数学模型差分方程

1.1差分方程1.2市场经济中的蛛网模型1.3减肥计划——节食与运动1.4差分形式的阻滞增长模型1.5按年龄分组的种群增长差分方程模型1.1差分方程

给定一个数列

，如果和数列中在它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数

的整数

都有效，则称这个方程为差分方程。

例1汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为试建立关于的差分方程。解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要移动次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B上，这需要移动1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B上，这又要移动次，于是得差分方程：例2设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月兔子对数，所以一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法

形如

的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中

是常数，且

方程

(2)称为差分方程（1）的特征方程。

方程（2）的k个根称为差分方程（1）的特征根。

定理1设差分方程

的特征根

互不相同，则该差分方程的通解为：

其中

为任意常数。

定理2设

是差分方程

的特征方程相异的根，且

是特征方程的

重根，则该

差分方程的通解为：其中

定理3设差分方程

的特征根出现一对共轭复根和k-2个不同实根则差分方程的通解为：

其中例3.设初始值为

，求差分方程

的特解

.解：该差分方程对应的特征方程为

其根为：

，所以故通解为

代入初始条件有解之得:故所求初值问题的特解为：

二.常系数线性差分方程的Z变换解法

设有离散函数（数列）

，则

的Z变换定义为其中z是复变量，因此级数

的收敛域为某个圆的外部。的Z反变换记作

(1)单位脉冲函数

的Z变换为1.几个常用离散函数的变换(2)单位阶跃函数

的变换为(3)单边指数函数

的变换为2.Z变换隆的性躬质(1龙)线资性性设则其中为常岭数，塘收敛柜域为的公惨共收避敛域衡。(2浪)平抬移性设，则a.特别杆地证枪：b.特别招地证：例4替.求凳齐次扒差分稳方程的解晒。解：躁令，对闭差分膏方程首求变患换得糖：对上粪式求Z的反铜变换纷得：这就营是所宽求方蛾程的篇解。二、常系兽数线梳性非往齐次体差分小方程泪的求盒解形如的差凤分方谢程称榴为k阶常发系数在线性捞非齐雕次差完分方唉程，其柳中是常帝数，诉且定理啊4肌方程扎（3隆）的滚通解忆等于幸它对愈应的齐次免差分恩方程晌（1箩）的天通解加上峰它本右身的尺一个币特解光，即其中是（漫1）撑的通轨解，是（信3）厕的一瓣个特抖解。注意额：求常系漂数线脉性非鲜齐次够差分矮方程挤的特解漫可参齐照求常系旁数线性烧非齐扬次微饼分方堂程的特解美的方斗法。例5有求裤非齐次词差分从方程的通解怎。解：歼对应饺的齐次我差分症方程趟的特推征方承程为特征挖根为所以克对应滨的齐次狡差分为方程翠的通践解为由所睛给非齐次种差分补方程袍的右珠端，轮可设认其特变解为代入酒原方程谜得故所俗求方程培的通腊解为有些沸非齐次惩差分槽方程输还可运以化编为齐求次方委程求方解或障用观纪察法肆求特采解例6阵求遵解汉子诺塔张问题晴：解：祖方法或一吧由得两试予相减铅得其特征霞方程以为特征采根为故通解求为由知将代入得故所崭求问卫题的猛解为方法霉二蜻对应惩的齐次饱差分虎方程吃的通纸解为观察惜有特解故通追解为由初始列条件得所求魄问题恰的解稿为例7划求差分与方程的通解鸽。对应突的齐次理差分摊方程勉的通晶解为观察帆有特解故通馅解为三、差分章方程似的平乘衡点甜及稳谎定性1.想一阶炊线性差分位方程屈的平好衡点典及稳社定性一阶芝线性尼常系感数差分井方程的平堡衡点吧由解得，核为则平衡究点是笋稳定债的，屈否则是不稳定主的。易知，易可以糟用变猪量代彩换将充（4夫）的平阿衡点题的稳逆定性凶问题怪转换亡为的平衡取点的稳灯定性蜜问题篮。而方程揪（5汁）的境解为所以勾当且枪仅当时，助方程洁（5梳）的平锣衡点也（从编而方程诸（4险）的平衡陪点）吗才是专稳定爪的。对于n维向扰量常数舍矩阵A构成双的方争程组其平衡劝点稳旱定的释条件围是矩阵A特征夏根2.二阶酷线性差分堡方程赔的平酒衡点格及稳芹定性考察海二阶顺线性罚差分止方程的平驼衡点的稳阶定性.(违6)的通算解为其中波常数由初夺始条仆件确定,由忍(7做)得怪,当且通仅当时方甲程（6）的湾平衡裹点才过是稳貌定的.与一疾阶线械性差腹分方纷程一涂样,二阶使线性哪非齐传次差杂分方宏程的平俗衡点瓜的稳灰定性捏与方逐程（6）相察同.二阶线性步方程烛的上蓄述结冠果可捐以推做广到n阶线闷性方隐程,周即n阶线近性方程辫平衡刃点的亦稳定邻的条市件是霉特征岭方程垂的根3.胃一阶术非线束性差分扔方程略的平真衡点睛及稳刺定性一阶非稠线性差分引方程的平衡该点由代数泥方程解出,依现分兰析的稳定摇性.座将方程酷(9班)的吼右边秤在点作跃泰勒展开墙,只斩取一冶次项居,(电9)骑近似鲁为(10呼)是计(9算)的板近似秩线性踪蝶方程雪,也是屡(1忽0)仍的平衡忘点,界而当时,蠢方程氏(9步)与封(1历0)校的平衡拣点的赞稳定芳性相吓同,让因此对于无方程邻(9皮),是稳定桂的;对于恨方程吊(9障),是不稳定谋的.1.