关于量纲分析法课件

一、量纲齐次原则物理量的量纲物理量的量纲长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记M=[m]时间

t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=LMT-2国际单位制SI制的基本量长度l

米L质量m

公斤M时间t

秒T电流强度I

安培A温度开尔文K光强J

堪德拉cd物质的量摩尔N其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。量纲齐次原则引力常数

k

的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系单摆运动示例假设：1、不考虑空气阻力；2、忽略地球自转对单摆运动的影响；3、摆线是刚体，在摆动中无形变；4、摆轴部分没有摩擦。在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：t、m、l、g、单摆运动的规律由公式F(t,l,m,g,)=0给出。例:单摆运动求摆动周期t

的表达式假设物理量t,m,l,g

之间有关系式1,2,3

为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式对比对比这里计算出的公式和实际公式参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。原理分析对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式？设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为单摆运动中t,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,Δ为无量纲量设f(q1,q2,,qm)=0ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,

Xn

是基本量纲,nm,q1,q2,,

qm

的量纲可表为量纲矩阵记作即线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则Pi定理的意义Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建模的方法和理论支持，即这个定理证明了：量纲分析法是可行的，没有任何理论上的疑点。下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个新的建模问题。[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3二、波浪对航船的阻力与航船阻力有关的物理量：Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

个无量纲量而且存在一个未定的函数关系：航船阻力模型注意3中含有f

，为了得到f的关系式，不妨设则至此我们已经建立了阻力

f

与其他各物理量之间的关系式。仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。由得及航船阻力模型的意义以我们上面得出的最后模型为例：在设计制造舰船、飞机、汽车等产品时，研究人员需要先制作出非常逼真的仿真实物模型，然后对实物模型进行阻力、运动特征实验，以此来验证设计是否合理。如果我们能使模型船的中两个数据与真实船相同，则得到：这就为我们根据模型船评估实体船的阻力提供了有效途径，至于究竟是什么已经不重要了。量纲分析法的评注

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解

方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识对量纲分析法的评价正确确定物理量（根据经验和概念，宁多勿缺）恰当确定基本量纲构造基本解（如果构造得当，可以直接得到期望的结果）结果的效用和局限性量纲分析法能在建立物理问题的数学模型中得到一些重要、有用的结果，但也存在局限性，应用时应注意以下几点：1、从未知定律到用量纲分析法得到的等价形式不仅物理量减少了r个，降低了问题复杂性，同时也得到了一些关键的无量纲量i

。2、当然，这种建模方法也是有局限性的，它始终是初等建模方法，一些物理公式中常见的三角函数和指数函数都得不到。另外，在航船阻力模型中也能看到，还有未定函数和一些常量无法得到，因此模型得实用价值有限。数学模型•微分法建模北京理工大学王宏洲（静态优化模型）关于静态优化模型飞机外形布局快餐店的店内布置和服务方式工厂、商店的订货、储货策略乒乓球团体赛中的对阵安排静态优化（微分法）建模的主要内容一、存储模型二、森林救火模型三、最优价格四、消费者均衡模型一、存储模型问题背景工厂需要订购并储存原料，商场需要进货并库存进行零售，水库雨季蓄水为旱季准备灌溉和发电用水。这里都有一个储存多少的问题，储存太多，则占用了工厂和商场的资金、场地；储存太少则可能影响生产、销售进度。对于水库而言，储存太多还有一个安全问题。仔细考虑会发现，这些问题其实都有随机因素在起作用。比如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响等。但为了简化模型，这里没有考虑随机因素，只给出静态优化模型。在讨论具体问题之前，必须说明：此类寻找最优值的问题并非找到数学最优解即可，而是要认真考虑实际问题的环境。1、不允许缺货模型炼钢厂订购废钢铁供炼钢使用，需求量一定，而且不允许缺货。制订最优存储策略，即多长时间订一次货，订多少货才能使费用最低。在不缺货条件下，需要考虑两种费用：订货费（订货需要的一次性费用）；储货费（占有场地、占用资金的费用）。至于购买原料本身的费用与决策无关。模型分析与假设设T天订货一次（订货周期），订货量为Q吨，则总费用=订货费+储存费，设法求T和Q，使得总费用最低。模型假设1：钢厂单位时间的需求量为r；模型假设2：一次性订货费c1，每天每吨货物储存费为c2

。模型假设3：每T天订货Q吨，当存量为0时立即订货。目的：求T、Q的值，使费用最低。需要平衡的地方：频繁订货则c1增加而储存费降低，T小；减少订货次数则c1减少而储存费增加，T大。构造模型记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：q(t)=Q-rt，0tT且Q=rt考虑一个定货周期的总费用：tQT2Tqr从此模型不难看出，当T=0时总费用最低。即不设仓库，随时购买随时使用，将库存费用完全省去就可以将一次订货的总费用降到最低。这个结论有什么问题吗？模型结果分析随时购买随时使用，这个结论对于企业而言是没有意义的。这样做虽然节省了每一个订货周期的费用，但却大大增加了订货次数，由此增加的费用对企业来说是得不偿失的。库存费用订货费用由于每次订货费用远远比库存费用要高，所以如果计算单位时间的总费用，那么拉长订货周期可能费用更低。因此用一个订货周期的总费用来作为目标函数并不适合。模型修正取目标函数为每天的平均费用，记作C(T)：这样做的合理性在于企业生产是一个长期、连续的过程，只有降低单位时间（每天）的费用，才能起到降低企业每年总费用的目的。注：做数学模型必须注意到实际背景和对方的真实意图，不能简单地给出一个脱离实际的结果。求T、Q使C(T)最小：经济订货批量公式简单检验模型检验与实际经验相吻合，所以说模型是基本合理的。2、允许缺货模型背景：为商场解决最优订货周期和批量问题。由于商场销售并非必须随时有货物，所以允许在一定时间内缺货。模型假设1：单位时间的需求量为r；模型假设2：一次性订货费c1，每天每吨货物储存费为c2

