高中数学竞赛真题13多项式（学生版+解析版50题）

竞赛专题13多项式

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

3322}

1.（2021•全国•高三竞赛）（20.v+1ly）=<u-+bxy+cxy+dy,则

a-2h+4c-&/=.

2.（2019,全国•高三竞赛）若a>b>,a+b+c=0,且"、&为</+6+（、=（）的两实根则

忖-司的取值范围为

3.（2018•湖南•高三竞赛）四次多项式.『-18八代+200.丫-1984的四个根中有两个根

的积为-32,则实数k=_____.

4.（2018•湖南•高三竞赛）已知n为正整数，若"：+3〃-1。是一个既约分数，那么这

〃-+6〃-16

个分数的值等于.

5.（2019・全国•高三竞赛）已知关于r的方程F+ad+公+,、=0的三个非零实根成等

比数列，则/.

6.（2021・全国•高三竞赛）若实数a,6满足=2,"上+上且=4则=

\+a\-b

7.（2019•全国•高三竞赛）已知实数“、/>、x、）•满足心+外=3,=7,

ax'+by,=16.ax4+by4=42.则a./+byf=.

8.（2019•全国•高三竞赛）设抛物线V=v的一条弦被直线八、,=MX-1）+1（AWZ）

垂直平分.则弦PO1KJ长等于

9.（2019•全国•高三竞赛）为正整数k,方盾?"-A）优-A）=/-A的整数解组卜,4、）

有个.

10.（2018・全国•高三竞赛）在复数范围内，方程/+/次+】=，（〃eR）的两根为a、

P.若=则片

11.（2021・全国,高三竞赛）在1,2,3,4,1000中，能写成/-从+［（“6可）的

形式，且不能被3整除的数有个.

12.（2020•浙江高三竞赛）设曲线C：f（x）=x}-3xz+2x,若对于任意实数A,直线

y=K+/）与曲线。有且只有一个交点，则〃的取值范围为.

13.（2019•江苏•高三竞赛）若』+,-2是关于K、y的多项式/+〃9+川-5x+y+6的因

式，则a—b的值是.

14.（2019•江西•高三竞赛）设x>0,且/+4=7,则丁+1=

X-X

15.（2019•江西•岛三竞赛）将集合｛I,2......19｝中每两个互异的数作乘积，所有

这种乘积的和为.

16.（2019•山东•高三竞赛）整数〃使得多项式/口尸37一〃x一〃一2,可以表示为两个非

常数整系数多项式的乘积，所有〃的可能值的和为______.

17.（2019•全国•高三竞赛）已知关于8的方程f+（“-2010）,v+“=0（aw0）的两根均

为整数.则实数”的值为

18.（2019・全国•高三竞赛）已知实系数方程/-啜+6-1=（）有三个正实根.则

Tn，的坡小值为

19.（2019・全国•高三竞赛）若』、％、当是关于N的一元三次方程9-51+5.1+1=0的

三个两两不等的复数根，则代数式卜:+.r,.t,+项（石+占斗+靖卜；+$N+才）的值为

20.（2019全国•高三竞赛）对xeR,«eN.,定义墨=但业士二上D.设

/'（X）是一个6次多项式且满足尸（0）=1,P仕）=2""伏=1.2,…,6）.用

a伙=1,2,…,6）表示？（•¥）=.

21.（2018・河北•高三竞赛）若实数x、y、z满足F+y?+22=3,.v+2,v-2-=4,则

“inax+“min

22.（2018•福建・高三竞赛）己知整系数多项式/（》）=/+4f+生炉+%9+<6+4,

若/(6+3)=(),/(1)+/(3)=0,则〃-1)=

23.（2018・全国,高三竞赛）设“、〃、wR.且满足方程组,

《+C=0,则ab+bc+cu的取值范围是

一加一4。-5=0.

24.（2018・全国•高三竞赛）设实数”使得关于x的一元二次方程

5.尸-5（Z+66«-1715=0的两个根均是整数厕所有这样的«是

25.（2018•全国,高三竞赛）设多项式/（X）满足2/（x+l）+3f（x-l）=l（）Y+ll\+32.

RO/（-'）=.

26.（2018•全国高三竞赛）已知关于工的方程F-4/+5X+A=0（”eR）有三个实

数根A,,.r,„v,.则max{x„x2,.v,}的最大值为.

