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数学模型与经济的关系并分析经济学中的问题

模型建立：利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p,成本为q，销售量为x，总收入与总支出分别是I和C，则可以得到I=pxC=qx另外，我们知道在市场竞争的情况下销售量x依赖于价格p，因此销售量应该是价格的函数，记作x=f(p)这里f称为需求函数，是p的减函数。我们再考虑成本与产品数量的关系。通常情况下，成本是随着产品的数量逐渐降低的，因此可以认为产品的成本是产品数量的函数。记作q=Q(x)其中，我们把Q叫做成本函数，是x的减函数。这样，x和q都可以由p来确定。可以得到销售收入和生产支出C都是价格p的函数，设利润为U，则可以表示为U(p)=I(p)–C(p)其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。使利润U达到最大的价格就是最优价格。设最优价格为p*，那么可以得到当dU/dp=0时p的值即为p*。即有dU/dp=dU/dp当p=p*时。我们把dI/dp称为边际收入，dC/dp称为边际支出。上式表明，最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。为了得到进一步的结果，本文假设出需求函数和成本函数的具体形式。设需求函数是简单的线性函数f(p)=a–bpa，b>0其中，a可以理解为这种产品免费供应社会的需求量，称为“绝对需求量”。b表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度，它反映市场需求对价格的敏感程度。接下来，设成本函数为Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0其中，m表示产品的最底成本，t表示产品数量增加或减少带来的幅度，n调节常数，即产品的最大成本为。将~和，带入式可得U(p)=I(p)–C(p)=pf(p)–Q(f(p))f(p)=(a–bp)[p–m–1/(ta+n–tbp)]用微分的方法可以求出使U(p)最大的最优价格。由dU/dp=0式和式可以得到btp–(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p–m(n+ta)–n=0这是一个关于p的三次方程，对于实际问题，当得到a、b、m、n、t的数值带到式中，再用相应的数学方法求出p*。在实际的工作之中，a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。m和n实际上是已知的常数，t也是根据产量的多少可以得出的。对于式的求解在有些时候可能不容易得到精确的数值，我们可以根据实际情况得到具有一定精度的近似值。

3.总结除了上述最优价格模型，经济学中的弹性理论，金融工程中的期货期权理论，最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的大路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力，也为社会创造了很大的物质财富，相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。参考文献1.高鸿业.西方经济学[M].北京，中国人民大学出版社，20042.迪迪埃.科森，

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