数理统计的概念

勤学好问必有所获第五章

数理统计的概念总体与总体特征数样本与统计量统计三大分布与抽样分布数理统计回归关系图

数理统计

数理统计一、数理统计及其任务

数理统计是一门以概率论为基础的应用学科。它是研究如何有效地收集、整理、分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，从而为决策提供依据。

数理统计的任务就是研究有效地收集数据，科学地整理与分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论。

数理统计研究问题的方式，不是对所研究对象的全体(称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据(抽样)，并通过这些数据对总体进行推断。数理统计方法具有“部分推断整体”的特征。二、数理统计研究问题的一般流程分析问题确定总体收集数据试验设计抽样数据整理统计推断参数估计假设检验我们这门课所学的数理统计实际上是统计推断及其应用（方差分析与回归分析）的一部分内容。

为什么要用数理统计方法研究问题？随机现象有它的规律性，随机现象的特点注定了进行足够多次观察，其规律性才能清楚地呈现出来。但是，客观上只允许对随机现象进行有限次观察试验，只能获得局部观察资料.总体与总体特征数一、总体与总体标志总体(Population)Def在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个单元称为个体。描述总体单元在某方面特性的名称或记号称为总体指标；每个总体单元对总体指标的响应称为指标值。总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。…研究某批灯泡的质量

…总体个体在数理统计中，人们往往研究有关总体总是关注总体某一项或几项指标，为此，对这些指标进行随机的试验或观测，试验或观测结果获得这些指标的一部分或全部指标值，从而考察该数量指标的分布情况。这时，指标值的全体就象是总体。每个指标值就象是总体单元。总体指标值全集指标随机变量总体可以用随机变量及其分布来表示，研究总体等价于研究表达总体的随机变量概率分布；在理论上可以把总体与概率分布等同起来，总体分布就是表达总体的随机变量的分布。例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的指标是寿命，那么，该总体就可以用随机变量X和其概率分布表示。总体特征数样本与统计量一、样本样本(Sample)Def按一定规则从总体中抽取一部分总体单元进行观测或试验，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分总体单元的整体称为总体的一个样本(子样)。样本中所包含的总体单元称为样本单元，样本中样本单元的数目称为样本容量。样本样本实现抽定样本应满足的性质(1)代表性；(2)随机性。简单随机样本(Independenceidenticaldistribution)Def例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中再抽第二件产品，则这样获得一个简单随机抽样。

实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单随机抽样。样本分布Def注意：样本分布反映样本取不同实现的概率规律，其与总体分布相联系，一般求算比较麻烦，但对于iid样本有下列结果。总体、样本、样本实现的关系总体样本实现样本推断例5村.1例5斗.2二、鸽统计落量样本(S祖ta摄ti艳st忠ic响)例5.3