27.（2021•全国•高三竞赛）己知多项式。口尸生皿.产“+%0M2°2+…+，"+4有2020

个非零实根（可以有重检），其中的，“…-，的no为非负整数，求2（2020）的坡小值.

28.（2021•浙江,高三竞赛）已知方程Y+s+〃=o有两个不同的实数根，则

x4+av+（/?-2）.v3-av+1=0有个不同的实数根.

29.（2019•福建•高三竞赛）已知/（x）=.，-IO.P+加+/»+＜：,若方程尺）=0的根均为

实数，川为这5个实根中最大的根，则，”的最大值为.

二、解答题

30.（2021•全国•高三竞赛）设不士（N＜占）是方程”2*2+6.+[=0的两个实根，

事内（当＜%）是方程“F+ht+l=•的两个实根，若事＜七＜A4，求实数“的取值

范围.

31.（2021•全国•高三竞赛）己知实数小八z满足，\+）+z=2020」+'+L=焉求

xyz202。

证：工、.八w中至少一个为2020.

32.（2020•浙江•高三竞赛）己知。（#，QW为整系数多项式，若

尸2O2O）Q（x）=1,求P。），Q（x）.

[.v+y+xy=8

33.（2019・新疆•高三竞赛）己知x、j，、z是正数旦满足h+2+户=15.则

|z+.v+zv=35

工七），叶2+毛，=.

34.（2019•山东•高三竞赛）已知//-3/+9是素数，求正整数〃的所有可能值

（a+〃+o+d=3

2222

35.（2019•全国•高三竞赛）设实数a、b、c、d满足《a+h+c+el=3.

|abc+lx（1+cda+dab-I

证明：a（l—a）,一〃）'=c（l-c）’.

36.（2019・全国•高三竞赛）若（wR）为某一整系数多项式的根，则称？为“代数数二否

则,称，为“超越数”,证明:

(1)可数个可数集的并为可数集：

(2)存在超越数.

37.(2019•全国高三竞赛)是否存在实数A,使得

小、㈤=八-W+)尸+巧伊+己+Z)是一个二亓名项式.

、'7x+y+z

a="】+c

38.(2019•全国•高三竞赛)已知非零实数〃、从，、/满足i/,八.

(1)证明：二次方程.V2+C(〃-2c)A-(/r+r)(〃-<,)=0必有实根；

(2)当“=15.〃=7时，求

39.(2019・全国•高三竞赛)设实数〃、9、，满足：存在“为/>、4、，一中某一个，且

另两个恰为方程丁+(“一3)x+“2-3“=()的两实根.试求/+/+/的最小可能值.

40.(2019•全国•高三竞赛)设2006个实数《,的,••“刎满足多■+g+…+探■=：

幺+刍+...+3=±%+生+...+』,，工+_^_+...+3=±,

34200854520097”-2007200840124013

求代数式与+£+.+…+端的值.

41.(2018・全国•高三竞赛)求出所有使工+尹从一+2+匕0火均为整数的正有理数组

.Vyz

(A；y,.v)Cv<y<z).

42.(2018•全国高三竞赛)已知复平面上的正〃边形，其各个顶点对应的复数恰是某个

整系数多项式/(8)=/+%尸+…+4工+4的”个复根.求该正多边形面枳的最小n

43.(2021•浙江・高・二竞赛)已知二次函数江=+<«+*(«.feeR)有两个不同的零点.若

/伊+2x-l)=。有四个不同的根小旦々，演，占，5成等差数列，求

的取值范围.

44.(2021•全国•高三竞赛)设函数/(K)=a--V+bK-l有三个正零点，求

g(4,〃)=―r-----的坡小值.

a(b-a)

45.(2019•江苏•高三竞赛)己知实数“、b、c均不等于0,且

〃+。+(•=〃U+从+/=贮，求四士?*”一变七色包.的值,

2abc

46.(2019・全国•高三竞赛)已知非常数的整系数多项式/(1)满足

(x,+4.r+4,r+3)/(4)=(/-2X2+2K-1)f卜+1).①正明:对所有正整数"(〃28),

〃〃）至少有五个不同的质因数.

47.（2019・全国•高三竞赛）已知正A48c的三个顶点在抛物线＞上.试求正A48C

中心的乳迹方程.

48.（2019・全国•高三竞赛）已知方程Y+px+g=0和寸-2丫+厂=0都有实根（/，、

q、rsR,〃。0）,且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为外、%和X，

X厕MX7亚=I成立的充要条件是1+2/J（什厂）+1=p'.

