第课 一次函数及其图象

第12课一次函数及其图象1.概念：形如函数

叫做一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把函数

叫做正比例函数．2.正比例函数y＝kx的图象：过

两点的一条直线．要点梳理y＝kx＋b(k、b都是常数，且k≠0)y＝kx(0,0)，(1,k)3.正比例函数y＝kx的性质：(1)当k>0时，

；(2)当k<0时，

．4.一次函数y＝kx＋b的图象：y随x的增大而增大y随x的增大而减小5.一次函数y＝kx＋b的性质：过

的一条直线．(1)

；(2)

．(0,b)，当k>0时，y随x的增大而增大当k<0时，y随x的增大而减小1.正确理解正比例函数与一次函数之间的关系从解析式上看，对于一次函数的一般形式y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)，当b＝0时，即可得到正比例函数的解析式y＝kx(k为常数，k≠0)．正比例函数是一次函数，而一次函数不全是正比例函数．例如：函数y＝2x＋3是一次函数，但不是正比例函数；而函数y＝2x是正比例函数，也是一次函数．即一次函数包含正比例函数，二者不能并列；从函数图象上看，正比例函数y＝kx的图象与y轴交于原点(0,0)，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于(0,b)点，由此可知，直线y＝kx通过适当的平移可得到直线y＝kx＋b.[难点正本疑点清源]2.用函数观点看一次函数与一次方程(组)、不等式的内在联系用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标；一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0的形式，解一元一次不等式可以看做当一次函数的函数值y大于或小于0时，求自变量x相应的取值范围．从图象上看，一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上的部分对应y>0，这时对应的自变量x的所有取值为不等式ax＋b>0的解集，同理，一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax＋b<0的解集．利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．一般地，每个二元一次方程组，也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．方程(组)、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．1．(2011·潼南)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是()A．y＝0.05xB.y＝5xC．y＝100xD．y＝0.05x＋100

解析：y＝(100×0.05)x＝5x.基础自测B2．(2011·杭州)一个矩形被直线分成面积为x、y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是()

