大于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0与x轴交点的横坐标SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0综上所述，m的范围为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<08、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在零点，则实数a的取值范围为____【答案】SKIPIF1<0【解析】因为函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在零点，等价于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上有解，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，即函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有交点，令SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<09、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.【答案】【解析】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.令，，则，再令，，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：10、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数；（3）若存在两个不同的零点，求证：.【解析】（1）函数的定义域为,,令,得或,因为,当或时,,单调递增；当时,,单调递减,所以的增区间为,；减区间为（2）取,则当时,,,所以；又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；下面讨论的情况：①当时,因为在单调递减,单调递增,且,,,根据零点存在定理,有两个不同的零点；②当时,由在单调递减,单调递增,且，此时有唯一零点；③若,由在单调递减,单调递增,,此时无零点；综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点（3）证明：由（2）知,,且,构造函数,,则,令,,因为当时,,,所以又,所以恒成立,即在单调递增,于是当时,,即,因为,所,又,所以,因为,,且在单调递增,所以由,可得,即题型二恒成立问题1、（2020届山东省泰安市高三上期末）设函数在定义域(0，+∞)上是单调函数，，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可设，则，∵，∴，∴，∴，∴，由得，∴对恒成立，令，，则，由得，∴在上单调递减，在单调递增，∴，∴，故答案为：．2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数，.（1）若，，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.①求，的值；②求实数的取值范围，使得对恒成立.【解析】（1）当，时，，则.当时，；当时，；所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）①因为，所以，依题设有，即.解得.②，.对恒成立，即对恒成立.令，则有.当时，当时，，所以在上单调递增.所以，即当时，；当时，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，不恒成立.综上，.3、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）当SKIPIF1<0时，求证：对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立；（3）若存在SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0成立，试求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0单调递减．又SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0．∴对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．（3）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由（2）知，当SKIPIF1