二次函数y=a(x-h)2+k-的图象和性质课件

26.1二次函数二次函数y=a(x-h)2+k

的图象和性质7/1/202311说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,和增减变化情况:回忆一下1)y=ax22)y=ax2+k3)y=a(x-h)27/1/20232将抛物线y=ax²沿y轴方向平移k个单位,得抛物线y=ax²+k上+下--将抛物线y=ax²沿x轴方向平移h个单位,得抛物线y=a(x-h)2

左+右--3请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线y=2x2+3如何由y=2x2

平移而来2请说出二次函数y=ax²+k与y=ax²的平移关系。

y=a(x-h)2与y=ax²的平移关系拋物线y=2x2向右平移3个单位得拋物线y=2(x-3)2拋物线y=2x2向上平移3个单位得拋物线y=2x2+3

7/1/20233y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。顶点x轴上顶点y轴上问题不在坐标轴上的二次函数又如何呢？7/1/20234探究画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、x…-4-3-2-1012………解:先列表画图再描点画图.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.57/1/2023512345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10直线x=－1…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论抛物线的开口方向、对称轴、顶点?(2)抛物线

有什么关系?7/1/20236可以看出,抛物线的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－17/1/20237归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x

－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).7/1/20238二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：7/1/20239练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?7/1/202310例题C(3,0)B(1，3)

例.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?AxOy123123解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)∴0=a(3－1)2＋3解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3)当x=0时,y=2.25答:水管长应为2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－7/1/202311练习y=−2（x+3）2-2画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最值各是什么及增减性如何？。y=2（x-3）2+3y=−2（x-2）2-1y=3（x+1）2+17/1/202312y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系7/1/202313如何平移：7/1/202314牛刀小试1.对称轴是直线x=-2的抛物线是()A.B.C.D.C2.抛物线的顶点坐标是()CA.B.C.D.

3.抛物线的对称轴

.直线x=n-m7/1/202315在平面直角坐标系中，如果抛物线

不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是

.若二次函数经过平移变换后顶点坐标为(-2,3),则平移后的函数解析式为

.灵活变通7/1/202316（1）与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点是(-2,3)的抛物线是________（2）顶点是(2,-3),且过(-1,2)的抛物线是______（3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称后的抛物线是______（4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称后的抛物线是______7/1/202317二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点必在()上A)直线y=-2x上B)x轴上C)y轴上D)直线y=2x上对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b为常数,点(,y1)点(,y2)试比较y1,y2,的大小7/1/202318能力提升抛物线如何平移得到?求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴及最值(1)(2)思考抛物线如何平移得到?

其中7/1/202319二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：