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构造组合模型巧证组合恒等式构造组合模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成。但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明。即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式。

例1证明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.

分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数。原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1,有Cnm-1种取法。一类为必取a1有Cn-1m-1种取法。由加法原理可知原式成立。

例2证明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.

分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n-p人打扫环境卫生的选法数。原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m-p人中再选出n-p人打扫环境卫生。显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的。

以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析。若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1,若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2,当然，很多情况下是两者结合使用的。

例3证明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n,其中当p>q时Cpq=0.

证明：原式左边为m+n个元素中选k个元素的组合数。今将这m+n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i（i=0,1,2,…，k）进行分类，这一类的取法数为CimCk-in.于是，在m+n个元素中取k个元素的取法数又可写成ki=0CimCk-in.故原式成立。

例4证明

Cnn+Cnn+1+Cnn+2+…+Cnn+m=Cn+1n+m+1.

证明：原式右边为m+n+1个元素中取n+1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1,2,3,…，m+n,m+n

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