数学 第二十二章 课件 各种积分间的关系与场论的初步

第二十二章

各种积分间的联系与场论初步

§1各种积分间的联系

1、格林公式区域D分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)区域D边界L的正向:域的内部靠左定理22.1（格林公式）设区域D是由逐段光滑闭曲线L围成的平面单连通闭区域，函数则有(格林公式)在D上具有连续一阶偏导数,或证明：见380页说明1)对复连通区域，公式也成立。强调：(i)所有边界.(ii)每段的方向2)记忆：

其中:为切向量（与同向）;为外法线2、高斯公式定理22.2.设空间闭区域V由分片光滑的双侧闭曲函数P,Q,R在V及S上具有连续的一阶面S所围成,偏导数数，则有(Gauss公式)证明：P377仿照格林公式的证明，先对简单的区域证明高斯公式。其中V如图22-9，它的边界由下，上，中三部分S1，S2，S3

构成。上部为S2，由方程下部为S1，由方程给出，给出，中间由母线平行于Z轴的柱面S3构成。S1与S2在Oxy平面上由公式投影D.V可表为考虑V的边界曲面S的外侧可表为下侧，上侧，以D的边界为准线夹在S1与S2之间的柱面外侧由三重积分的积算方法及第二型曲面积分的积算方法得：上面珍第四壁个等昌式成染立是劲因为S3在Ox离y面上怨得投宽影面曾积为零民，所草以同理祸可证3、st杨ok结es公式光滑盈曲面的边每界为欣光滑征曲线L，函失数在及上具壶有连段续的眉一阶零偏导株数，愚则其中的侧阻与的方朝向按惊右手美法则米确定证明灵：缩慧先奥证设曲头面S的方插程为它在Ox锹y面上见得投头影为与过的点幸且平饱行于z轴的他直线丈只交拢于以西点。L是S的边鬼界，累它它在Ox筒y面上持的投板影为l.取S的上腔侧为妹正侧绒，则敏单位分法向粉量为因此因为L在曲慎面上，冠所以免由格州林公起式，通有同理吴可证把三虎个公银式加俗起来畜，便功得斯候托克怨斯公虹式。些证毕鸣！说明弹：记忆或：公式漂的推崇广格林肯公式窃的推谨广，犬即奶格林绵公式断为其唱特例斯托漆克斯息公式奴建立岗了函择数在嘉空间研曲面S上的摔第二颠型曲生面积答分与余其“穴原函冷数”克在S的边貌界曲谷线L上的尤第二滔型曲询线积棕分之夹间的调联系彻，因市此也壤是牛括顿－胃莱布僚尼茨叨公式艘的一撞种高该维的至推广愉。利绞用两鉴种曲壮面积广分之洲间的夸关系负，常曾把它凉写成小如下巩便于荣记忆具的形好式：背景膨：在兽力学垄里，粒质汽点在稠保守锻力场恐中移训动时苹，场纪力场否所做物的功纠和所见走的映路径台无关卵，而辈只与绍质点黑运动盈的起雹点和缘瑞终点脖有关仰，而融此时据功可旧用第盛二型钓曲线捡积分地表示私。因讨此，破要讨失论问饮题：申在什育么条据件下脸，第愿二型鼻曲线搂积分劲与积偏分路伤径无阁关（眼只依悠赖曲毛线的陡端点悦）第二臣节孤曲线准积分唉与路烛径无葱关定理22峡.4设D是平层面单钱连通帐区域,在D上有连宝续偏蔬导数,(1陈)沿D中任捕意光炸滑闭够曲线L,有(2向)对D中任捞一分拥段光鞠滑曲爆线L,曲线祝积分(3飘)(4树)在D内每桂一点谅都有与路胆径无松关,只与蝴起止柴点有院关.函数则以故下四使个断洗言等摄价:在D内是啄某一喝函数的全串微分,即平面因上曲拆线积耳分与克路径嘴无关查的等诱价条箱件定理22让.4的证百明1－4：设D是平捡面单锋连通厘区域,在D内具有竞一阶包连续确偏导侦数,(1垦)沿D中任贤意光书滑闭拿曲线L,有(2领)对D中任著一分海段光够滑曲闪线L,曲线议积分(3土)(4爪)在D内每睁一点待都有与路与径无箱关,只与具起止鸦点有怒关.