高中数学人教A版选修三《计数原理》单元教学设计

人教A版高中数学选择性必修第三册

第六章计数原理

一、单元内容及其解析

1.内容

在实际生活中，遇到复杂的计数问题时，会自然而然地进行分类、分步计

算。本章通过直观经验出发介绍了分类加法计数原理与分步乘法计数原理。这

两个计数原理是解决计数问题地基本计数原理。本章围绕这两个基本计数原理

探索子集的个数、排列、组合、二项式定理等问题。

在通过归纳分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与排列数公式、

组合与组合数公式、子集的个数的过程中感受代数中研究问题的基本方法，从

特殊到一般，从具体到抽象。

具体来看，本章本包括三节，6.1主要是介绍计数问题的原理和方法一一

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，6.2主要是介绍了两类特殊的计数问

题一一排列与组合，6.3主要是介绍了这些计数问题的一个特殊应用一一二项

式定理。这一结构体系体现了研究数学对象的基本思路。本单元的知识结构如

2.内容解析

分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两个基本计数原

理。其核心问题是探究计数问题的基本原理。从设计巧妙地“数法”入手，首

先通过“给一个座位编号”创设不同的情境，让学生分析比较各自的问题的特

征以及解决问题的基本环节；然后从特殊到一般，抽象概括出两个基本原理。

分类加法计数原理的本质是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后各个击

破，分类解决；而分步乘法计数原理的本质是将一个复杂问题的解决过程分解

为若干“步骤”，先对每一个步骤细致分析，再整合为一个完整的过程。排列、

组合及二项式定理都是这两个计数原理的应用，所以理解和掌握这两个计数原

理是学好本章内容的关键。

从简化运算的角度提出排列与组合这两类特殊的计数问题，解决它们的基

本思想和工具是两个基本计数原理。其核心问题是研究给定要求的排列和组合

可能出现的情况总数。排列是从给定个数的不同元素中取出指定个数的元素排

成一列，组合是从给定个数的不同元素中取出指定个数的元素作为一组，不同

的是排列考虑排序而组合不考虑排序。排列组合在计数原理的基础上，将实际

问题中抽取的对象抽象为元素，引入排列与组合的概念，应用分步乘法计数原

理得出排列数公式，应用分步乘法计数原理和排列数公式得出组合数公式。在

此过程中，体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，将分步的计数

问题表示为排列数和组合数的数学模型，以及通过排列数与组合数公式便捷求

出计数结果的数学运算。

二项式定理是初中多项式乘法的继续，其推导过程是计数原理的应用。通

过对(a+b)2的展开式的项的特征进行分析，并通过(a+b)3、(a+b)4展开式

的形式特征的分析归纳二项式定理。在此过程中，经历由特殊到一般的思维过

程，在应用二项式定理解决展开式项的问题再经历由一般到特殊的思维过程，

从而建立特殊与一般的关系。二项式系数是一些特殊的组合数，学习二项式定

理可以进一步加深对组合数的认识，同时也为后面学习二项分布等内容的做铺

垫。二项式定理综合性比较强，具有联系不同知识内容的作用。

根据以上分析可以确定本章的教学重点：

1.引导学生通过实例抽象出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念,

并理解概念。

2.引导学生根据原理分析和解决问题，灵活应用。

3.引导学生应用原理通过实例抽象出排列组合的概念，并理解概念。

4.引导学生通过分步乘法计数原理推导排列数公式并对公式进行简单应用。

5.引导学生通过分步乘法计数原理和排列数公式推导出组合数公式并对公

式进行简单应用。

6.引导学生通过计数原理和多项式乘法法则推导二项式定理并对定理进行

认识和应用。

7.学生经历概念的抽象过程，公式的推导过程掌握代数中研究问题的基本

方法是从特殊到一般，从具体到抽象。体悟数学思想方法的应用，提升

数学核心素养。

二、单元目标及其解析

1.目标

（1）通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。

（2）通过实例理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合

数公式。

（3）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与

二项展开式有关的简单问题。

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）通过“给一个座位编号”的情境问题，经历计数过程的基本环节，从而将