设是从正态总体中抽取的一个样本，其中为已知参数，为未知参数，确定下列帐那些量量是烧统计馒量它反券映了垂总体k阶矩絮的信粮息几个尸常用番的统蝴计量样本艺平均阳值它反蹦映了拾总体均值购的信延息样本务方差它反图映了省总体方差席的信翅息样本唇标准盯差样本k阶原免点矩样本k阶中炼心矩统计滑三大馒分布分布这个拌分布范是由纵He枣lm倾et愁于1打87乘5年采提出端，K煤.P节ea知rs胶on悦于1知90为0年私重新搞提出恢。理像论推珍导可击得概羡率密肠度函茫数为其概味率密针度函关数的长图像露如图堵所示（用软中心是极限透定理扛证明义）t分布(学生巾氏t分布)这个灵分布盒是由棉于1茧90源8年地提出劣，该毯分布销的提出为捕小样均本方前法的迫建立轨奠定袖了概惑率基鸽础。尸理论约推导虫可得概值率密洋度函张数为F分布这个觉分布重是由劳于1满91向8年逆提出拘，该变分布元的提须出为方突差分和析的嘱建立夏奠定能了概甲率基吵础。露Sn己ed搂co哨r于权19应34狮年给出鄙概率内密度胸函数闷。例5界.4抽样兴分布抽样践分布(S摔am巨pl极in务g士Di密st轰ri膏bu喊ti聚on气)确定绍抽样狂分布注是数陈理统锻计的在又一仗个基吵本问证题，堆确定丽相应统计笋量的塌分布节是建罢立统芽计方席法的腐基础脖。以厨统计奸量的艺精确分布谢为基棉础的弱统计倡方法怕称为小样挂本方斤法；而皂以统夜计量正的极课限分布中为基绵础的阵统计搜方法冲称为大样浇本方魂法。例5壳.7解：为了罩研究乎随机吩现象播，首神要的哪工作泛是收宴集原乓始数依据.摇一般李通过炮抽样冒调查喉或试肝验得喊到的乞数据葬往往撕是杂户乱无米章的击，需窑要通渡过整余理后饭才能腿显示失出它果们的迹分布贡状况四。数据抛的简运单处腊理是持以一球种直肃观明宋了的嫂方式贺加工欠数据初，它藏包括描两个嘉方面品：数箩据整奔理；华计算订样本婚特征尺值。数据购的整倘理与匀加工数据蚕整理：将导数据割分组怨计旷算各该组频集数作频循率分拔布表腥作耕频率炭直方堡图计算麦样本馆特征的值：样本蹦均值膝、样侄本方美差等俯。例5游.8为对执某小脆麦杂丈交组酱合F2代的增株高X进行披研究敢，抽漂取容量星为1还00歼的样传本，将测试领的原知始数被据记粮录如抖下(腾单位院:厘检米)摊，试根语据以纱上数悠据，靠画出仪它的斤频率锯直方袍图，窑并以改此说色明随舒机变量X的分招布状秧况。87号88加1鸭11企91柏73蜂70啄92枯98矛1英05底9499概91餐98勉1射10弄98麦97故90碌83麻92汽8爆886鹅94港1兼02洒99泻89挥1单04急94寄94啦92械9套687扶94汗92禽86午1蒜02泳8忧8注7告5凡9慈0伪9蒙0获8084升91中82伍94机99县1秤02督91葱96朗94昼9室485迹88化80浩83县81变69予95绪80送97晓9队296王1脚09遭91留80艘80云94誓1笨02苦80世86饲9誓190王83荷84范91柄87养95圆76船90番91索7续710兰3叠89慰88乖85捧95寸92牌1赖04惰92洲95统8涛386括81骨86摄91牧89释83楚96常86缎75拼9谨2整理保原始紧数据帖，加毁工为内分组位资料爷，作按出频辣率分斯布表僻，画组直方沾图，味提取熊样本欲分布灿特征逮的信兵息。赴步骤浑如下物：1.脂找数洪据最压小值m=6榨9，榆最大京值M=1优11奶，极炼差为M－笼m=久42；2.廉数据删分组湖，根趴据样抛本容营量n的大帜小，杯决定蒜分组袄数k；3.煌确定妈组限必和组从中点抹值；4.茎将数烂据分宣组，扔计算笨出各洞组频较数，姓作频转数、弓频率牢分布须表；5.紧作出殿频率合直方忠图。注意花：分切组的流一般优原则碗为30赵≤n芬≤4耳0肝5≤粗k≤虑640纱≤n蜻≤6黄0敞6≤您k≤调860叫≤n恰≤1豪00慈8裂≤k起≤1马010木0≤滴n≤梨50槐0定10膀≤k蓄≤2蚕0本例狼取k罩=9布，一属般采梦取等缝距分踪蝶组（占也可啦以不啊等距朽分组暖），尼组距渗等于斥比极贩差除缝以组榨数略绢大的莫测量白单位羡的整古数倍仇。本挂例测轻量单拼位为记1厘巩米，爬组距邻为一般浇根据芦算式善：竞各组医中点项值加脱减1携/2狡组距奸=组笋的上秆限或腿下限喝，组长的上系限与楼下限雾应比鸽数据吐多一芬位小潮数。研本例肤取a禾=6滥7.击5，万b=抱11般2.普49铃(a啊略小扫于m从，b土略大任于M扒，且盏a和败b都叼比数冰据多慈一位屯小数隔)，咱分组劝如下迷：[6病7.彻5,达72豪.5痛)牲[7板2.缝5,撤77竿.5游)子[晶77梯.5宁,8粮2.竹5)[8商2.朱5,态87强.5抹)结[8翠7.统5,琴92段.5柱)术[肯92尽.5绵,9束7.居5)[9岛7.糠5,尽10戏2.黑5)批[挑10翻2.绕5,茎10套7.俊5)悲[1兄07联.5青,1创12药.5云)组中成值分耻别为男：7捐0,谋75猜,8盯0,有85劝,9贯0,偏95挨,1嫩00调,1艳05有,1雾10组序区间范围频数fj频率Wj=fj/n累计频率Fj1[67.5,72.5)20.020.022[72.5，77.5）50.050.073[77.5，82.5）100.100.174[82.5，87.5）180.180.355[87.5，92.5）300.30.656[92.5，97.5）180.180.837[97.5，12.5）100.10.938[102.5，107.5）40.040.979[107.5，112.5）30.031.00以样虫本值借为横刮坐标畅，频片率/战组距瞧为纵摄坐标顿；以睡分组故区间为底疗，以为高备作频较率直趣方图怖，如绒图所