函数则以缺下四深个条妻件等齿价:在D内是雄某一咸函数的全类微分,即说明:积分茅与路著径无盐关时,曲线晋积分壶可记霜为证明(1脑)臂(2信)设为D内任意两条超由A到B的有患向分葵段光杆滑曲线,则(根据越条件(1腿))证明(2船)鸣(3涉)在D内取苍定点因曲缩慧线积枕分则同理扛可证因此遮有和任托一点B(x,y),与路蛙径无摔关,有函数证明(3温)续(额4)设存蝴在函蛙数u(x休,油y)使得则P,颠Q在D内具承有连折续的村偏导婆数,从而渠在D内每骡一点载都有证明(4是)哈(僚1)设L为D中任症一分虚段光盲滑闭携曲线,(如图)握,利用格林敏公式,得所围丧区域合为证毕在区帆域上考却察积所分（1）其中为从到沿上蹈半圆般周（2）从到沿下番半圆绕周解：（1）（2）在区统域上考昆察上方述积宗分：这时是单鉴连通毫的，肥为近什么嘴仍有实际的上：订不满喜足定理巧中关并于叙及刷其偏仅导数欣的连僻续性条件芝。我矩们注抱意：猾若有转破坏庄连续选性条械件的镇“奇柏点”蓄，我毕们将这些灰点从爬区域裹中除悠去，眉于是倚区域就变沫为含昨有点掌“洞获”的区域,而在上具显有了滔连续拣性。烟从而可化停为上辞面的谋情形圆的膨方程尚：例.意义对内任织一条灰不包览含奇突点的闭多曲线，由决格林践公式件，怕有环绕甩奇点的任骑意两镜条简杜单闭谁曲线鸽和见的旁正向役的积间分相等单，续即环绕妥某一夸奇点n圈的放光滑筐闭曲老线L，其里中n1圈是慢正向口，n2圈是娃负向则积群分等于狡该点座循环方常数圈的倍。(i虽ii听)(i栗v)若不辰自相猾交光济滑闭悄曲线L包围耽了k个奇迁点，繁则沿L正向百的积同分等于瓦这k个奇蛮点的访循环证常数母之和港。第三抛节、茂场论嗽初步1.梯度宵场梯度:称为燥函数故的梯休度，机它定惹义了去一个辈向量严场，称为蚊梯度醉场，又称为梯玻度场短的势忍函数葵，则记函数沿的方街向导蝴数，利用词梯度磨得：其中为与梯嫂度之间辜的夹筐角。2.散度览场散度:设是空认间区役域上的撞向量殊场，相在上每一清点，定义羡向量章场的破散度覆为，记熊为散度栗构成路了的一悉个数男量场误。滩利用算子该有公式壁可写缝成物理间意义：就是歇流体镰在点的翁单位察体积四的流轮量，斜即流答量密乘度。向量面场定义公式爹可写生成：3.旋度利场小结格林皇公式单连断通区往域积分游与路驶径无差关习题1、设L是一皇条分幅段光虚滑的秘闭曲剂线,证明证:令则利用茶格林态公式,得2、计算其中D是以O(0萍,0劣)吨,A(1姿,1先)许,B(0凤,1跪)为顶秤点的艰三角兔形闭烤域.解:令,则利用僚格林裤公式,有3、计算其中L为上左半从O(0焦,把0)到A(4磁,证0)虑.解:为了朵使用仔格林沙公式,添加拆辅助撇线段它与L所围原式圆周区域孟为D愁,则4、验证是某察个函喂数的柜全微状分,并求出这标个函败数.证:设则由定册理2可知,存在咬函数u(x英,次y)使。。5、设质稳点在芽力场作用臂下沿跪曲线L:由移动线到求力罚场所烂作的餐功W解:令则有可见,在不末含原尾点的出单连鸣通区截域内准积分撒与路炸径无突关.取圆抄弧5、质点M沿着妥以AB为直配径的秀半圆,从A(1挡,2帆)运动麻到点B(3厚,没4)亩,到原踪蝶点的助距离,解:由图立知故所叹求功狭为锐角,其方