第二章-维纳滤波和卡尔曼滤波

第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1维纳滤波的标准方程2.2维纳-霍夫方程的求解2.3维纳滤波的均方误差2.4因果IIR维纳滤波器的设计与计算2.5标量卡尔曼滤波器2.6矢量卡尔曼滤波器2.7维纳滤波和卡尔曼滤波的计算和应用举例

第二章维纳滤波与卡尔曼滤波2.0引言在许多实际问题中，人们能够测量到的是退化了的或失真了的有用信号。例如：在传输或测量真实信号时，由于存在干扰，接受或测量到的数据与真值不同。我们就说混有了噪声（信道噪声，测量噪声），常常是要解决从噪声中提取有用信号问题。我们就要找一种有最佳线性过滤特性的滤波器，信号和噪声同时输入时，在输出端能尽量把信号精确复现，而噪声能受到最大抑制。维纳（Wiener)和卡尔曼(Kalman)找到了一种从噪声中提取信号的一种滤波方法。这种线性过滤问题，可以看成一种估计问题。表示信号表示噪声表示输出称是的估计值。为估计器。这种滤波器称为最佳滤波器。如果：和的谱在频域上是分离的，容易设计一个线性滤波器抑制噪声并提取信号。这是本科中经典数字信号处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题。但是和的谱有一部分相互重叠，则问题就要复杂的多。一般而言，这是信号的最佳估计问题，所谓“最佳”是以一定的准则来衡量的，通常有四种准则：

最大后验准则最大似然准则均方准则线性均方准则本章的维纳滤波和卡尔曼滤波采用的是线性均方准则，实际上是最小均方误差准则。称为线性最小均方误差滤波。2.1维纳滤波的标准方程设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应或传递函数的表达式。其实就是解维纳-霍夫方程（Wiener-Hopf）在因果性即物理可实现的条件下，求解是一个典型难题。维纳滤波器是一个线性非移变系统估计误差：按最小均方误差准则求偏导得（对的导数为零）上式称为正交方程。（这是讲当用两个矢量正交时它们的点乘等于零的关系，正交性原理可借用几何图形表示）可见，满足正交性原理与满足最小均方误差的条件是等价的。由图知，最满足最小均方误差的估计值。正交方程表明，任何时刻的估计误差与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交。称为维纳滤波器的标准方程——维纳-霍夫方程。如果已知和可求出上式当i取不同值时，实际上对应三种情况：用途：（1）滤波、过滤：用当前和过去输入估计当前输出，是一个因果系统。（2）平滑、内插：用全部数据（过去的以及未来的）估计n时刻的信号，是非因果系统。（3）预测、外推：用n时刻及以前共p个数据来估计未来某时刻n-M的信号。M=1时称P阶预测。无论哪种情况，把希望的输出信号称为期望信号，并用d(n)来表示。()这样维纳滤波问题一般用三个公式表示：2.2维纳霍夫方程的求解维纳滤波器的设计和计算问题可以归结为根据已知和求解维纳-霍夫方程以得到或。方程中求和的范围不同，其求解方法也不同。2.2.1FIR维纳滤波器设：长度为N,则冲激响应矢量为输入矢量输出：维纳霍夫方程可写为或其中求逆矩阵解得维纳丈-霍慨夫方完程的歇矩形推形式解出猎：即用有吼限长租来顾实现协维纳退滤波价器时踏（当拜已知泥和时）位，可沈解得宣满足名因果泄组的臂。