河北省保定市2022-2023学年高三上学期期末调研考试数学试题、含解析

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上

无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4=卜卜-1]>2},8={—1,0,1,2,3,4},则AB=

A.{-1,0,1}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{-1,3,4)

2.若z=(2+i)(l—i),则z+W等于

A.2B.6C.-2D.-6

42

3.数列{a“}满足4=4,=—+—则%=

88

A.2B.-C.-2D.一一

33

4.如图，点P为射线y=与以原点。为圆心的单位圆的交点，一动点在圆。上以点P为起始点，沿逆

时针方向运动，每2秒转一圈.则该动点横坐标./■")关于运动时间r的函数的解析式是

(乃、

B.-sinTit--

3)

D.f«)=cos2t--

(3

4x

5.函数=的图象大致是

6.已知函数/（x）=sin2丝+且sin/x-L（G＞0）,若/（x）在（工，包］上恰在两个零点，则口的值可

222122j

以是

A.-B.1C.2D.3

2

7.已知椭圆C：三+表•=1（。＞。＞0）,与，尸2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，

过人做N^P8外角平分线的垂线交耳P的延长线于N点.若sinNPN6=斗，则椭圆的离心率

V3-1BG6

2■T

8.已知三棱锥。-ABC的所有棱长均为2,以BO为直径的球面与AABC的交线为L,则交线Z,的长度为

2疯r46万2乖）兀4瓜兀

D.

99

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新

意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座.学校有东、西两个礼堂，第一

次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述

正确的是

A.两次讲座都在东礼堂的概率是1

4

B.两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是,

2

C.两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是巳3

4

D.若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是！

3

10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

A.4B与C£＞平行B.8与G”是异面直线

C.EF与成60°角D.CO与EF平行

11.已知函数〃x)=W(awO),则/(x)

X

A.在(-oo,0)上单调递增B.无极小值

22

C.无最小值D.有极小值，极小值为吐•

4

12.平面内有一定点A和一个定圆0,P是圆。上任意一点.线段AP的垂直平分线I和直线0P相交于点Q,

当点P在圆上运动时，点。的轨迹可以是

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(1+2x)30-力2的展开式中x项的系数是.

14.已知向量a=(l,l),b=(l,0),c=Aa+b,〈a,b〉=S,c〉，贝！］4=.

15.定义在R上的两个函数/(x)和g(x),已知〃x)+g(l-x)=3,g(x)+〃x—3)=3.若y=g(x)图

象关于点(1,0)对称，则./•(())=,g(l)+g(2)+g(3)++g(1000)=.

16.已知双曲线G：x2-y2=l,圆。2：(x—4p+y2=2,在的第四象限部分取点P,过P做斜率为1

的直线/,若/与C?交于不同的两点M,N,则|9卜|9|的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

数列｛%｝的前n项和为S“满足2S„=34-3.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）已知数列也｝满足a=3〃，在数列也｝中别除掉属于数列｛q｝的项，并且把剩余的项从小到大排列，

构成新数列｛cn｝,求数列｛%｝的前100项和71no.

18.（12分）

已知AABC的内角A、8、C的对应边分别为a、b、c,b=2a,点、D在边AB上，且2asinA=b-sinZACB.

（1）求CD与c的关系；

（2）若AD=DB,求cosZACB.

19.（12分）

已知矩形48co中，AB=2,AD=y/2,M为A8中点,沿AC将△ACO折起，得到三棱锥P-A8C.

D0______C

AMB

（1）求异面直线PM与4c所成的角；

（2）当二面角P-AB-B的大小为60°时，求AB与平面尸8c所成角.

4MB

20.（12分）

根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修

课.某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每

学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时.现在在该学院

进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2,现

用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到

如下频率分布表：

成绩（单位：学时）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

频数（不分年级）3X213533

频数（大三年级）2616y16

（1）求x,y的值;

(2)在这100份样本数据中，从完成学时位于区间[30,60)的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学

时位于区间[40,50)的份数为X,求X的分布列与数学期望;

(3)已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%,本学年这两个年级体育选修课程学时位于[70,80]

的学生占两个年级总体的16%.现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时

位于[70,80],求他选修的是乒乓球的概率(以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于

该区间的概率，精确到0.0001).

21.(12分)

22

己知椭圆二+二=1与直线/：'=自+7"(4力0)有唯一的公共点M.

168

(1)当m=4时，求点M的坐标;

(2)过点M且与/垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时,

(I)求点。(x,y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

(II)如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？(直接写出结论即可)

22.(12分)

已知函数/(x)=(x—l)e*—ar.

(1)当x>-l时，/是y=.f(x)的一个极值点且/(%)=一1,求/及a的值；

(2)已知g(x)=》2[nx,设〃(x)=e[.f'(x)+a],若%>1,%,>0,且8(不)=//(/)，求玉-2々的

最小值.

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案

一、1—8.DBACA,CDA

二、9—12.ABC,CD,CD,BCD

三、13.4,14.15.3；0,(第一个空2分，第二个空3分)，16.5

2

四、17.解：

(1)在2S〃=3%—3中令〃=],得〃]=3,

•：2Sn=3a〃一3,・••当时，2sLi=3。,I—3,

两式相减导3。〃-1，

・,・数列｛〃〃｝是以1为首项，以3为公比为的等比数列，

3〃.