49.（2019•全国•高三竞赛）试求出所有实系数多项式/（x）,使得对满足

tib++E=（）的所有实数“、b、c＜都有

八〃-〃）++/（＜•'-"）=2/（“+/?+c）.

50.（2018・全国,高三竞赛）求所有正整数对（PM、—）.其中，/且（〃M）=I,使得

竞赛专题13多项式

(50题竞赛真题强化训练)

一、填空题

1.(2021•全国•高三竞赛)若(20x+ll.y)3=<1+〃*»•+cvN+d/,则

a-2b+4c_&/=.

【答案】-8

【解析】

【分析】

【详解】

令x=I,y=-2,条件式立即化为(-2)'=«-2/7+4c-&/,即a-2/,+4<-&/=—8.

故答案为：-8.

2.(2019・全国•高三竞赛)若a>b>,a+b+c=0,且为泼+/M+C=0的两实根.则

忖一阊的取值范围为.

【答案】［0,3)

【解析】

【详解】

由a+b+c=0,知方程<那+〃x+c=O有一个实根为1，不妨设N=l.

则由韦达定理知K,=£.

a

而a>b>c.a十b+c=0,故

a>0,cVO,且a>ac>c.

则一2<，v-g.

a2

故=(£)<4・

从而，忖7；同0,3).

故答案为口3)

3.(2018♦湖南•高三竞赛)四次多项式/-l&P+kF+ZOOx-Ngd的四个根中有两个根

的积为・32,则实数k=____.

【答案】86

【解析】

【详解】

设多项式X」-I&P+Q2+2(X)X-I984的四个根为中当、右％,则由E达定理，得

-V|+.v2+.v,+.Vj=18,

.V|X,+ApV,+MW+.v2.v；+x2x4+x5.v4=k,

.v.Ai.y,++A/r%+.r,.t3.r4=-2(X),

.外玉.0。=-1984.

设N%=-32，则.v,.r4=62,故

62(.V,+.v,)—32(A,+.v4)=-2®0.

x.+x,=4,

又为+勺+&+士=18,所以《'..

故《=玉&+*0+(X|+丛)(.q+x4)=86.

故答案为86

4.(2018,湖南•高三竞赛)已知n为正整数，若空即二3是一个既约分数，那么这

*+6/7-16

个分数的值等于.

【答案】［

【解析】

【详解】

因为：J：；［：=］：；熏4当”2=±1时，若(〃+8,〃+5)=(〃+5,3)=1,则

，E上即二U1是一个既约分数，故当〃=3时，该分数是既约分数.

//*-6//-16

Q

所以这个分数为A.

O

故答案为

5.(2019•全国•高三竞赛)已知关于、的方程+〃x+r=0的三个非零实根成等

比数列，则

【答案】0

【解析】

【详解】

d+dq+dqz=

设这三个根分别为4、4/、dq-,由韦达定理得上/%+"'2+"%'=/@

代入式-c,故“，-//=().

故答案为0

6.（2021・全国•高三竞赛）若实数“，〃满足”_〃=2.空里+上生=4则/—//=

I+«1-/?

【答案】82

【解析】

【分析】

【详解】

空上+匕色1=40(")(1+〃)+(1-后(]_〃)=4(1+“)(1-〃)，

I+«\-h

<=>(a-b)\(a—h)*1+3>ab]-(a—b)2—lab-(«—/?)+2=4+4(“一〃)—4ab=ab=1,

a5-h5=(<?+h2)(/-〃')-<rb2(a-h)=82.

故答案为：82.

7.(2019・全国•高三竞赛)已知实数“、/八x、),满足以+外=3,ax2+hy2=l,

”./+by3=16,ax4+hy4=42.贝ljax'+hy5=.

【答案】20

【解析】

【详解】

由ctx'+屋=16=>(av'+by,)(.v+y)=I6(.r+_y)

=(av"+hy4)+ay+/?y2)=I6(.v+y)=>42+7.9,=16(.v+.V)>

ax2+hy2=7

=(a<2+by2)(.v+.y)=7(x+.v)

=(«P+，，/)+A：y(“x+=7(N+Y)

=>I6+3AI=7(A+v),

联立式、解得x+.r=T4,母=-38.

则,“」+/，)，=42

=(m'+bj')(.v+),)=42(x+),)

=>(a?+by5)+.vy^(ix+by')=42(.v+.y)

=a?+by-=42(.v+y)-l6xy=20.