但当优N大习时，齿计算服工作似量大牌，需避要知艺道旨和竟的逆物运算呼。因猫此，梅最小观均方零误差教准则数的维导纳滤姻波器似，用驶有限改冲激狐响应谦的F李IR盈滤波籍器来絮实现胞并非淘有效孝的方著法。OP弯T表捎示“兰最佳事”，低是F测IR碎的冲添激响粥应。征实际除上，杜利用里矩阵纵R的嘉对称颤和T粉oe忘pl棉it花z性尽质，窃可得享到一僻些高阔效算斩法，柔将在苦第四例章介知绍。为了壳得到奶维纳剩滤波跟器的拨输出该式搁说明挣：维蚀纳滤淘波器拦的输怎出炭就淋是信娇号屡在输旦入数无据子自空间器上胡的正鼠交投点影，筹它是幸信号泽的最屡佳设疤计。利用反双边纲Z变我换求基解该亭方程访最简异单：妥上式偷两端陕取Z赠变换利用利复数车互频肤率谱幕和自御功率浴谱隆可农求得负非因穷果I托IR地维纳搅滤波族器的板传递托函数拾，它汗是一烦个有惨理函年数。2.脚2.鹊2我非渴因果中II瓶R维铃纳滤肤波器非因宏果I冻IR镇维纳比滤波确器的彼维纳帐-霍属夫方浙程为贺：2.购2.宿3躬因果渗II剧R维添纳滤委波器标准屯方程犁：直接应求解崇决方膀程是翠困难糟的。事在亲的描约束往下，核不能菠直接脊转入益Z域耀求四但若喂注意售到：情如果笨滤波忆器输尊入是逐白噪中声那么培：易得蚊：对应慎的传歇输函笛数为朗：这里士表示爱只取绢在握单位抢圆内钩的极丛点或测只取菌的双因果荒部分条。利用桂白化疯x(准n)境的方舟法求控wi肥en息er有-H撕op股f方折程Z倦域解跨.先引堵进信岭号模虫型的屈概念僻：任何换具有笔有理僻功率痛谱密挣度的丹随机盾信号湖都可众看成票是由貌一白谦色噪火声道激励格一物闪理网始络所文形成惕。另一呆方面毕，若互将x趟(n挎)作厘用于蠢B(悠z)散的逆轮系统助1/思B(窃n)灿，那新么必俘将产篇生输汁出单，激这就潜是对喷“x睛(n肺)”酱的所贤谓“往白化雷”处义理。由模丝式型得续知：或：如前歇所述品，设味计维直纳滤什波器择的问此题就钩是寻盗求在最小报条件室下的俗最佳暗问题具。由把拼分解贤成两任个串梁联的愉滤波凉器慕和即的输贵出变窄成了抢是由娘自噪废声随激拢励得到更的。若已座知：君信号车的尺可葵求得于是利求最稀佳极，蔽变成壁求最巷佳侍的聪问题宰了。如果按：的Z糖变换平用佳表示饼，代表当一个娱因果欠序列动，只渗在丈时存球在，的全烦部极洒点必铅定在聋单位垒圆内干。由且是双的置时间涂序列锯（犹对卡应的雁单位占取样肿响应蒸）对上赶两式洽作Z她变换田：于是扣：计算仁步骤半如下视：(1饺)对禾进膏行谱辛分解衣（因霜式分随解）(2哑)对戚进瓶行因星果和蔽逆因少果分津解式中估为仰单位惯圆内鸦极点坐构成膛的传搜函(伏因果叫)为单医位圆搜外极桃点构胁成的环传函伪（逆蚕因果狂）(3缓)计钟算因幅果I凤IR抽维纳没滤波企器的隔传函傅数(4孩)计摆算相王应的裙单位松冲激首响应式中弹围线宁积分给是单途位圆在。例子酸：已盗知（是酬白噪嫌声）（s摆(n吗)与俘v(欲n)坐不相丈关）求因愉果的起II明R的解：略（1掏）由：（2办）部分版分式牵法：2.剥3淡维逗纳滤秋波器绝的均网方误签差维纳蓄滤波摘器在伤最小激均方这误差辛意义疏上是拿最佳末的其均艇方误锅差值糖为：即时耗间差秧为0蛋时的哪互相简关值梦——旱即为趁最小心均方吉误差漂值侵。(1寒)在僻频域泻内计酷算最贼小均连方误牛差：积分瞎围线版是单凶位圆虏。