解析：设矩形的面积为S，则x＋y＝S，y＝－x＋S，其中0<x<S.故选A.A3．(2日01饿1·江西)已知箩一次劳函数y＝x＋b的图乏象经衫过一毙、二疾、三竭象限矛，则b的值争可以穷是()A．－2旨B．－1鸣C．0遵D．2解析笼：因下为直待线过谊第一湾、二距、三地象限筹，所也以x＝1>装0，b>0，故禾选D.D4．(2度01为1·泰安)知一斗次函畅数y＝mx＋n－2的图英象如小图所饥示，弓则m、n的取伏值()A．m＞0，n＜2B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2D．m＜0，n＞2解析富：由淘直线尺位置抖得找∴回故困选D.Dm＜0，n－2＞0，m＜0，n＞2，5．(2笔01压1·苏州)如图健，已兔知A点坐成标为(5岔,0六)，直丛线y＝x＋b(b>0纱)与y轴交抓于点B，连翻接AB，∠a＝75柄°，则b的值泻为()A．3琴B脸.C．4露D献.解析输：因秤为直坡线y＝x＋b与x轴成45珍°角，又∠a＝75饭°，所切以∠BA猎O＝30黄°，在Rt略△AO卖B中，OA＝5，则由ta棚n3振0°＝盆，派得OB＝末，汉即b＝.B题型士一谎一次佣函数y＝kx＋b对图只象及坊性质净的影碗响【例1】逼(胃1)一次丈函数y＝x＋2的图隔象不蔑经过()A．第俭一象丸限B．第杀二象茂限C．第株三象半限D．第盗四象夸限解析社：直禁线y＝x经过铸第一爹、三部象限孤，向乞上平伙移2个单悦位得壮直线y＝x＋2，而毅直线y＝x＋2经过练第一煤、二泉、三惑象限梅，不驳经过鼓第四占象限宅，应疏选D.题型删分类头深展度剖导析D(2源)一次雷函数蒸的图承象过朝点(0稳,2宴)，且在函数y的值亚随自签变量x的增步大而滨增大袄，请韵写出衰一个精符合志条件誉的函猫数解项析式．解析勒：设y＝kx＋2，又y随x的增宝大而岔增大旬，所老以k>0，∴符骡合条桂件的仪有：y＝x＋2(只需k>0即可)．探究如提高根据脑一次元函数英的性生质，舅若已多知系殿数k的符稳号就券可以贱直接床说出掩函数y的值糕随x增大加的增仙减情任况(即增渠减性)；反装之，啊若知厚道一覆次函伯数的冠增减岁性，狱就能衬推断马系数k的符驶号；犯一次己函数载的图干象直臣线y＝kx＋b与y轴交倚点(0挠,b)，根魔据交租点的柜位置沾，就屯能推致断b的符研号．y＝x＋2(只需k>0即可)知能牢迁移1(1析)(炼20非11尊·衡阳)如图患，一崇次函包数y＝kx＋b的图翠象与x轴的岩交点阳坐标蓝为(2炉,0票)，则遥下列固说法惰：①y随x的增袜大而熟减小桥；②b>0；③脸关于x的方杏程kx＋b＝0的解为x＝2.其中淋说法仓正确赶的有(把你辱认为浑说法遭正确窗的序坊号都椅填上)；①②阅③(2子)已知拳一次妥函数y＝3x＋m－2的图梢象不征经过本第二浮象限剂，则m的取圣值范谢围是．解析方：m－2<路0，m<2钳.m<2题型狗二太待定哀系数爹法求诵一次腐函数掏的解载析式【例2】如图在，直蓄线l1、l2相交做于点A(2药,3磁)，直准线l1与x轴的错交点枕坐标雷为(－1,声0)，直饿线l2与y轴的悄交点险坐标垮为(0傻,－2)，结眠合图锐象解拾答下古列问放题：(1体)求直烈线l1、l2的解宽析式菜；(2谷)求直欣线l1、l2与y轴围肺成的三沃角形碰的面克积．解：(1游)设直吵线l1的解荣析式牵为y1＝k1x＋b1，有得福∴y1＝x＋1.同理成：直惑线l2的解安析式膏为y2＝x－2.(2邀)直线l1：y1＝x＋1与y轴交肺于点(0相,1保)；直线l2：y2＝x－2与y轴交幕于点(0趴,－2)．∴三牧角形槐的面烂积＝×[扇1－(－2)峡]×元2＝3.探究崭提高k、b是一概次函储数y＝kx＋b的未震知系油数，窃这种帝先设灰待求倡函数引关系找式，霉再根听据条贿件列离出方列程或铅方程岔组，菜求出脆未知抚数，舅从而如得出欺所求宵结果沿的方贪法，尼就是体待定矮系数令法．3＝2k1＋b1,0＝－k1＋b1,k1＝1,b1＝1,知能前迁移2(2按01温1·福州)如图夕，在显平面丽直角废坐标贵系中掏，A、B均在零边长斯为1的正族方形娘网格漠格点珠上．(1捕)求线厌段AB所在倍直线学的函亿数解脏析式天，并巧写出复当0≤y≤2时，绘自变是量x的取日值范咸围；(2玻)将线贝段AB绕点B逆时还针旋谦转90章°，得鸽到线逃段BC，请聚画出愉线段BC.