故答案为20

8.(2019•全国•高三竞赛)设抛物线.-一的一条弦/•。被直线/：)，=A(x-l)+l(&eZ)

垂直平分.则弦照的长等于.

【答案】Vio

【解析】

【详解】

设直线PQ的方程为了=-'工+分(显然否则，/不可能垂直平分PQ).

k

2

y=x

由I消去工并整理得v2+k、-bk=0.

y---x+p,

由PQ与抛物线.9=X有两个不同交点，知上式的判别式大于零,即K+4从•>0.

设PQ的中点为M,则有％=-g，X”=g+bk.

而〃在直线/上，所以，人=人｛3代+从+

将式代入式整理得：(八2乂&2-24+2)<0.

解得-2<£<0,

乂由AeZ,知太=-1.

将A=-l代入式，得〃二一1.

于是，直线PQ的方程为.xx-l.

fy=V-I

由｛.「‘消去儿得V_3V+i=o.

I厂=工

设』、声为其两根，根据韦达定理得

为+凸=3.xrv2=I.

故|PQ|=J1+烷Jb-.ql

A+x2)'-A(.V2=1-

故答案为加

9.（2019・全国•高三竞赛）对正整数k,方程（a2-大心2-4）=，2-A.的整数解组

有个.

【答案】无数

【解析】

【详解】

H乂〃=〃+l,r=ab-k,

则c?-k=a2b2-2kdb+k2—k

-人）（〃2-人.）="2〃2_人.（“2+〃2）+公.

因<J+//=（/,+1f+〃2=2/>（〃+1）+1=2<〃>+1,

所以.（l-Q（5-k）=c2-Z：.

由h的任意性知，方程有无数个解.

故答案为无数

10.（2018・全国•高三竞赛）在发数范围内，方程F+px+l=0（〃€R）的两根为“、

夕.若|。-刈=】，则P=.

【答案】±6或±4

【解析】

【详解】

若方程有实数根，则这两个实数根分别为撞里与迈I，此时，/）=±石；

22

若方程无实数根，则这两个复数根互为共扼复数，分别为士G+i与±6-i

22

此时，p=±6

11.（2021♦全国•高三竞赛）在I,2,3,4,...,1000'I',能写成"+1（“wN）的

形式，且不能被3整除的数有个.

【答案】501.

【斛析】

【详解】

设5={1,234,…,1（）00},若“=从+1,则"3（mod4）.又

4A=(2A)3-(2A-1)2+1.44+1=(人—I)?-("1)2+1,4A+2=(2A+l)2-(2A-)3+l.因

此，n=a~-b-+1当且仅当n*3(mod44).令A=wS|"三3(mod44)),

fl={/?eS|fts()(mod3)),则Ac8={ceS|c三3(modl2)},因为闻=25(),同=333,

|Ac同=84,从而符合条件的数的个数为1(XX)-250-333+84=501

故答案为501

12.(2020•浙江•高三竞赛)设曲线C：J(X)=X3-3X2+2X,若对于任意实数A,直线

)・=kv+/>与曲线C有且只有一个交点，则〃的取值范围为.

【答案】0.

【解析】

【详解】

直线F=心+〃与曲线C联立，消去)'得：f-3/+(2-A).v-/>=().

法上出题设，该方程对任意的《wR,均有且乂只有一个实数解，

设g(.t)=F-3.d+(2-A)x-〃,则/(x)=3Y-6x+(2-k),

则△=36-l2(2-A)4•对任意的AeR恒成立，这不可能成立，

故人的取值范围为0.

法2：设方程的根为•%,则

2

.?-3A-+(2-k)x-b=(.v-.r(1)(.v+»tv+〃).

由题意得.方程F+〃武+〃=0无解，或方程的根为品.对比两边的系数得：

3

m=—

THX。=-3的

n-mx{)=2-k=，n=5-k

一叫=-h

ii=—h

%

因为V&wR,所以"eR,方程V+"故+〃=0化为

.V3+—,v+—=0(*)

941)

(1)方程(*)无解时，则△=1■——<0，即〃>9%对任意.。工0恒成立，

玉)上《)

故人的取值范围为0.

⑵方程(*)有唯一的解则△=[•-竺=0n.%=工rW—T+3+—=0.

%•%4b{4h)9

矛盾.

综上所述，〃的取值范困为0.