具体问题的解决方案归纳为一般方法，得到“完成一件事”有两类不同方案的

分类加法计数原理，并拓展成有n类不同方案的分类加法计数原理，培养学生

从特殊到一般的数学思想，发展数学抽象的素养。

（2）通过“给一个座位编号”的情境问题，经历计数过程的基本环节，从而将

具体问题的解决方案归纳为一般方法，得到“完成一件事”有需要两个步骤的

分步乘法计数原理，并拓展成有需要n个步骤的分步乘法计数原理，培养学生

从特殊到一般的数学思想，发展数学抽象的素养。

（3）经历多个具体的实际计数问题的解决过程，经历描述“完成一件事”的具

体含义，感悟“分类”与“分步”的不同，强化对两个计数原理概念的理解，

总结出两个计数原理的联系与不同。

（4）经历解决具有时代背景的综合计数问题，感受到“数学是有用的”，数学

对工作生活和社会发展有促进作用。激发学生学习数学的兴趣和决心。归纳解

决计数问题的一般思维过程。培养总结概括的能力，发展逻辑推理素养。

（5）通过解决实际问题的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，

从而将具体问题归纳为一般问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问

题，发展数学抽象的素养。

（6）能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数，通过

利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形

式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解

决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养。

（7）通过解决实际问题的计数问题，能将问题中抽取的具体对象抽象为元素，

从而将具体问题归纳为一般问题，得到组合的定义，并能利用定义判断组合问

题，知道组合问题与排列问题的区别与联系，发展数学抽象的素养。

（8）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数，通过

利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数和排列数的关系得到所求

组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得到组合数公式，并能利用公式

求具体问题的组合数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算

和数学建模等素养。

（9）利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计

数原理加以证明；能应用二项式定理解决二项展开式问题；能应用二项展开式

的通项公式求展开式中的某一项的相关问题；

（10）通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳一一猜想一一证明”的数

学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从

一般到特殊”等数学思想的应用，发展逻辑推理素养。

（11）引导学生对九取不同值时二项展开式的系数进行观察，感受二项式系数的

对称性、增减性以及最值，并进行证明，理解二项式系数是有71+1项的数列。

培养逻辑推理能力。

三、单元教学问题诊断分析

难点一：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是讨论“完成一件事”的

所有不同方法种数的问题，而“完成一件事”是一个比较抽象的概念，只有准

确理解了什么叫“完成一件事”，才能进一步分析。教学中应该结合多种实际问

题让学生进行感悟。

难点二：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别学生理解并不困

难，关键是根据具体问题的特征选择对应的原理，特别是综合应用两个计数原

理是学生感到困难的。教学中按照从单一到综合的方式，以教材中的八个例题

引导学生从“完成一件事是什么？”“这件事如何完成？”这两个问题的角度来

思考如何解决，逐步体悟两个计数原理的基本思想和应用。

难点三：与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为

一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数和组合数的等量

关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定的困难。教学中应该紧扣实

例，引导学生利用分步乘法计数原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取

元素分组，再对组内元素做全排”的两个步骤，从而得到关于排列数和组合数

的等式，得到组合数的公式。

难点四：排列与组合的应用主要是综合应用计数原理，在解决具体问题中需要

正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式和组合数

