最新整理 方法最全的数列求和

关于最新整理方法最全的数列求和第1页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活的运用这些方法解决相应问题.第2页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三知识梳理第3页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤第4页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三⑥2+4+6+…+2n=

；⑦1+3+5+…+（2n-1）=

；n2+nn2

第5页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三二、错位相减法求和例如是等差数列，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和．三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．四、并项求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和．五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项．第6页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

六。倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.

七。归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。八。奇偶法通过分组，对n分奇偶讨论求和九。通项分析求和法第7页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

十。周期转化法

如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并．第8页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三例1：求和：10看通项，是什么数列，用哪个公式；20注意项数第9页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三例2、已知求S解：第10页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……第11页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三变式探究第12页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

已知数列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．例3.第13页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三例3.已知数列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，…，2n－1与等比数列a0，a，a2，…，an－1对应项的积，可用错位相减法求和．解析：设Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1①①×a得，aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an②①－②：(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an.第14页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三当a＝1时，Sn＝n2.点评：若数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则求数列{anbn}的前n项和的方法就是用错位相减法．第15页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比第16页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三2.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.变式探究第17页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三2．设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①第18页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，第19页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列{an}的通项公式；（2），Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m.例4.第20页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

（1）依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5；当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,∴an=6n-5(n∈N*).第21页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

（2）由(1)得bn=

故Tn=b1+b2+…+bn

因此，使得(n∈N*)成立的m必须满足,即m≥10.

故满足要求的最小正整数m为10.〔〕第22页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）第23页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．第24页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三常见的拆项公式有：第25页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三常见的裂项公式有：7n·n！=（n+1）！-n！；89第26页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三〔〕【分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.【解析】求数列,…的前n项和.变式探究：第27页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三例5.求下面数列的前n项和

第28页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三解（1）：该数列的通项公式为

第29页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法第30页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

,+n1练习1.求数列+23,+

的前n项和。,

222,

32

n2+

1

2

3

n

解：=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法第31页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三2求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10，…，前n项和Sn.2∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)]∴Sn＝a1＋a2＋…＋an点评：运用分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考虑通项公式．解析第32页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和第33页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21第34页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三例7：已知数列5，55，555，5555，…求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+

……+(1+2+22+……+2n-1)

通项分析求和通项=2n-1第35页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三先求通项再处理通项第36页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三第37页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三第38页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三(2)数列{an}中，an＝－2[n－(－1)n]，求Sn.第39页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三＝－4m2＋2m－2＝－(n＋1)2＋(n＋1)－2＝－n2－n－2.解析（2）an＝－2n＋2(－1)n，若n＝2m，则Sn＝S2m＝－2(1＋2＋3＋…＋2m)＋2(－1)k＝－2(1＋2＋3＋…＋2m)＝－(2m＋1)2m＝－n(n＋1)．若n＝2m－1，则Sn＝S2m－1＝S2m－a2m＝－(2m＋1)2m＋2[2m－(－1)2m]＝－(2m＋1)2m＋2(2m－1)第40页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三第41页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三练习：第42页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三变式探究1．已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求a2＋a4＋…＋.解析：首先由S10＝10a1＋＝145⇒d＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3n－2⇒a2n＝3·2n－2，∴a2＋a4＋…＋a2n＝3(2＋22＋…＋2n)－2n＝3－2n＝3·2n＋1－2n－6.第43页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三2．求数列1,3＋，32＋，…，3n＋的各项的和．第44页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三3.在等差数列中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n项的和，求：S＝.第45页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三

在等差数列中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n项的和，求：S＝.解析：第46页，讲稿共53页，2023年5月2日，星期三4.(2010年广州一模)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an＞0，且