对非急因果挑II葡R（2悼）在悟时域犹对应甚FI夹R（宜一般艺已求约得典）设计简FI牙R时子，需脖要已历知惧自药相关匹和设计胀II饼R时易，需王要已群知邀自夺功率盏谱和锅互功轨率谱多或者卖说已佣知狡和拴全讨部的供值这就赖是说桂，设墓计I希IR症使用禽了更跌多的愈已知板信息罚。即登II有R比押FI肠R具对因墨果I脉IR有更摧小的拌均方竿误差宵。为什跳么说微维纳忙滤波惩器具偏有从势噪声楼中提水取有小用信习号的卷能力愉。且信比一袄般滤旱波器忽性能裤好呢押？由果的茫传函报看令2.自4镇因吊果I机IR遮维纳椅滤波蛛器的丝式设计钥和计俯算在实眼际应乒用中刻，有得时已共知信贡号处赵理模恼型和悔测量旺模型淋，随傲机信咳号蚁的短模型扭方程件为它的辜测量秩模型是信驳号模蛙型中团的白睬噪声伪激励响，混是乞信号溉传输苹或测堵量中挪引入检的加态性白侮噪声招，a桑和c叉是模户值小有于1忽的常正数。擦现在吴要设傻计一询个因超果I案IR柜维纳向滤波卡器，蛋对殖进行纳处理传，以蜻得到据最佳度估计缓。（1娘）花是璃方差必等于椒的洗白噪礼声，手其自跨相关份函数龟和功尤率谱毫分别伸为其中战：（2鲜）役是方蹄差等糟于赞的白唤噪声询，其痒自相聋关函逼数功率再谱：功率扔谱：(2绸)与矩不相仪关也饺与冤不相仙关即：设计社时，鹊首先幕要求厦出如资下几萝个功缓率谱1.(2乞)千将每进吐行谱败分解斜：（3钩）计舰算葬的因奏果部茫分（4把）求容得因珍果的把因杀果I暴IR叙维纳坡滤波般器的朱设计缩慧步骤音归纳卸如下命：（1浇）根贿据已组知参雁数a云，c肝，R似，Q搭求得规正解境P（2念）计窝算维厨纳增咏益G（3握）计诸算维乖纳滤颜波器胳系数皮f（4杏）将约G和秃f值窃代入漠得到注意腹：涉涝及两奴个随卖机信兆号模闷型（俩的仓模型摇和痕的模抓型）祖。模型矿中，模型搂中，音用方弦差为党的白支噪声似激励拨传输昆函数念为的线迫性移工不变护系统炭产生氏输出模型哲为的模胀型由兼谱分宝解定汪理确唱定可看船出测晴量模法型是页由噪笨声姻引多入液使得稍不页同于克，克不同再于比它多燃出一饺个零戚点猎，浑这就崖是说属如已疲知噪阻声称的存排在改疤变了压激励币源固的钢功率黑。因借此全绑极点倾系统蒸增双加了退一个舱零点贺。)(zB2.勿5标鄙量卡不尔曼惰滤波良器卡尔槽曼滤箭波和布维纳疯滤波股一样雅都是像解决曲以最芦小均删方误桐差为至准则怜的借最佳刃线性谣过滤款问题下。但族是，浓它们刮解决转的方娱法有漠很大肥差别塘。维纳积滤波自是根供据全惰部过剂去的住观察报数据悬来估认计信雷号的泼当前贩值，萌它的匠解是魔以均扮方误彼差最厚小条撤件下斗所得病到的列系统嫁的传某输函疏数润或单砖位取惯样响忍应陷的形喉式给声出的永。从具信号裂模型形建立隐来看柏，是仇从信亦号与莲噪声密的相另关函级数得籍到。卡尔毯曼滤膛波：待不需漫要全粉部过膀去的蹈观察快数据泼，它工只是旬根据姑前一昼个估星计值图和最锹近一俯个观优察值哈来估借计信嘴号的吗当前臭值。它是宰用状奋态方面程和缠递推铸方法驳进行洪估计企的。卫而它浆的解竞是以叶估计激的形渴式给睁出的秩。因斧此，矩卡尔便曼滤慌波的危信号庭模型燥则是境从状早态方挎程和伶量测畅方程渔得到病。在讨胁论维款纳滤凤波中颂，曾牌提出础一个浑基本誉概念警，那练就是板任何乡丰具有麻有理镇功率戴谱密伴度的影随机弃信号义都可怜看作粪是白篇色噪灵声通耗过一俩个线翁性网布络所扯形成丽。由董此得俭到维燥纳滤窗波器祥的信川号模爆型。下面塘推导搅卡尔吉曼过度滤的掌模型池。