函数的基本性质单调性

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值(1)

艺术高中数学组思考：观察下列函数图像，并说出其中的规律.图1是函数f(x)在某区域的图像1在图像中，从左至右图象上升还是下降?______2在图像中，随着x的增大，f(x)的值随着________．3在图像中，当x1_____

x2时

f(x1)_____f(x2)1x2x)(1xf)(2xf)(xf图1yx上升增大＜＜图2是函数f(x)在某区域的图像1在图像中，从左至右图象上升还是下降?______2在图像中，随着x的增大，f(x)的值随着________．3在图像中，当x1_____

x2时

f(x1)_____f(x2)1x2x)(1xf)(2xf)(xf图2yx下降减小＜＞函数单调性定义

1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2

当x1<x2时都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数．2．减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2

当x1<x2时都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数．注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;

当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

或当x1<x2时，总有f(x1)>f(x2)函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：例一:图是定义在闭区间[-5，5]上的函数f(x)的图象,根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数?解：函数f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例二:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设任意x1、x2∈R，且x1<x2.

则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).

由x1<x2得x1-x2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,

即f(x1)<f(x2).∴f(x)=3x+2在R上是增函数.判定函数在某个区间上单调性的步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1、取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2

；2、作差：作差f(x1)－f(x2)；3、变形，定号：变形，通常用因式分解法和配方法.

定号，即判断差f(x1)－f(x2)的正负；4、下结论：指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性。例三:证明函数在(0,+∞)上是减函数.证明:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,

且0<x1<x2,则由,x1,x2∈(0,+∞)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2－x1>0,于是,即∴在(0,+∞)上是减函数.练习课本P32页3