函数模型及其应用

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型

1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番.兔子每年能生产4到6次，一窝6-10只1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过.这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？请进入本节的学习！例1假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？方案三可以用函数进行描述.设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数进行描述；思路分析：2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？方案二可以用函数进行描述；注意x与y的意义3.三个函数模型的增减性如何？4.要对三种方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？根据函数性质判断x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4三种方案所得回报的增长情况如表和图：2y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－1函数图象是分析问题的好帮手下面再看累计的回报数：结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三.天数回报/元方案一二三40123456789101180120160200240280320360400440103060100150210280

3604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8例2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？1．确定x的取值范围，即函数的定义域．2．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？思考：812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOy＝5yx

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.

对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=20时，y=5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5,所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有

成立

如何判断该式是否成立令

综上所述，模型确实能符合公司要求.时，

所以,当

说明按模型奖励,奖金不会超过利润的25%，

利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象由图象可知它是递减的，

因此

即

构造函数微课：指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象(a=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4…y=2x3.4824.5956.063810.556…y=x23.244.846.76911.56…y=log2

x0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=x2y=2xy=log2

x2.结合函数的图象找出其交点坐标.

从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，y=x2的图象与y=2x的图象有两个交点(2，4)和（4，16）.x012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…ABy=2xxyo1121623434y=x2y=log2x差异明显3.根据图象,分别写出使不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.使不等式log2x<2x<x2的x的取值范围是(2，4);使不等式log2x<x2<2x的x取值范围是(0，2)∪(4,+∞).

一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn.指数函数与幂函数的比较

对于对数函数y=logax（a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间（0，+∞）上,随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有logax<xn.对数函数与幂函数的比较1）在区间(0,+∞)上，y=ax（a>1)，y=logax(a>1)和y=xn（n>0）都是增函数.因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.2）随着x的增大，y=ax（a>1)的增长速度越来越快，会

远远大于y=xn（n>0）的增长速度.

3）随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢，

会远远小于y=xn（n>0的增长速度.【提升总结】D2.(2018·北京高一检测)下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是 (

)x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99

A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型D3.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表所示:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为_________,_________,_________.

几类不同增长的函数模型类型指数函数模型对数函数模型幂函数模型实际问题理解问题简化假设数学建模求解模型检验模型数学建模步骤1.某品牌茶壶的原售价为80元一个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如下的方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为78元/个;如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个,…;