故答案为：0

13.(2019•江苏•高三竞赛)若"y—2是关于X、y的多项式/-5x+y+6的因

式，则“一〃的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】

结合•因式分解待定系数V+"v+〃/-5x+.v+6=(x+>-2)(.r+力♦+,”),即可得解.

【详解】

由题：K+.V-2是关于x、y的多项式f+，《”/,『-5*+y+6的因式,

所以F+aw+by2-5.v+y+6=(,r+>,-2)(.r+by+m)

即x3+ary+hy1-5v+y+6=.vJ+(/?+1)xv+by2+(zw-2).v+(in-2I>)>>-2m

«=/?+!

a=—I

-2--5

所以，解得％=-2

m-2/>=I

m——3

-2/n=6

所以“一〃的值是I.

故答案为：I

【点M】

此题考杳多项式因式分解，利用待定系数法求解系数，也可利川赋值法，结合特殊值

求解.

4(2。⑼江西•高三竞赛)设Q。，且八97,则八卜

【答案】123

【解析】

【详解】

1

XH—=X?+—742=9,所以.r4—=3.

X

由49=卜+[)=x、J+2,

则47.

所以y=，+口一二+3)

故答案为：123.

15.(2019•江西•高三竞赛)将集合｛I，2......19｝中每两个互异的数作乘积，所有

这种乘积的和为.

【答案】16815

【解析】

【详解】

所求的和为;[(1+2+...+19尸-俨+2?+…+19，]=[(36100-2470)=16815.

故答案为：16815.

16.(2019・山东•高三竞赛)整数"使得多项式/(T)=3/—，”一〃一2,可以表示为两个非

常数整系数多项式的乘积，所有"的可能值的和为

【答案】192

【解析】

【详解】

由题总知於,)=(，*'+〃x+c)(&+e).其中“、/＞、cd、e均为整数.且不妨设(“，〃)=(】，3)

或(3,I).

若(a,J)=(1.3),则一5=7(-1)=(1一加r)(-3+e),所以(-3+e)|(-5),得听一2,2,

4,8：

又/卜三)=0得e1=3(ne-3n-6).有3|e,矛盾.

若(a,0=(3,I),一方面由一5=/(—I)得&-1)|(一5),有片一4,0,2.6；

另一方面.力)=0,得3/—〃e—"-2=0,故可以求得”的值为38,-2.26,130.

所以所求之和为192.

故答案为：192.

17.(2019•全国高三竞赛)已知关于'的方程f+(“-2010).v+a=0(“x0)的两根均

为整数.则实数”的值为-

【答案】4024

【解析】

【详解】

设方程的根为-vi、占(N~X2)-

由韦达定理得兴+占=一（々一2，IO）,XR=a.则-+A+.q=201（）,即

(再+1)(9+1)=2011.

又因为2。11为质数，所以，「IM：=刈0,。嘿Ix.=—2=012,故"=。（舍）或…）24.

18.（2019•全国•高三竞赛）已知实系数方程加-V+公-1=（）有三个正实根.则

p_5a2-6ab+3

的附小值为

【答案】108.

【解析】

【详解】

设“r5-.$+辰-1=•的三个正实根为M、匕、vj.

由书达定理得9+%+、=：，①

b三

匕%+彩匕+匕匕=,，②

"a

由式、得“>（）.h>（）.

由式、得436.④

a

而3（耳f+丹丹+匕甘।）&（匕+匕+匕）"=3♦3";=3ab<1.

5。/一6〃b+3>5a2+1

故『・

(/?-</)rz3(/?-«)

又（匕+匕一H）（匕+匕一七）（4+B_、）$IF"=>一2唧-2»J&-2、

=>9a2-4ab+]>()=>5a2+1>4r/(/?-a).

4a（b—a）4

则77------\=~-l°8.

a（b-o）cT

故当a=今,b=6时,〃取最小值108.

故答案为108

19.（2019・全国•高三竞赛）若』、三、内是关于x的一元三次方程9-5.d+5.t+1=0的

三个两两不等的复数根，则代数式（X；+NN+-v；）（-v；++汽+,r；）（*+.卬5+d）的值为

【答案】625

【解析】

【详解】

由韦达定理得

X,+.V2+=5,.VrV2+X2.v,+A\A|=5,40戈3=-I.

