江苏省南京市淳化中学2022年高二数学理期末试题含解析

江苏省南京市淳化中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B2.设是可导函数，且

（

） A． B．－1 C．0 D．－2参考答案：B3.下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a?3=b?3，则a=b”类推出“若a?0=b?0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a?b）c=ac?bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”参考答案：C【考点】归纳推理．【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解：对于A：“若a?3=b?3，则a=b”类推出“若a?0=b?0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a?b）c=ac?bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，对于D：“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”是错误的，如（1+1）2=12+12故选C4.锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略5.已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列正确的是（）A．若,则

B．若,则C．若,则

D．若,则参考答案：D6.以下四个命题中的假命题是（）A．“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”B．直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”C．两直线“a∥b”的充要条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等”D．“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据题意，对四个命题进行逐一判定即可．【解答】解：选项A：直线a、b是异面直线?直线a、b不相交，故正确选项B；a垂直于b所在的平面?a⊥b，故正确选项C：a∥b?直线a，b与同一平面α所成角相等，两直线“a∥b”的必要不充分条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等”，故不正确．选项D：直线a∥平面α?直线a平行于平面α内的一条直线，故不正确故选C7.﹣=（）A．B．C．D．参考答案：D略8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数），则A．

B．

C．

D．

参考答案：A9.设0<x<1,+的最小值为

(

)

A.8

B.10

C.1

D.9

参考答案：D略10.不等式对于一切实数都成立，则

（）

A

B

C

D

或参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=x3﹣2x2﹣4x+2的单调递增区间是

．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数y=x3﹣2x2﹣4x+2进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，即可得到答案．【解答】解：∵y=x3﹣2x2﹣4x+2∴y'=3x2﹣4x﹣4令3x2﹣4x﹣4＞0，得到x＞2或x＜﹣故答案为：12.若，则的值为

．参考答案：413.如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，将第2个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第3个图，如此重复操作至第n个图，用an表示第n个图形的边数，则数列an的前n项和Sn等于

．参考答案：4n﹣1【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据图形得到，a1=3，a2=12，a3=48，由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即，由等比数列的定义知：an=3×4n﹣1，于是根据等比数列前n项和公式即可求解【解答】解：∵a1=3，a2=12，a3=48由题意知：每一条边经一次变化后总变成四条边，即，由等比数列的定义知：an=3×4n﹣1∴Sn==4n﹣1故答案为：4n﹣114.等比数列的首项是-1,前n项和为Sn,如果,则S4的值是_________.参考答案：略15.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE③VB﹣ACE体积是a3；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）参考答案：①③④【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出直观图，逐项进行分析判断．【解答】解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a，BE=a，∴AE=．∴AD=．∴AC=．在△ABC中，cos∠ABC===．∴sin∠ABC==．∴tan∠ABC==．∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，∴CE⊥AB．故②错误．三棱锥B﹣ACE的体积V===，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．故答案为①③④．16.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.参考答案：【详解】函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.17.若，则=

.参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，S△ABC=，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案：【考点】正弦定理；三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出cosA的值，由A的范围即可确定出A的度数；（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，将cosA，a的值代入求出b2+c2的值，联立求出b与c的值，即可确定出三角形的形状．【解答】解：（1）由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理，得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，即sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵S△ABC=bcsinA=，即bcsin=，∴bc=3，①∵a2=b2+c2﹣2bccosA，a=，A=，∴b2+c2=6，②由①②得b=c=，则△ABC为等边三角形．【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.已知为坐标原点，是抛物线的焦点.（Ⅰ）过作直线交抛物线于两点，求的值；（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值.参考答案：（Ⅰ）设直线的方程为，

由

∴ks5u

∴

4分（Ⅱ）根据题意得斜率存在故设，由ks5u∴同理可得所以，∴ks5u当且仅当时，面积取到最小值4.

12分略20.已知A=，B=，C=(Ⅰ)试分别比较A与B、B与C的大小（只要写出结果，不要求证明过程）；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的比较结果，请推测出与（）的大小，并加以证明.参考答案：(Ⅰ)A>B……3分

B>C……6分(Ⅱ)推测结果为>．证明如下：法一（求差法）:∵()-()=……9分又∵……10分……11分∴>（）……12分法二（综合法）:∵()……8分∴……9分又∵,……11分∴>（）……12分法三（分析法）:欲证>

只需证……8分

即证

只需证即证……10分

只需证

即证显然成立，故原命题成立即>（）……12分略21.已知函数f（x）=xex．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值．（II）构造函数g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，求出函数导数，判断函数导函数的值与0的关系，根据导函数的单调性，求a的取值范围．【解答】解：（I）由f′（x）=ex（x+1）=0，得x=﹣1；当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），递增区间为（﹣1，+∞），f（x）有极小值为f（﹣1）=﹣，但没有极大值．（II）令g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，则[f（x2）﹣f（a）]/（x2﹣a）＞[f（x1）﹣f（a）]/（x1﹣a）恒成立，即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[ex（x2﹣ax﹣a）+aea]/（x﹣a）2记h（x）=ex（x2﹣ax﹣a）+aea，则h′（x）=ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]=ex（x+2）（x﹣a）故当a≥﹣2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增．故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立另一方面，当a＜﹣2，且a＜x＜﹣2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，﹣2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（a，﹣2）上单调递减．从而存在x1x2，a＜x1＜x2＜﹣2，使得g（x2）＜g（x1）∴a存在，其取值范围为[﹣2，+∞）22.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=6