公式，这些对学生来说具有一定的困难。教学中要结合具体实例，强调围绕

“所选元素是否与顺序有关”这一关键辨别是排列问题还是组合问题。引导学

生从不同途径考虑应用问题，让学生经历将实际问题抽象为排列问题或组合问

题，获得一些解题经验，提高解决应用题的能力。

难点五：用计数原理分析多项式乘法属于跨领域知识的运用，学生想到有一定

的困难。但是只要建立了知识联系，转换看问题的角度，学生又会感觉到这种

方法的巧妙与简单。所以在新知学习之前让学生建立起计数原理和多项式乘法

的知识联系，引导学生从计数原理的角度分析n=2时二项展开式项的形成过

程。

难点六：学生的运算能力较弱，对多项式乘法虽然知道按步骤进行运算，却并

不能总结每一项是如何得到，所以总结规律会有一定的困难。所以在探究二项

式定理之初，要分析n=2时的运算过程，明确多项式是如何相乘的，项以及项

的系数是如何得到的，引导学生用分步乘法计数原理和组合知识来分析归纳。

难点七：在二项式系数的性质探究过程中，借助“杨辉三角”，其三条基础性质

的发现并不困难，关键在于总结归纳与证明的过程需要学生将其与之前学过的

函数、数列等知识构建联系，学生是很难想到的，因此，在三个性质总结归

纳、证明的过程，要充分引导学生观察二项式系数所组成的数阵，以便学生能

通过观察发现二项式系数的本质是一个离散函数，从而和函数、数列等知识构

建联系。

四、本单元教学约需12课时，具体课时分配及教学目标

教学内容课时安排教学目标育人价值

6.1分类加6.1.1章归纳得出分类加法计数原理通过章引言与章头图的

法计数引言、两和分步乘法计数原理，能应介绍，感悟数学来源于

原理与分步个基本计用它们解决简单的实际问生活又服务于生活的课

乘法数原理的题，正确理解“完成一件事程理念，通过经历从具

计数原理概念（1情”的含义。体问题中归纳出两个计

（4课时）课时）数原理的过程，培养学

生逻辑推理与数学抽象

的核心素养。

6.1.2两通过对例4解答过程的分感悟数学帮助我们解决

个计数原析，引导学生总结两个计数生活、工作和科技的发

理在实际原理的联系和区别；通过对展中遇到的问题，培养

问题中的例5的解答掌握计数原理的学生用数学的眼光观察

简单应用综合应用；通过对例6的学世界。

及联系与习，明白学数学是有用的，

区别（1培养学生的数学应用能力；

课时）通过对三个例题的解决过

程，强化对“完成一件事”

的理解，体悟解决“计数问

题”的一般思维过程”

6.1.3两通过对两个例题的学习培养感悟数学给我们的工作

个计数原学生数学阅读能力；形成解和生活带来了便捷，激

理在实际决”计数问题”的一般思维发学生学习数学的兴

问题中的过程趣。

综合应用

（1课

时）

6.1.4两子集个数的探究，两个计数通过对子集个数问题的

个计数原原理在数学领域的简单应探究，使学生感悟探究

理在数学用，利用两个计数原理解释问题的思路与方法。通

领域的简子集个数的规律，学会探究过讲解两个计数原理在

单应用问题的思路与方法。数学领域的简单应用，

（1课使学生体悟学习两个计

时）数原理的重要性。

6.2排列与6.2.1排1、通过解决实际的计数问1、使学生了解数学知识

组合（4课列的概念题，能将具体问题归纳为一生成的方法，形成由具

时）（1课般问题，得到排列的定义；体到抽象、特殊到一般

时）2、能用列举法、树状图法列的思维品质，培养了抽

出简单的排列；象的核心素养；

3、会用分步乘法计数原理计2、能利用定义判断并解

算排列问题中不同的排法种决排列问题，发展数学

数。抽象素养；

3、能将相关计数问题转

化为排列问题，提升数

学建模素养。

6.2.2排1、能在排列基础上给出排列1、通过对排列数概念的

列数和排数的定义和表示，并能区别理解，培养学生数学抽

列数公式排列和排列数；象的核心素养；

（1课2、通过利用分步乘法计数原2、通过对排列数公式的

时）理得到排列数公式；推导，提高学生的逻辑

3、理解全排列的概念，阶乘推理的核心素养；

的意义及表示方法；3、能根据具体计数问题

4、能初步使用排列数公式解选择对应方法解决问

决有限制的排列问题，进一题，提升数学建模素

步体会分步乘法计数原理，养。

发展逻辑推理素养。

6.2.3组通过解决实际的计数问题，通过具体问题情境的概

合的概念得到组合的定义，并能利用括，推广得到组合的概

（1课定义判断组合问题，知道组念，使学生了解数学知

时）合问题与排列问题的区别与识生成的方法，形成由

联系。具体到抽象、特殊到一

般的思维品质，培养了

抽象的核心素养。

6.2.4组1.能在组合的基础上给出组通过对组合数概念的理

合数和组合数的定义和表示，并能区解，培养学生数学抽象

合数公式别组合与组合数。的核心素养；通过对组

（1课2通.过利用计数原理分析和合数公式的推导，提高

时）解决具体的组合问题，利用学生的逻辑推理的核心

组合数与排列数的关系，得素养；通过对组合数公

到组合数公式，并能利用公式的应用，提高学生数

式求组合数并解决组合问学运算的核心素养。

题。

6.3二项式6.3.1二1.学生理解二项式定理是多1.提升数学抽象、逻辑

定理项式定理项式乘法公式的推广；推理及数学运算的核心

（2课时）的推导、2学生理解并掌握二项式定素养；

简单应用理，能利用计数原理证明二2.感悟数学文化.

（1课项式定理；

时）3.学生了解二项式定理相关

数学史.