合2市场莲经济项中的鼓蛛网俗模型问题供大魔于求现象商品第数量智与价吸格的棕振荡蓝在什狮么条渴件下吵趋向宴稳定当不寻稳定阳时政陆府能苦采取抵什么去干预评手段愧使之着稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述败商品展数量籍与价唯格的饶变化呜规律数量某与价述格在顷振荡蛛断网蛾模介型gx0y0P0fxy0xk~第k时段坏商品辫数量只；yk~第k时段振商品据价格消费托者的挤需求哈关系生产汁者的纠供应备关系减函骨数增函肝数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)强~平衡沸点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…胃=x0,钩yk+1,yk+2,拉…=欢y0xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳艳定平绞衡点P1P2P3P4P0是不杀稳定庭平衡倍点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛踩网握模绍型在P0点附足近用谋直线北近似搭曲线P0稳定P0不稳润定方探程应模蓄型方程茄模型迹与蛛额网模毒型的项一致~商品沾数量冷减少1单位,价格乐上涨遇幅度~价格赢上涨1单位,免(下时烘段)供应纸的增排量考察,阳的含烧义~消费耕者对艇需求趴的敏半感程眠度~生产揪者对蔑价格扮的敏珠感程汗度小,有利正于经淋济稳笑定小,有利胡于经潮济稳嫩定结果故解释xk~第k时段止商品门数量各；yk~第k时段纸商品嘴价格经济稳定结果张解释经济欧不稳靠定时他政府罗的干择预办桑法1.使尽量缝小，钢如=0以行狮政手护段控宁制价愚格不公变2.使尽量映小，蝴如=0靠经五济实吐力控营制数届量不击变xy0y0gfxy0x0gf结果榜解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型脚的推鸡广生产倡者根侍据当乌前时施段和助前一趁时段续的价尚格决像定下盼一时厕段的付产量生。生产党者管添理水群平提贴高设供址应函狗数为需求挣函数妨不变二阶搁线性索常系车数差特分方译程x0为平狠衡点研究开平衡域点稳婚定，截即k,xkx0的条银件方程通解(c1,c2由初塞始条绳件确屯定)1,2~特征根，即方程的根平衡它点稳桨定，盾即k,xkx0的条杠件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型刷的推变广1.痒3减肥各计划——节食樱与运嚼动背景多数顽减肥匆食品强达不其到减痒肥目锦标，世或不须能维晴持通过父控制什饮食席和适运当的劫运动翅，在吴不伤拖害身耕体的高前提售下，债达到挽减轻赤体重耳并维羊持下烧去的率目标分析体重蕉变化妻由体妥内能湾量守越恒破润坏引武起饮食抹（吸芒收热巡寿量）被引起榆体重炊增加代谢崇和运猜动（放消耗贫热量必）引利起体芦重减赤少体重枝指数BM狸I=w(k汪g)樱/l2(m2).18肤.5廉<B修MI妈<2市5否~正常献；BM音I>棚25缎~超重;BM炼I>鞠30狡~肥胖.模型南假设1）体麻重增逼加正物比于氧吸收耕的热令量——济每8峡00珠0千卡饺增加仓体重1千克事；2）代盗谢引北起的吊体重姓减少蹦正比记于体锁重——每周告每公争斤体垦重消婆耗20化0千卡~勒32议0千卡(因人仙而异),相当脂于70千克魄的人写每天险消耗20登00千卡~迷32别00千卡取；3）运掩动引拒起的文体重挣减少麻正比踩于体寸重，枝且与卵运动太形式肢有关沃；4）为在了安供全与烤健康舌，每芦周体抬重减覆少不意宜超萝过1.电5千克忧，每加周吸访收热嫌量不钩要小刚于10藏00欺0千卡汪。某甲琴体重10嗓0千克较，目昌前每背周吸腊收20每00猜0千卡草热量继，体汤重维莲持不剑变。嫂现欲径减肥喝至75千克刚。第一纪阶段劫：每秘周减霞肥1千克辫，每慎周吸朗收热记量逐稠渐减戚少，猴直至识达到挤下限找（10度00锹0千卡蔑）；第二凉阶段浊：每般周吸兆收热嗓量保熔持下龄限，弊减肥汉达到野目标2）若括要加鞠快进迟程，愈第二糟阶段旱增加擦运动咐，试常安排著计划雪。1）在映不运跪动的型情况历下安侍排一耳个两两阶段钞计划激。减肥摄计划3）给弟出达闭到目遵标后考维持歇体重糠的方临案。确定黎某甲蛙的代弟谢消妻耗系倡数即每俘周每刃千克瓶体重渴消耗20按00肥0/千10拍0=夏20畜0千卡基本突模型w(k)素~第k周(食末)体重c(k)链~第k周吸闯收热龄量~代谢消耗系数(因人而异)1）不命运动翼情况摆的两逗阶段坦减肥铸计划每周营吸收20阔00讽0千卡w=1衬00千克秀不变第一醉阶段:w(k)每周驻减1千克灿,c(k)减至弓下限10采00案0千卡第一暑阶段10浅周,每周灿减1千克饲，第10周末睡体重90千克吸收热量为1）不怨运动抗情况嘱的两偏阶段寒减肥垦计划第二兰阶段炮：每兽周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不泊运动典情况池的两谜阶段秃减肥赖计划基本模型第二波阶段温：每疼周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。运动t=2孟4鞋(每周跳舞8小时蛇或自藏行车10小时),芬1惜4周即葛可。2）第圾二阶陆段增通加运返动的熄减肥皂计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周沉运动蔽时间(小时)基本模型3）达链到目总标体霉重75千克塞后维雅持不遗变的旨方案每周剪吸收费热量c(k)保持猜某常猛数C，使体袄重w不变不运动运动(内容同前)1.评4差分毙形式葛的阻顶滞增抢长模拢型连续慨形式的阻柴滞增发长模恶型(Lo淘gi迎st郑ic模型)t,xN,x=颠N是稳定赚平衡寺点(与r大小隆无关)离散示形式x(t)观~某种吊群t时刻竭的数坐量(人口)yk~某种南群第k代的口数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…妄=N讨论幻玉平衡扬点的击稳定盏性，菊即k,ykN？y*=N是平希衡点离散达形式初阻滞寺增长铲模型抗的平坛衡点去及其选稳定笼性一阶(非线说性)差分澡方程(1度)的平之衡点y*=N讨论x*的稳达定性变量常代换(2)的平衡点(1砍)的平秒衡点x*——代数因方程x=势f(x)的根稳定圣性判柄断(1企)的近恼似线油性方费程x*也是(2研)的平惜衡点x*是(写2)拴和(干1)的稳现定平狮衡点x*是(畜2)盼和(碰1)的不尊稳定已平衡络点补充合知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性01的平衡点及其稳定性平衡累点稳定扮性x*稳定x*

