广东省河源市文昌中学2021年高三数学文测试题含解析

广东省河源市文昌中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．

B．

C．1

D．4参考答案：D分析： 作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解答： 解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，∴=2，求得a=4，故选D．点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．2.已知集合，，则A∩B=等于（

）A.(－1,3) B.(0,3) C.(1,3) D.(2,3)参考答案：D【分析】求出集合A，然后根据数轴求出.【详解】解：因为，所以或，故集合{或}，又因为集合，所以=，故选D.【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素.3.已知，则展开式中的系数为（

）A．24

B．32

C.

44

D．56参考答案：A4.已知p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可．【解答】解：关于p：?x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，∵?x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．【点评】本题考查了二次函数、三角函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．5.(

)A.i B.－i C.0 D.1参考答案：B【分析】利用复数的除法运算，即得解.【详解】化简：故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.若等差数列满足，则公差为

A．1

B．2

C．1或-1

D．2或-2参考答案：C8.在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出(

)A．10

B．11

C．512

D．1024参考答案：D9.若角α的终边落在直线x+y=0上，则的值等于（） A．2 B． ﹣2 C． ﹣2或2 D． 0参考答案：考点： 三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题： 三角函数的求值．分析： 根据α的终边落在直线x+y=0上，判断出α所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对α分类利用三角函数值的符号进一步化简求值．解答： 解：∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角．∵+=+，∴当角α为第二象限角时，原式=﹣+=0；当角α为第四象限角时，原式=+=0．综上可知：角α为第二或第四象限角时，均有值为0，故选D．点评： 本题考查了平方关系和三角函数值的应用，以及分类讨论思想．10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别是5，2，则输出的n等于(

)A．2

B．3

C.4

D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过曲线上点p处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P的坐标为______．参考答案：(1,0)略12.不等式的解集是_________________.参考答案：由得，即，所以解得，所以不等式的解集为。13.设Sn为数列{an}的前n项之和．若不等式对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．参考答案：考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意可知5×an2+2×a1?an+a12≥4λa12，两边除以a12，设x=，有．由此可知答案．解答：解：∵∴可以转化为5×an2+2×a1?an+a12≥4λa12两边除以a12，设x=，有，∴∴当x=﹣时，λ有最大值．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．14.已知的终边在第一象限，则“”是“”的

▲

条件．参考答案：既不必要也不充分条件略15.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.参考答案：略16.中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为

平方尺．参考答案：17.已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则n=_____．参考答案：【知识点】线性规划E5

解析：作图可知，，则【思路点拨】根据题意可直接列出关系式求出n的值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。

参考答案：（Ⅰ）设数列

的公差为d,由题意知

解得所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

因

成等比数列，所以

从而

，即

解得

或（舍去），因此

。19.设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．【解答】解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．20.已知椭圆的下焦点为F，F与短轴的两个端点构成正三角形，以O（坐标原点）为圆心，OF长为半径的圆与直线相切。（1）求椭圆C的方程；（2）设点P为直线上任意一点，过点F作与直线PF垂直的直线l，l交椭圆C于A，B两点，AB的中点为M，求证：O，M，P三点共线。参考答案：(1).(2)见解析.【分析】（1）根据题意得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）证明即证明三点共线.【详解】（1）由题意得，，解得，则椭圆的方程为（2）由题意知，设，当时，的中点为，此时三点共线，符合条件；当时，，则，∴直线的方程为，联立得，，设，则，∴，∴，则的中点的坐标为，∴，又，∴，∴三点共线.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三点共线的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数f（x）=ex+ax（a∈R），g（x）=exlnx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，点（1，0）到直线l的距离为，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，函数M（x）=g（x）﹣f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由导函数求出曲线y=f（x）在x=1处的切线l的方程，再由点（1，0）到直线l的距离为列式求解a的值；[来源:Z§xx§k.Com]（Ⅱ）当x=0时，对任意实数a，f（x）=ex＞0恒成立；当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数，由导数求其最大值，则a的范围可求；（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入M（x）=g（x）﹣f（x），整理后求其导函数，由其导函数恒大于0得到M（x）是定义域内的增函数，从而说明函数M（x）=g（x）﹣f（x）在[1，e]上不存在极值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ex+ax，∴f′（x）=ex+a，f（1）=e+a，y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=e+a，∴切线l的方程为y﹣（e+a）=（e+a）（x﹣1），即（e+a）x﹣y=0．又切线l与点（1，0）距离为，∴，解之得，a=﹣e+1，或a=﹣e﹣1；（Ⅱ）∵对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，∴若x=0，则a为任意实数时，f（x）=ex＞0恒成立；

若x＞0，f（x）=ex+ax＞0恒成立，即在x＞0上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增．当x∈（1，+∞）时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，+∞）上单调递减．∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（x）max=Q（1）=﹣e，∴a的取值范围为（﹣e，+∞）．综上，对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围为（﹣e，+∞）；（Ⅲ）依题意，M（x）=exlnx﹣ex+x，∴，设，则，当x∈[1，e]，h′（x）≥0，故h（x）在[1，e]上单调增函数，因此h（x）在[1，e]上的最小值为h（1）=0，即，又ex＞0，∴在[1，e]上，，即M（x）=g（x）﹣f（x）在[1，e]上不存在极值．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，训练了利用构造函数法求解字母的范围，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数，属高考试卷中的压轴题．22.(本小题满分13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为