云南省曲靖市会泽实验高级中学高二下学期月考（二）数学试题

秘密★启用前会泽实验高级中学校2023年春季学期高二年级月考试卷（二）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，，则（）A. B.2，C.2，4， D.【答案】B【解析】【分析】直接利用集合的并集和交集运算求解.【详解】因为，，，2，4，，又，，2，．故选：B．2.在复平面内，复数z满足，则()A.1 B.i C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算方法计算即可.【详解】.故选：D.3.已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项【答案】C【解析】【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案.【详解】令，解得．故选：C．4.设函数，则（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】由求导公式求得导函数，再代入计算导数值．【详解】∵，∴，∴，故选：A．5.已知等差数列的前n项和为．若，则（）A.60 B.50 C.30 D.20【答案】C【解析】【分析】根据等差数列求和公式及等差数列下标和的性质即可求得答案.【详解】.故选：C．6.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先对求导，然后根据列出关于的等式，即可解出.【详解】设，则，，所以，即.故选：B.【点睛】本题考查了导数的基本运算，难度不大，解题关键是明确是一个常数.7.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（）A.6种 B.8种 C.20种 D.24种【答案】B【解析】【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解.【详解】解：由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）；当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.所以所求的不同演讲方法有（种）故选：B8.某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70，80是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（）A.80以上优质苹果所占比例增加B.经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标C.70~80的苹果产量翻了一番D.70以下次品苹果产量减少了一半【答案】D【解析】【分析】设原苹果总产量为，从而3年后苹果总产量为；根据饼图，分别计算出3年前和3年后各类苹果的产量，从而可判断选项.【详解】设原苹果总产量为，则经过3年的发展，苹果总产量为，3年前80以上优质苹果所占比例，3年后80以上优质苹果所占比例，所占比例增加，故选项A正确；3年前80以上优质苹果的产量为，3年后80以上优质苹果的产量为，故80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标，选项B正确；3年前70~80苹果的产量为，3年后70~80苹果的产量为，故70~80的苹果产量翻了一番，选项C正确；3年前70以下次品苹果的产量为，3年后70以下次品苹果的产量为，故70以下次品苹果的产量没变，选项D错误.故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设向量，则（）A. B.与同向的单位向量是C. D.与的夹角是【答案】CD【解析】【分析】根据向量的模，数量积，夹角的坐标表示计算后判断．【详解】由已知，，A错；与同向的单位向量是，B错；，所以，C正确；，而，所以，D正确．故选：CD．10.已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C若，，，则 D.若，，，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断.【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；若，则或，即B错误；设的法向量分别为，若，则，又，则，，所以，即C正确；若，则，又，则，即D正确.故选：ACD11.设，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.展开式中二项式系数最大的项是第5项【答案】AC【解析】【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出、，进而判断C；根据二项式系数的性质判断D.【详解】因为，令得，故A正确；令得，所以，故B错误；二项式展开式的通项为，所以，，所以，故C正确；因为二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故D错误；故选：AC.12.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，，则【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列、等比数列性质判断各选项．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；对于B，若，则，当时，，时，也满足，所以，则是等比数列，B正确；对于C，是等差数列，则，C正确；对于D，若是等比数列，，∴，故D错误，故选：BC．第II卷（非选择题，共90分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若正数，满足，则的最小值为______．【答案】16【解析】【分析】“1”根据式子结构，利用“1”的妙用求出最小值.【详解】∵正数，满足，∴，当且仅当也即当时取“”．故答案为：16.14.求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________【答案】x＋2y－7＝0【解析】【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系设出直线，代入交点求解.【详解】由得∴l1与l2的交点坐标为(1，3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.15.在50件产品中，有48件合格品，2件次品，从这50件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有______种．【答案】2304【解析】【分析】利用对立事件计算出正确答案.【详解】从这50件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有：种.故答案为：16.已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.【答案】3【解析】【分析】令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.【详解】令，又，，，则，∴，故，∴.故答案为：3.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.小问1详解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，故.【小问2详解】解：由正弦定理，故，故.18.设等比数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由满足这两个条件建立等式解出首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得，由，得，然后解方程即可.【小问1详解】设公比为q，由，得，解得.由，得，结合，解得，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由（1），得，则是以1为首项，2为公差的等差数列，由，得，整理，得，解得或（舍去）故存在，使得.19.如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形得到，再证明平面即可得答案；（2）取中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用空间向量进行求解.【小问1详解】取PD的中点，连接，，则，且，又因为，所以且，所以四边形是平行四边形，，因为为等边三角形，为中点，所以，又CD平面PAD，所以，又所以平面，由得平面.【小问2详解】取中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.可得所以，设是平面一个法向量，由得所以可取，设是平面的一个法向量，由得可取，则，故平面PAB与平面BDM所成锐二面角的余弦值为.20.某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.（1）求x；（2）估计抽取的x人的年龄的85%分位数；（3）采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四､五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第四组的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频数总数频率计算可得；（2）设分位数为，依题意得到方程，解得即可；（3）按照分层抽样得到第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记A，B，用列举法一一列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【小问1详解】解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为，所以，解得.【小问2详解】解：设分位数为a，则，，解得，故分位数的估计值为38.75.【小问3详解】解：由频率分布直方图可知第四､五组的抽取比例为2∶1，抽取6人，则第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记A，B，随机抽取两人，，，，，，，，，，，，，，，，共15种，至少1人来自第四组的有，，，，，，，，，，，，，，共14种，所以至少1人来自第四组的概率为.21.已知函数，若曲线在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求函数在上的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.【小问1详解】由已知可得．又，所以．【小问2详解】由（1）可知，，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以函数在上的最小值为．22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且