不稳定另一凭平衡债点为x=0不稳定01/2101的平衡点及其稳定性初值x0=0谱.2数值醉计算讯结果b<3,xb=3渔.3胳,x两个芳极限拌点b=3唐.4哈5,x4个极诱限点b=3哑.5鹊5,x8个极深限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55倍周自期收乳敛——x*不稳偷定情馆况的羽进一员步讨敢论单周霜期不碎收敛2倍周赵期收果敛(*段)的平脸衡点x*不稳行定，颠研究x1*,x2*的稳监定性倍周斧期收趴敛的稳定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0倍周昂期收恨敛的进盈一步吼讨论出现4个收张敛子痕序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡点及其稳定性需研究时有4个稳定平衡点2n倍周振期收监敛,n=1钱,2聚,…bn~候2n倍周萍期收想敛的宝上界b0=3县,b1=3智.4永49袋,b2=3枕.5切44鹊,缓…n碎,bn3规.5子7x1*,x2*(及x*)不稳定b>3薄.5蛮7,不存拖在任听何收贪敛子满序列混沌现象4倍周期收敛的收敛、分岔及混沌现象b1.满5按年眠龄分支组的向种群售增长不同亚年龄垮组的盈繁殖轮率和技死亡刊率不在同建立虽差分冰方程舟模型寺，讨彻论稳邮定状石况下冒种群样