若直热线BC的函满数解赴析式持为y＝mx＋n，则y随x的增谋大而(填“四增大金”或马“减色小”)．解：(1饰)设直忧线AB的函溜数解元析式辉为y＝kx＋b，依题梦意，姿得A(1筛,0黎)，B(0积,2桐)，∴竖解邪得∴直阿线AB的函狭数解条析式盾为y＝－2x＋2.当0≤y≤2时，塔自变狐量x的取哀值范没围是0≤x≤1樱.(2谢)线段BC即为扫所求泊．答案鲁：勒增大麦．0＝k＋b，2＝0＋b，k＝－2，b＝2，题型孟三宰一次帽函数阅与一紧次方栋程、喊一次墓不等吧式综尤合问逗题【例3】善(暴1)已知庄一次信函数y＝ax＋b(a≠0籍)中，x、y的部互分对申应值翠如下痛表，裕那么碌关于x的方湾程ax＋b＝0的解趣是．解析洪：观竞察表示格，证可得境当x＝2时，y＝0，所境以方杏程ax＋b＝0的解热是x＝2.x－101234y6420－2－4x＝2(2项)若直俘线y＝－x＋b与x轴交萌于点(2奇,0据)，则传关于x的不打等式盘－x＋b>0的解迈集是．解析妈：直另线y＝－x＋b与x轴交很于(2宝,0当)，可懂知x＝2时y＝0，所以艳不等况式－x＋b>0的解硬是x<2丘.探究建提高进一接步熟缴悉函酒数图菜象的叔作法产，通施过图批象体鹅会一徐次函予数与打一元堤一次微方程碌，一陈元一禽次不膛等式泻的内滔在联年系，欠提高昆识图秆能力尿，一馆次函邀数y＝kx＋b，当y＝0，则kx＋b＝0，得融到一骗元一港次方获程，岸当y>0，则扩有kx＋b>0，得针到一搜元一升次不金等式格．x<2知能盟迁移3(1汇)如图袜，直揪线y＝kx＋b经过A(2土,1甘)、B(－1,－2)两点煮，则更不等隆式x>kx＋b>－2的解先集为__奴__葱__牲__．答案-1隔<x<2解析挤画虹直线y＝x，及撒直线y＝－2，即画得解辈集．(2婶)如图获直线l1：y＝x＋1与直谎线l2：y＝mx＋n相交绵于点P(1，b)．①求b的值摊；②不沈解关竹于x、y的方亭程组物，请卸直接泻写出祥它的木解；③直克线l3：y＝nx＋m是否告经过费点P？请铃说明软理由野．y＝x＋1y＝mx＋n解：①当x＝1时，y＝x＋1＝1＋1＝2.∴P(1塘,2蚊)，b＝2.②方程鞠组的夸解为③∵榆点(1地,2稻)在直缺线l2：y＝mx＋n上，∴2＝m＋n.当x＝1时，l3：y＝n＋m＝2.∴点P在l3：y＝nx＋m上，即直崇线y＝nx＋m经过切点P.x＝1y＝2题型显四设方案乱优化米问题【例4】在购逮买某劝场足绒球赛尤门票虾时，玻设购裤买门帝票数母为x(张)，总允费用漆为y(元)．现悼有两垮种购筒买方袭案：方案器一：妻若单甚位赞丸助广伤告费10正00骨0元，柿则该梅单位货所购宪门票女的价获格为诱每张60元(总费院用＝耐广告烈赞助陆费＋粮门票悠费)；方案岔二：古购买岭门票菜方式芝如图路所示谁．解答鹊下列由问题符：(1亲)方案护一中魔，y与x的函锅数关宝系式为；方音案二透中，当0≤x≤1担00时，y与x的函跟数关并系式为；当x＞10星0时，y与x的函等数关茅系式霉为；(2枯)如果协购买欣本场血足球术赛门全票超涌过10支0张，破你将歌选择风哪一匹种方恳案，假使总体费用耀最省夜？请匆说明单理由圣；(3砖)甲、赤乙两翅单位宅分别禾采用施方案摆一、挺方案绿二购浪买本酱场足坛球赛事门票扣共70获0张，歪花去胳总费甘用计58送00骄0元．划求甲仔、乙赔两单略位各删购买洽门票社多少脂张．解题熟示范——规范咐步骤疑，该肝得的抓分，含一分邮不丢籍！解：(1济)y＝60x＋10腿00京0；[1分]当0≤x≤1碗00时，y＝10职0x；[2分]当x>1扬00时，y＝80x＋20覆00伯.[3分](2错)1葡00顷<x<4脑00时，妈选方跳案二么购买线；x＝40备0时，撤两种才方案土都可塌以；x>4嗽00时，竟选方告案一隔购买丑．[6分](3丢)设甲当、乙猜单位激购买碑本次犹足球姐赛门反票分胡别是a张、b张,∵甲、堤乙单窜位分帽别采坏用方求案一局和方累案二绿购买贿本次体足球亿赛门槐票,∴乙公鸦司购望买本裹次足洪球赛袭门票撤有两泊种情侵况b≤1爽00或b>1杨00榴.①当b≤厕10购0时，解得铺不合伤题意馅，舍殖去．[8分]②当b>富10陪0，解得仿符合陕题意窃．故甲秩、乙梢单位呜购买掩本次猎足球意赛门族票分驶别为50详0张，20盼0张.[1宫0分]a＋b＝700,(60a＋10000)＋100b＝58000,a＝500,b＝150a＋b＝700,(60a＋10000)＋(80b＋2000)

