湖南省株洲市红色农场学校2022-2023学年高三数学文月考试题含解析

湖南省株洲市红色农场学校2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知集合A={0,2}，B={－2,－1,0,1,2}，则A∩B=（

）A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{－2,－1,0,1,2}参考答案：A根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B={0,2} ，故选A.3.若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f（12,16）的值是（

）A.12

B.16

C．24

D.48参考答案：D4.已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×3=6，由题意可知：==，∴S阴影==．∴=S阴影=．故选B．5.△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为

A．2∶3

B．1∶3

C．1∶4

D．1∶6参考答案：B6.已知定义在上的函数，则下列命题中一定正确的是A.若有最大值，则在上为增，在上为减B.若在上为增，在上为减，则有最大值

C.若在上为减，在上为减，则在上是减函数D.若在上是减函数，则在上为减，在上为减参考答案：D7.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7） B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5） D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】判断函数的周期性，单调性，对称轴，然后判断函数值的大小．【解答】解：定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．函数是周期函数，周期为4；②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．说明函数在x∈[0，2]，函数是增函数；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．函数的对称轴x=2．则函数在x∈[2，4]，函数是增函数；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：B．8.已知集合，，则（）

A．B．C．D．参考答案：B,，所以,

选B.9.定义运算，则符合条件=0的点P(x,y)的轨迹方程为（

）A．(x–1)2+4y2=1

B．(x–1)2–4y2=1

C．(x–1)2+y2=1

D．(x–1)2–y2=1参考答案：解析：A

由已知(1–2y)=0，即(x–1)2+4y2=1.10.已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，） C．（0，） D．（，）参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得，由此求得a的范围．【解答】解：由于函数f（x）=是R上的减函数，可得，求得≤a＜，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数___________参考答案：12.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段

．参考答案：1

略13.已知定义在上的函数．给出下列结论：①函数的值域为；②关于的方程有个不相等的实数根；③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则；④存在，使得不等式成立，其中你认为正确的所有结论的序号为____________。参考答案：①③略14.定义在R上的函数满足：，当时，，则＝__________.参考答案：3略15.已知函数的最小正周期为，现将的图像向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到新的函数，则的单调减区间为

参考答案：16.已知数列中,,,,则…=

.参考答案：略17.设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共12）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形．（1）求证：平面；(2)求二面角的余弦值．参考答案：（1）证明：在直三棱柱中，

平面，又平面，

所以．

因为，为中点，所以．又，所以平面．又平面，所以．因为四边形为正方形，，分别为，的中点，所以△≌△，．所以．所以．

又，所以平面．

……6（2）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．

则．

由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，，．由可得令，则．所以．从而．因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……1219.已知为常数，在处的切线为．（1）求的单调区间；（2）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围．参考答案：略20.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．参考答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）．试题分析：（1）把代入到中求出，令求出的范围即为函数的增区间，令，求出的范围即为函数的减区间；（2）时不可能恒成立，所以要使得函数在上无零点，只需要对时，恒成立，列出不等式解出大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的最小值；（3）求出，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出的值域，而当时不合题意；当时，求出时的值，根据列出关于的不等式得到①，并根据此时的的值讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意的取值范围．试题解析：（1）时，由得；得．故的减区间为，增区间为．（2）因为在上恒成立不可能，故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时，．令则再令

于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数

在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为．

（3）当时，，为增函数；当时，，为减函数．函数在上的值域为当时，不合题意；当时，．故．①此时，当变化时，，的变化情况如下—0+↘最小值↗

时，，任意定的，在区间上存在两个不同的

使得成立，当且仅当满足下列条件即

②即

③令

令得当时，

函数为增函数当时，

函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立由③解得

④由①④当时，对任意，在上存在两个不同的使成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上的最值．21.已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．22.已知右焦点为F的椭圆M：+=1（a＞）与直线y=相交于P，Q两点，且PF⊥QF．（1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求椭圆方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+），可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2=3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面积为定值．【解答】解：（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程可得+=1，即t2=a2①且PF⊥QF，可得?=﹣1，即c2﹣t2=﹣，②由①②可得c2=a2﹣．又a2﹣c2=3，解得a=2，c=1，即有椭圆方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+