维纳佛滤波巷是根交据全邪部过激去观某察数麦据，以L市MS弦得到贤解的均形式猴或卡尔绩曼滤还波：咳根据敏前一香个估虾计值桂和最夫近一按个观方察数箩据来剧估计禽当前痰值，辫用状旦态方犁程和脏递推杠方法所估计衫，解岭是以陆估计纱值形万式给筛出。从信忠号模怖型建机立来脸看：维纳字的信票号模热型是刮从信舅号与渔噪声浮的相光关函摧数得馒到。卡尔叉曼的踩信号牧模型仓是从栽状态霜方程弓和量兰测方仅程得是到。卡尔暴曼滤拢波实奋际上露只不猫过是解维纳蹄滤波丙的一伪种递偷推计栋算方雕法。由前伪面，信号耕模型测量候模型因果寸维纳榨滤波戏器的佣传函紧数G称睡为维缓纳增锦益写出水滤波配器的屑差分捡方程青：（1持）用阳代吉替坑表示麻用其对歼作的馋最佳焦估计浙。（2咐）用债代替帅表示阅用对永作警的最慨佳估异计。差分威方程内为：由竹得也：这就陷是因减果I辈IR绸维纳映滤波熟器的心递推稀计算矩公式勇--侮--电-卡词尔曼出滤波器较的标滔准形央式。（1鼻）假剥设已民知重，对华进行狭预测饺最佳众估计值奴为：（2丙）由移，丘对测非量值电作预减测最态佳测绵量值为：（3分）当池到阀来后述，将装预测脚值臭与组进庙行比往较得斗到预视测误部差：代表茅中所刺含的仓无法俊预测晓的信壤息，朱称为意新息比。（4毅）选择吴适当挖系数察对谊新息邪进行仍加权爱，作拳为预赠测值的修州正值民，修午正后馋得到吹信号黑的最介佳估蔬计值愧。相应润均方脂误差慌最小肆：按最徐小均册方误咸差准冬则来直求最碎佳修眉正系炸数求宁对铺的远偏导宗数，宁并令飞其等度于零虾。令：配表示虽信号猾的一拌步预夹测误横差令：捕表打示相骄应的铲一步牧预测橡误差耕功率注意盛到熊误坏差：考虑博到魔与架不相经关，米故解得墓：看出竿预地测误限差功宪率越堵大，殊最佳运加权纪系数言就百越大侨，也锈就是黄说当番预测岁误差阔越大油表明北预测弓越不焰准确望，利璃用新挥息进泪行修窝正就秩应该予越多须。均方午误差谦：由于与躬不相瓣关，皮得到由于繁利用警了新蚂息对案信息明预测务值进皇行了各修正盆，故正最小鸟均方傅误差遭比预速测误闪差功扛率低劲一个悠数值求：得到摊卡尔蹄曼递烧推算俭法。默(见众2.蛮67蕉式)卡尔瓣曼滤收波过钉程实罗际上悼是获型取维斗纳解梦的递睬推运般算过激程，靠这一跟过程宝从某药个初挂始状旨态启招动，匙经过辟迭代军运算站，最架终到胀达稳检定状州态，岗即维垃纳滤委波状敞态。设初咳始值献：计算和略便成颗为下妄一轮序迭代锅运算钳的已务知数队据。更在递佩推运者取过扔程中延，随议着迭奇代次叶数n殃的增载加，移将逐微渐下韵降，协直到鬼最终呀趋于帮某个勿稳定赚值址。这洲时合理巾选择震初始排值问堵题。胜都可亿作为击初值送。的合边理选喝择应懂使品最小向化。为此唱：选择忧：应所使拾最孝小2.近6矢患量卡鞋尔曼鹊滤波秒器在实废际中步，常贷需根电据观看测数全据同妄时估屿计若眯干个纲信号搭。例芳如q宿个信欧号，闭或者近估计依一个浪高阶茂自回喇归过弹程。例如眠：一福个q织阶自羽回归炭过程对于贷上述渔两种孙情况座，把骨标量灿卡尔代曼推缴广到考矢量尿，可小以给循分析因计算响带来夹很大炼方便污。信号光矢量纸和数档据矢友量同时挪估计样相互常独立突的q油个一秃阶自搅回归款信号播，它座们在扬n时蔑刻的炕取样抛值分哲别为半。竞每个分信号湖的状悬态方议程是域：是零部均值县的噪款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