＝58000,a＝500,b＝200探究诞提高1.数形堡结合鄙，把自数式喂和图妨形结乡丰合起群来进膨行思妈考，歌互相扫解释悦、互珍相补岭充．2.认真眼审题毙，理夺解题嫩意，迎看懂际坐标搭轴及颤图象民上的争点所德表示顿的实腐际意叛义，舌是解台决这茂类问尽题的乔关键惊，注驼意分欣段函炮数是蛙由自矛变量栽的取膛值决开定的夸．知能煌迁移4(2亮01歼0·巴中)“保护多环境块，人延人有光责．礼”为挖了更说好地奸治理漠巴河阴，巴阁中市轧污水垃处理警厂决粪定购态买A、B两型揪治水疏处理五设备尝，共10台，霜其信搜息如插下表游：(1构)设购纹买A型设秘备x台，件所需机资金翼共为W万元绳，每泪月处俩理污耐水总其量为y吨，塑试写狗出W与x，y与x的函吸数关嫌系式彼；(2照)经预专算，薪市污言水处掘理厂榆购买岗设备熊的资轨金不难超过10趟6万元血，月魔处理痛污水狂量不胖低于20阻40吨，捎请你龄举出故所有尺购买柴方案取，并剪指出皱哪种我方案勾最省屑钱，验需要捎多少峰资金主？单价(万元/台)每台处理污水量(吨/月)A型12240B型10200解：(1桃)W＝12x＋10与(1盯0－x)＝2x＋10储0，y＝24创0x＋20光0(进10－x)＝40x＋20死00和.(2元)∵印∴∴整数x取1或2或3.有三暖种购虹买方刃案：①A型1台，B型9台；②A型2台，B型8台；③A型3台，B型7台．∵W＝2x＋10滴0，W随x的增呆大而当增大纳．∴x＝1时，W有最锹小值尖，W＝1×租2＋10回0＝10象2.答：枕方案绕①最如省钱笋，需挂要10弦2万元死．W≤106，y≥2040，2x＋100≤106，40x＋2000≥2040，x≤3，x≥1，8.一次戴函数蔑错例兰分析试题阵如涨图所庄示，O为矩尖形AB抱CD的中奸心，壶将直验角三睛角板关顶点慎与O重合绕，转府动三洗角板职使两域直角摸边始济终与BC、AB相交飞，交闷点分画别为M、N，如妥果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y.则y与x的关脖系式孝是()A．y＝xB．y＝C．y＝xD．y＝x学生尽答案自展示B易错章警示剖析喂此淋题看岂起来掏有些视无从陕下手致，易叼估计纤直角键三角紧形顶后点与呈矩形AB司CD的中验心O重合韵时，到转动付三角记板，肿与矩只形重腰合的船面积凳不变糖，即S矩形OM督BN＝×4涉×6链(即取故直角槐三角添板的抖特殊井情形)，则微易错柄误地乌得到x·y＝6，即y＝.但实暂际上夸，过刃点O作AB、BC的垂唇线，垂足埋分别币为E、F，如照图所闷示．俗由于年∠EO哗N＋∠EO哗M＝90肤°，所样以∠EO御N＝∠FO坝M，又遗∠OE枝N＝∠OF注M＝90挠°，因壳此△OE丹N∽△FO夏M，则闹＝晴＝魔，即y＝x，此牢时，晃可看放出S△OE臣N∶S△OF学M＝(OE∶OF)2＝9∶粉4，所享以，突直角世三角围板与间矩形AB熟CD重合捡部分贵面积棚并非魔定值6.正解D批阅柿笔记不可驾以偏漫概全炸，用绝特殊妄位置禾、特缝殊值旬来考私虑一柜般情向形；朽再者芒，本龟题中中转动第直角洽三角障板，维与矩眉形重刮合部吹分的珍图形陶会随层之而刺改变娇．方法兴与技规巧1.能用赌待定惰系数动法求罩一次店函数企的关谜系式知，用优两点巴法准蓝确画袋出一美次函寨数的品图象惭，借肾助图虹象深饭刻理杰解一稍次函忍数的枕性质丝式，渗滤透数凉形结招合的胃思想巩，会担利用朱图象当判断k、b的取因值范吩围．2.对于象实际患问题留，要含根据嫩等量疗关系胞写出旱函数亚关系寇式，匙体现蚀用函菠数思涨想解图决实累际问夜题能衫力．3.注重时综合汉题、燃应用笼题、忧阅读尾题的近训练裳，提谎高函释数建省模能阀力和