；模型假设3：允许缺货，每天每吨缺货损失费c3

；模型假设4：每T天订货Q吨。构造模型构造：记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：q(t)=Q-rt，Q=rtT1时货物售完，在[T1,T]时间内缺货。TT1T+T1rQ一次性订货周期的总费用：构造模型仍取目标函数为每天的平均费用：求T、Q，使得C(T,Q)最小。模型分析说明：在允许缺货的情况下，周期可以比不允许缺货的情形长一些，同时每次订货的数量也可以少一些。3、订货多者优惠情形批发单位对一次性订货较多的订户在价格上给予一定的优惠。设单位货物的价格为e(Q)。模型之外的话现代企业管理信息系统正在逐渐普及，这使得企业管理层可以及时了解到货物、原料的库存情况。那么是不是就能实现零库存管理呢？即随时使用随时采购？零库存是不可能的，如国内的dangdang.com等，国外的亚马逊。现代企业信息系统的意义在于实现信息的快速收集、传递，类似货物存储策略这样的问题属于决策问题，所以企业信息系统不仅不会削弱我们数学模型的作用，反而会进一步使得数学模型的实用效果更好。二、森林救火模型森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小模型分析

关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设

3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）

1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）

2）t1tt2,

降为-x

(为队员的平均灭火速度）

4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.构造模型b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型构造结果分析参数估计：c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.三、最优价格模型1、问题背景：一个经理有权制订产品的销售价格，那么怎样定价才能让企业的利润最大化？定价高单个产品的利润上升市场销量下降企业总利润不见得高产销平衡——工厂生产的产品等于市场上的销量。这时不存在垄断效应和积压降价压力，可以从容考虑定价问题。经济学概念利润=总收入-总成本总成本：指生产一批产品所需的全部经济资源投入的费用总额。由固定成本和可变成本两部分组成。固定成本：固定资产消耗、保险费用等；可变成本：原料、劳动力成本等。总收入：出售一定量产品所得的全部收入。模型分析模型假设：I(p)=

xpC(p)=xq需求函数建模目的：求p，使得利润最大化。模型构造解：模型结果分析根据假设注意：最优价格p*

由两部分组成，一是成本的一半；另一部分由需求函数中的参数a、b决定。参数估计模型中有两个参数：a和b

，如何估计？当p=0时，得到x(p)=a

。a解释为“绝对需求量”，即产品免费供应时社会的需求量。在实际工作中如何寻找a、b？这里的办法并不实用。参数估计注意到需求函数x(p)关于p是线性函数，我们可以找出几个点，利用最小二乘法得到参数。请大家思考：1）

x(p)取做其他减函数可以吗？2）在静态模型中p不变，但在市场经济下p

是随t变化的，如果取p(t)，模型该怎样建立？2、供需不平衡情形的最优价格问题前面讨论的是供需平衡情形，可是在大多数情况下，供需并不平衡，即或者供大于求，或者供不应求。在这种情形下，企业如何定价？八十年代，中国家电生产能力无法充分满足市场能力，家电行业销售旺盛，价格可以定的比较高；到九十年代，生产能力又出现过剩，家电产品又出现大量积压，价格跌幅极大。模型分析xd表示需求：在一定条件下，单位时间内消费者欲购且有支付能力的商品量；

xs表示供应：在一定条件下，单位时间内企业愿意出售且可供出售的商品量。当p比较低时，生产者不愿意多生产，所以xs会减少，g(p)是p的减函数；反过来，当p比较低时，xd会相应升高，所以f(p)应该是p的增函数。模型假设与求解假设1、市场上供需量相等的价格，即均衡价格是最优价格；假设2、需求量xd=a–bp=f(p)；供给量

xs=-c+dp=g(p).得到：a是市场的绝对需求量；b是消费者对价格的敏感度；d是企业对市场价格变动的敏感度；c反映企业所能容忍的最低价格(成本).为什么总是取供需平衡的价格为最优价格？从生产者的角度，应该通过制订产品的价格来促使供需平衡的局面出现！否则，价格过高会导致供过于求，造成积压；价格偏低又会导致利润受损。所以定价的目标应该是促成供需平衡局面的出现。3、价格随行就市情形下的最优价格问题即假设p=p(t)；假设1、市场上供需量相等的价格，即均衡价格是最优价格；假设2、需求量xd=a–bp=f(p)；供给量

xs=-c+