(新高考)高考数学一轮复习过关练考点32 统计与古典概型（含解析）

考点32统计与古典概型考纲要求考纲要求掌握分层抽样、会求平均数、均值以及方差掌握古典古典概型概率的求法近三年高考情况分析近三年高考情况分析回顾五年来1、分层抽样、频率直方图在江苏高考中考均查过一次，但是样本的平均数与方差考查较多，这些知识点往往都是基础题，是送分题目。在全国范围内考查的不太多·2、概率在江苏每年都考一个题目，难度是容易题。除了2017年考查几何概型，其它年份均是古典概型。概率考查的范围是古典概型和几何概型、互斥事件的概率。估计今年考查还是以古典概型为主。在全国其他地区考查较少考点总结考点总结1、用样本估计总体的方式有：一表（频率分布表）；两图（频率分布直方图和茎叶图），2、频率分布直方图的纵轴是频率与组距的商，横轴一般为数据的大小。图中小矩形的面积就是对应的频率。3、在总体特征数的估计中，注意区分标准差与方差的概念，4、古典概型：SKIPIF1<0；基本事件数有限，一般用树形图、图表法等枚举法。5、在含有“至多”“至少”问题中，要善于运用对立事件的概率求解。三年高考真题三年高考真题1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为SKIPIF1<0．则①原始中位数为SKIPIF1<0，去掉最低分SKIPIF1<0，最高分SKIPIF1<0后剩余SKIPIF1<0，中位数仍为SKIPIF1<0，A正确；②原始平均数SKIPIF1<0，后来平均数SKIPIF1<0，平均数受极端值影响较大，SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定相同，B不正确；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由②易知，C不正确；④原极差SKIPIF1<0，后来极差SKIPIF1<0，显然极差变小，D不正确．故选A．3、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如SKIPIF1<0．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C10因为SKIPIF1<0，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故所求概率为SKIPIF1<0，故选C．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A．5、【2020年高考江苏】已知一组数据SKIPIF1<0的平均数为4，则SKIPIF1<0的值是▲．【答案】2【解析】∵数据SKIPIF1<0的平均数为4∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．6、【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意可得基本事件数总为SKIPIF1<0个.点数和为5的基本事件有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7、【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为SKIPIF1<0，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为SKIPIF1<0，甲、乙两球都不落入盒子的概率为SKIPIF1<0，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.8、【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意，该组数据的平均数为SKIPIF1<0，所以该组数据的方差是SKIPIF1<0．9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为SKIPIF1<0，其中高铁个数为SKIPIF1<0，所以该站所有高铁平均正点率约为SKIPIF1<0．10、【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，故平均数为SKIPIF1<0．11、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为SKIPIF1<0．12、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．二年模拟试题二年模拟试题题型一、统计1、（2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（）A．80 B．90 C．100 D．120【答案】B【解析】高二年级抽取的人数为：SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<02、（北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）从SKIPIF1<0年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语SKIPIF1<0门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，各等级人数所占比例依次为：SKIPIF1<0等级SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等级SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等级SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等级SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等级SKIPIF1<0．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取SKIPIF1<0人作为样本，则该样本中获得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0等级的学生人数为（）A．55 B．80 C．90 D．110【答案】D【解析】设该样本中获得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0等级的学生人数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：D3、（2019年11月中学生标准学术能力诊断性测试测试文科数学试题）某单位SKIPIF1<0名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取SKIPIF1<0名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则SKIPIF1<0岁年龄段应抽取的人数是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题中饼图可知，SKIPIF1<0岁年龄段的职工所占的比例为SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0岁年龄段应抽取的人数是SKIPIF1<0.故选：C.5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对SKIPIF1<0增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选：ABD．6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小【答案】AB【解析】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．故选：AB.7、（2020届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间SKIPIF1<0内的人增加了2个B．他们健身后，体重在区间SKIPIF1<0内的人数没有改变C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了SKIPIF1<0D．他们健身后，原来体重在区间SKIPIF1<0内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】体重在区间SKIPIF1<0内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故SKIPIF1<0正确；他们健身后，体重在区间SKIPIF1<0内的百分比没有变，所以人数没有变，故SKIPIF1<0正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；因为图（2）中没有体重在区间SKIPIF1<0内的比例，所以原来体重在区间SKIPIF1<0内的肥胖者体重都有减少，故SKIPIF1<0正确.故选：SKIPIF1<08、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.【答案】10【解析】由题得，SKIPIF1<0.故答案为：109、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）已知一组数据SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的平均数为a，极差为d，方差为SKIPIF1<0，则数据SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的方差为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵数据SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的方差为SKIPIF1<0，

∴数据SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的方差是SKIPIF1<0，

故答案为：SKIPIF1<0.10、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）某厂生产SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三种不同型号的产品，产品数量之比依次为SKIPIF1<0，现用分层抽样的方法抽取一个容量为SKIPIF1<0的样本，其中SKIPIF1<0型号产品有SKIPIF1<0件，则SKIPIF1<0的值为_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】由于在总体和样本中，SKIPIF1<0型号的产品所占的比例相等，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0.题型二、古典概率1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品为事件SKIPIF1<0，仅第二个实习生加工一等品为事件SKIPIF1<0两种情况，则SKIPIF1<0，故选：B．2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只有1个，SKIPIF1<0田忌获胜的概率为SKIPIF1<0．故选：B.3、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有SKIPIF1<0种选择，丙同学有SKIPIF1<0种选择，此时共有SKIPIF1<0种；若甲选马作礼物，则乙有SKIPIF1<0种选择，丙同学有SKIPIF1<0种选择，此时共有SKIPIF1<0种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为SKIPIF1<0.故选：C.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数mSKIPIF1<036，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是pSKIPIF1<0．故选：B．5、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为SKIPIF1<0，口香糖为SKIPIF1<0，进行四次取物，基本事件总数为：SKIPIF1<0种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：SKIPIF1<0种糖、烟、糖、糖：SKIPIF1<0种糖、糖、烟、糖：SKIPIF1<0种包含的基本事