浙江省温州市鹿城实验中学2021年高二数学文联考试题含解析

浙江省温州市鹿城实验中学2021年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明等式：,由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；当时，等式左边等于，共项求和；所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.2.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（

）A.600 B.288

C.480

D.504参考答案：D略3.下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（

）参考答案：A略4.函数的导数为（

）A.

B.C.

D.参考答案：B5.双曲线﹣=1的焦距的最小值为（）A． B．2 C．5 D．10参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意，2c=2，即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值．【解答】解：由题意，2c=2，∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2，故选B．6.已知直线l：y=–+m与曲线C：y=1+仅有三个交点，则m的取值范围是（

）（A）(–1，+1)

（B）(1，)

（C）(1，1+)

（D）(2，1+)参考答案：D7.设函数f（x）=ex﹣2x，则（）A．x=为f（x）的极小值点 B．x=为f（x）的极大值点C．x=ln2为f（x）的极小值点 D．x=ln2为f（x）的极大值点参考答案：C【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数为0，判断函数单调性，然后求解函数的极值，得到选项．【解答】解：由函数f（x）=ex﹣2x，得f′（x）=ex﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2时，f′（x）＜0，x＞ln2时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2时取得极小值．故选：C．8.已知复数，则复数

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D9.如果为递增数列，则的通项公式可以为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D10.在空间直角坐标系中，点P（﹣2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标是（）A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，﹣1，4） D．（2，1，﹣4）参考答案：A【考点】空间中的点的坐标．【分析】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于xOy平面对称点的坐标是（x，y，﹣z）．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（﹣2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标是（﹣2，1，﹣4）．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是

.

参考答案：12.各项为整数的等比数列中，成等差数列，则的值为

参考答案：13.两个等差数列则--=___________.参考答案：14.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为

。参考答案：略15.设,函数,则的值等于

．参考答案：816.不等式4x＞的解集为

．参考答案：{x|﹣1＜x＜3}．根据指数函数的性质得到一元二次不等式，解出即可．解：∵4x＞2，∴2x＞x2﹣3，即x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．17.已知函数有极值，则的取值范围为

参考答案：a>1或a<-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及.

（I）求椭圆的方程；（II）求证：为定值；(Ⅲ)求的最小值.

参考答案：解：（I）由，得，即，即．（1），

……1分由椭圆过点知，．（2） ……2分联立（1）、（2）式解得．

……3分

故椭圆的方程是；

……4分（II）为定值

……5分法一：证明椭圆的右焦点为，分两种情况．1°当直线AB的斜率不存在时，AB:，则CD:．此时，,；

……6分2°当直线AB的斜率存在时，设AB:，则CD：．又设点．联立方程组消去并化简得，所以，

……7分

……8分

由题知，直线的斜率为，同理可得

……9分所以为定值.

……10分

法二：证明椭圆的右焦点为，分两种情况．1°当直线AB的斜率不存在时，AB:，则CD:．此时，,；

……6分2°当直线AB的斜率存在时，设AB:，则CD：．又设点．联立方程组消去并化简得，所以，

……7分

由，同理

……8分

故由题知，直线的斜率为，同理可得

……9分所以为定值.

……10分

(Ⅲ)解：由（II）知，

所以

……11分，

……12分当且仅当，即，即时取等号

……13分所以的最小值为.

……14分略19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是线段PB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：AQ∥平面PCD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质及PA⊥平面ABCD推断出PA⊥AC，PA⊥AB，进而利用PB⊥AC，推断出AC⊥平面PAB，利用线面垂直性质可知AC⊥AB，再根据PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A推断出AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中点E，连结QE，ED，推断出QE为中位线，判读出QE∥BC，BC=2AD，进而可知QE∥AD，QE=AD，判断出四边形AQED是平行四边形，进而可推断出AQ∥DE，最后根据线面平行的判定定理证明出AQ∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB?平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB?平面PAB，PA∩PB=P，∴AC⊥平面PAB，∵AB?平面PAB，∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A；∴AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中点E，连结QE，ED，∵Q是线段PB的中点，E是PC的中点，∴QE∥BC，BC=2AD，∴QE∥AD，QE=AD，∴四边形AQED是平行四边形，∴AQ∥DE，∵AQ∥ED，ED?平面PCD，∴AQ∥平面PCD．20.(本小题满分13分)某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.（Ⅰ）求中三等奖的概率；（Ⅱ）求中奖的概率.参考答案：两个小球号码相加之和等于3中三等奖，两个小球号码相加之和不小于3中奖，设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球任选两个共有（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）六种不同的方法.

（Ⅰ）两个小球号码相加之和等于3的取法有2种：（0，3），（1，2）.故

------6分（Ⅱ）两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：（0，1）；两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：（0，2）.故

------------------13分21.（本小题满分12分）设函数

(Ⅰ)当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.（Ⅲ）若对任意及任意，恒有

成立，求实数的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为.

当时，令得.

当时，当时，

无极大值.4分（Ⅱ）

5分

当，即时，

在上是减函数；

当，即时，令得或

令得

当，即时，令得或

令得

7分

综上，当时，在定义域上是减函数；

当时，在和单调递减，在上单调递增；

当时，在和单调递减，在上单调递8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，

当时，有最大值，当时，有最小值.

10分而经整理得

由得，所以

12分略22.（本题满分10分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，到孩子18岁生日时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？参考答案：【解