6.3.2二1学.生对二项式系数性质的1.提升数学抽象、逻辑

项式系数发现与证明（特别是二项式推理及数学运算的核心

的性质系数增减性与最大值性质的素养；

（1课证明）；2.感悟数学文化.

时）2.学生能建立二项式定理与

组合数、数列、函数等相关

知识的联系；

3.学生了解“杨辉三角”有

数学史.

单元复习单元复习1.理解两个计数原理，排列1.通过数学知识的学习

（2课时）（第1课与组合及排列数和组合数公和发展的过程，让学生

时）式；感受数学的基本思想和

回顾6.12.会应用两个计数原理，排方法；

和6.2、列与组合去处理简单的数学2.通过数学语言和逻辑

梳理知识问题；推理，学会抽象的思考

结构、强3.通过本节课的复习，进一和严谨的表达的能力。

化应用步培养学生“从特殊到一

般”、“从一般到特殊”的核

心素养，提高学生观察、分

析、概括的核心素养，并加

强学生数学建模与数学运算

的核心素养。

单元复习1.理解两个计数原理和组合1.通过数学知识与生活

（第2课与二项式定理的形成与联的联系，让学生产生主

时）回顾系；动探究的欲望，形成学

6.3、梳2.会用二项式定理去处理简习数学的动力；

理知识结单的数学问题；2.通过本节课的学习，

构、强化3.通过本节课复习二项式定让学生学会以理性的数

应用理来体验“从特殊到一般”、学视角看待问题，以数

“从一般到特殊”的核心素学思维去解决问题。

养，提高自己观察、分析、

概括和数学运算的核心素

养。

五、单元教学活动设计

活动内容活动的组织与实施活动目标活动评价

通过设置一系列探究归纳总结出两个计

活动，引导学生归纳数原理的概念，联

总结出两个计数原理系与区别，体会两能否归纳总结出

分类加法计的内容；个计数原理“完成两个计数原理的

数通过对例题解法的探一件事”的不同；概念，联系与区

原理与分步究，引导学生总结两掌握研究代数问题别；能否灵活应

乘法计数原个计数原理的联系与的一般思想是有特用两个计数原理

理区别；殊到一般；提升学解决一定情境下

探究应用两个计数原生数学抽象、数学的计数问题

理解决一些各问题情计算和逻辑推理的

境下的计数问题.核心素养.

通过问题情境，归纳理解排列（组合）组合：能否认识

排列与组合推广得到排列（组的概念，掌握排列组合的概念，能

合）的概念；（组合）数公式，否区分组合与排

通过具体排列数（组并形成由具体到抽列问题。

合数）的计算，推广象、特殊到一般的组合数：能否推

得到排列数（组合思维品质；培养学导组合数公式，

数）公式。生数学抽象的核心能否灵活应用组

素养。合数公式解决相

关组合问题。

用多项式运算法则

通过设置一系列探究和计数原理推导出运算法则和计数

活动，引导学生得出二项式定理，并会原理证明二项式

二项式定理二项式定理、二项式用它解决有关的简定理，会用二项

系数的性质，并运用单问题.提升学生式定理解决与二

它们初步解决相关问数学抽象、数学计项展开式有关的

题.算和数学建模素简单问题.

养.

学生通过梳理知

识，动手操作来掌能否对本单元所

握两个计数原理，学知识有全面系

通过单元知识结构图

排列与组合，二项统的掌握，能否

单元复习来整理本单元所学知

式定理之间的联对本单元各知识

识点

系，并能运用所学点之间联系和应

的知识来灵活处理用有深刻的认识.

实际问题.

六、单元课时作业

课时

单元内容作业布置设计意图

分配

分类加法必做题：课本练习题中选择合适考查学生对两个计数原

计数原理的题目理概念的理解和简单应

4课时

与分步乘用

法计数原选做题：习题6.1的复习巩固和考查学生应用计数原理

理综合应用选择合适的题目解决计数问题的能力。

兴趣拓展：习题6.1的拓广探

体现数学的实用性和有

索；

趣性，培养学生用数学

举例说明计数原理在各方面的应

的眼光来看世界。

用。

必做题：根据课时教学情况选择巩固排列与组合的概

课后练习题与教材习题6.2的复念，通过对排列数与组

习巩固与综合运用题。合数公式的应用，加深

对公式的理解。

通过解决与生活切实相

排列与关的排列与组合问题，