(2).""=3〃，

数列［a,,｝中的项都在数列｛仇｝中.

数列｛%｝前5项：3,9,27,81,243在数列仍“｝前105项中.这五项和为363

｛勾｝前105项的为数列⑸｝前105项为3,6,9,…，27,…81,…，243,…，315,它们的和为105X3+105

X52X3=16695

所以数列｛金｝的前100项和为数列仿"｝前105项的和减去3、9、27、81、243的和，

得：105X3+105X52X3—363=16332.

18.解：

(1)V2CZ)-sinA=b•sinZACB,由正弦定理

得2CD,a=b,c,

：.CD=c；

(2)AD=DB：.CD=-CA+-CB,

22

两边平方得，4(CD)2=(CA)2+(CB)2+2C4-CB,

221

,22a+h-c

即4c~=b~+a+lab-----------

2ab

化简得：5c2=2/+2〃.

，：b=2a,.../=2诡

a2+4a2-2a23

cosZACB=

2a-2a4

19.解：

(1)设AC与DM相交于点O,

:矩形ABCQ中AB=2,AD=四,例为AB中点,

：.AD:DC=MA：AD,

：./XADC^/XMAD,

：.ZDCA=ZADM,

4c=90°.

AZADM+ZDAC=90°,

：.ZDOA=90°,

：.DMLAC.

由折叠可知POLAC,OMYAC,

,：POnOM=O,

；.ACJ_平面POM,

'：PM在平面POM内,：.ACLPM.

与AC所成的角为90°

(2)由(1)知，POLAC,OM1AC,

J.P—AC—B所成角为NPOM=60。

PO=—,OM=—,可知PM=1,

33

又PA=42,

:.PMLAB,

方法一：

•.,M为AB中点，

:.PB=PA=C,

：.RMPB,

又•；P4_LPC,；.B4_L平面P3C,

ZABP即为AB与平面PBC所成的角，

VZABP=45°,

；.AB与平面PBC所成的角为45°.

方法二：

PMLAB,由（1）知AC_LPM.AC与AB交与A点

平面ABC,

取AC中点E,连接ME,则ME〃BC,

：.MELAB,

以M为坐标原点，分别以A/E,MA,MP所在直线为轴,

建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

c

u~羽B

(1,0,0),B(-1,0,0),C(-1,0,O),P(0,0,1),

BA=(0,2,0),BC=(&,0,0),5P=(0,1,1)

平面尸BC的法向量m=(0,1,—1),

设AB与平面PBC所成的角为a,

I5A-wl.

则sina=―,——/=——,

网2

JAB与平面所成的角为45°.

20.

解：(1)V3+x+21+35+33=100,

.\x=100-(3+21+35+33)=8,

,/2+6+16+y+16=100x^=60,

.,.y=60—(2+6+16+16)=20,

(2)由题意可知，X的取值可能为0,1,2,

•.•这100位学生学时在［30,60)的大四学生为8人，在［40,50)的大四学生为2人,

盘=Q=£P(X=D=%=6x2x2xl\,p(x=2)=—，

Cl8x728vCl8x77\，C；8x728

随机变量X的概率分布列如表为:

X012

1531

P

28728

.•.随机变量X的数学期望为0X”+1X3+2X-L=，

287282

(HI)设两个年级共有m人,A=｛大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间［70,80］｝,B=｛大

三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球｝,

/.、n（AB]

则由条件概率公式得尸（耳4）二充/

mx25%x0.33

777X16%

=0.515.625«0.5156

即该生选乒乓球的概率约为0.5156.

21.解:

22x2(依+4)2

(1)将y=kx+4代入—+—=1,得J1,

168168

整理得(2R+1)/+16履+16=0……①.

因为例是椭圆与直线/的唯一公共点,

所以(16k)2-4X16X(2^+1)=0,得2好=1,

:.k=旦或k=_巨.将％=变代入方程①解得x=—20,代入y=fcv+4得y=2；

222

将k=—当代入方程①得x=20,代入y=kx+4得y=2.

点M为（-272,2）或（2及,2）.

222(Ax+m)~]

(2)(i)将>=丘+/27代入---1----1,得人+

168168

整理得(242+1)炉+4&尔+2(m2-8)=0……②.

因为M是椭圆与直线/的唯一公共点,

所以(4km)2-4X2(2k2+l)(m2-8)=0,即4=16炉+8...③.

DkmDkm16"

方程②的解为X=—弃乙，将③式代入X=—得x=—些,

2P+12k2+\m

22

必16%小、,m-i6k8

将工=-----代入y=fcr+〃?，得ZB'=----------——

mmm

\6k8、

所以点M的坐标为

mm7

Q116k

因为zwo,所以过点M且与/垂直的直线为y--二——XH------------

mkm

即片-笠8

可得Ay二一.

mm

,8k8/口，x8

由x=---,y=---，得k=一,m=——，

mmyy

8

将&=—>m=—代入加2=i6/+8得=16|-|+8,所以16/+8/=64,

yyIy)lyJ

22

整理得二+二=1（孙中0）.轨迹是焦点在y轴，长轴长为4夜,短轴长为4的椭圆（去掉四个顶点）.

84

22

（ii）.•.如果将此题推广到一般椭圆=+4=1（«>&>0）,直线），=丘+"（4#0）,其他条件不变，可得

ab

x2y2