第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类（原卷版）

第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；1.向量数量积的定义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的投影(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的变换：过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，则称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．3.平面向量数量积的几何意义的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．4.向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0.注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.(4)．注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.(5)．注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.5.向量数量积运算的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6.数量积的坐标表示已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)7.数量积的有关结论(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.1、向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为）(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．2、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3、解决向量垂直问题一般思路解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.4、求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．5、解决向量投影问题应注意以下三点(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).6、数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1x2＋y1y2))≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).④设θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).考点一：平面向量的数量积运算例1．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C．12 D．72变式1：已知，，均为单位向量，且，则（

）A． B． C． D．变式2：已知，，与的夹角为．求：(1)；(2)；(3)．:例2．在边长为6的正中，若点满足，则__________.变式1：在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.变式2：已知等边的边长为是边上的中点，则__________．变式3：在中，，是边上的中线，且，，则（

）A． B．5 C． D．8例3．在平行四边形中，若，，则的值为（

）A． B． C． D．变式1：在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（

）A．3 B． C． D．4变式2：在边长为2的正三角形中，，，则（

）A． B． C． D．变式3：【多选】如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（

）A． B．C． D．例4．在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（

）A． B．10 C． D．12变式1：如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______变式2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.考点二：平面向量的垂直问题例5．已知向量，若，则___________.变式1：已知O为坐标原点，，，若，则实数m的值为______．变式2：已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．变式3：设向量，，如果，，那么（

）A． B． C． D．变式4：已知向量，的夹角为，且，若，则______.考点三：平面向量的模长问题例6．已知向量的夹角为，，则（

）A． B． C． D．7变式1：已知向量，，则（

）A． B．2 C． D．变式2：已知向量，，且，则为（

）A． B． C． D．变式3：若平面向量两两的夹角相等且不为，且，，则____________例7．已知向量，，若，则________．变式1：已知向量，满足，，，则实数______．变式2：已知向量，，若，则的值是（

）A．2 B． C．4 D．例8．已知平面向量满足，则的最小值为___________.变式1：已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.变式2：已知向量，的夹角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．考点四：平面向量的夹角问题例9:在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．变式1：设，，则向量，的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°变式2：已知向量，，，则向量与的夹角为______．变式3：若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．变式4：已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．例10．已知向量，，且与的夹角为，则______.变式1：已知向量，，，，则___________．例11．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．变式1：已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件变式2：已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.变式3：设两个向量满足，.(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.考点五：平面向量的投影、投影向量例12．已知向量，，则在方向上的投影是_______________.变式1：已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．变式2：设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．变式3：已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.变式4：已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．例13．已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．变式1：已知，则向量在向量上的投影向量为__________．变式2：已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.1．已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．22．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．64．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．5．已知向量，若，则__________．6．若向量满足，则_________.1．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．2．若向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．3．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．已知和是两个正交单位向量，，且，则（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或45．已知平面向量与的夹角为，若，，则（

）A．2 B．3 C． D．46．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（

）．A． B． C． D．47．已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知，满足，与的夹角为，记，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．9．【多选】已知单位