则(.V；+A|A2+X；)+X内+A；)(X；+工内+A；)

工：£.匕犬；X；.v；5工；5M-]-(5.v,-5.0-I)

N-占占一事七一%、一看

5.v；-5工-1-(54-5.V5-1)5M5.1]-(5卜5%1)

4一.q七一%

=125(.、+&T)(々MT)(M+N7)

=I25(4_.VJ(4_$)(4_%)=625.

20.(2019•全国•高三竞赛)对xwR.”wN.,定义c：=出二!土二竺D.设

n\

P(x)是一个6次多项式且满足/>(())=1,P(A)=2i(*=1,2,…,6).用

《仅=1,2,…,6)表示/>(司=.

【答案】1+C：+C：+C；

【解析】

【详解】

由/,(())=1,知存在多项式0(x)使得P。-)=I+xQ(、).

故1=。⑴=I+Q⑴，有0⑴=().

又有多项式。2(K)使得Q(-V)=(.1)23,即。(“=l+.v(.v-|)(22(-v).

故2=P(2)=I+2Q⑵,有0(2)=g.

从而，又有多项式R(x)使得。2(M=(X-2)QG)+；.

则P(.v)=l+C；+.v(A-l)(x-2)&(A).

又由4=尸(3)=I+3+3!如2),知(?,(3)=0.

故Q3=(.r-3)2(-V),p(.v)=]+C-+A-(.v-1)(x-2)(.v-3)(A).

进一步有/J(.v)=l+C；+C+-V(A—1)(X-2)(.V-3)(A—4)(.V).

继续下去并利用P(-v)是(,次多项式可得。⑺=1++C+C*.

故答案为1+C：+C：+C：

21.(2018•河北•高三竞赛)若实数x、y、z满足F+./+£=3,K+2)，-2Z=4,则

Zg、+。=-

【答案】*

【解析】

【详解】

由柯西不等式得M+r)(l+22)>(x+2»,由己知得V+y2=3-z\

(x+2yf=(4+2z『,所以有5(3-巧2(4+22?，化简得9Z2+16Z+140，即Z.、、

ZE%方程9z?+16z+1=0的两根，由书达定理得Znu,+Zm；n=-£.

22.(2018・福建•高三竞赛)己知整系数多项式/(K)=*'+4/+a..r2+a.x+火，

若/(6+应)=0,/(l)+/(3)=O,WJ/(-!)=

【答案】24

【解析】

【详解】

设％=6+无，则与一&=忘，

于是¥-26%+3=2,2'=a：+1.

所以(26％,=(x：+[)~,x；；-IO.VJ+1=0.

所以％=6+/足多项式g(.v)=.v4-lOf+1的一个根.

又.％=G+五不可能是三次整系数多项式、二次整系数空项式的零点.

所以g(x)整除/(X).故J'(x)=g(.v)(.v-r)=(.V4-!()X2+1)(x-r),，,为整数.

所以/(l)=—8(1—，)=-8+8/，/(3)=-8(3-r)=-24+8r.

由/(l)+f(3)=0,得(-8+8r)+(-24+8r)=0,,-=2.

所以/(')=(X4-10.v3+l)(.v-2),/(-l)=24.

23.(2018•全国•高三竞赛)设“、〃、<wR.且满足方程组,

":+?则岫+/”•+*的取值范围是

cr-be-4n-5=0.

【答案】卜40,72]

【解析】

【详解】

由题设得仅、=“2-4«_5.从+C2=Y"+[0RT+”.

则/,+c=±J(〃+c)-=±>lb'+c2+2/)c=±V«2+2«+l=±(<?+l).

由根与系数关系知，b、c是关乎，的一元二次方程/不"/+1)/+“2-々-5=0的两个

实根.

由△=(〃+1)，-4(/一4“一5)2•,解得-I<a<l.

令/(“)=ah+hc+ca=a(b+c)+be=±a(a+\)+a2--5,

-«51

所以，/(a)=2(〃+l)a--或/(4)=-5(“+l)(-l4"47).

易知，当〃“)=-5("+1)时，-40</(«)<0；当/(a)=2(“+l)“一|时，

4g

--</(〃)<72.所以"+仪、+c”的取值范围是卜4(),72].

8

24.(2018・全国•高三竞赛)设实数”使得关于x的一元二次方程

N-5m+66〃-l7l5=0的两个根均是整数厕所有这样的〃是.

【答案】870

【解析】

【详解】

设两个整数根为超、%(%4%).由根与系数关系得"=."+』，从而，”是整数.

由原方程得“=5"15=.v+l3+^—

51665.V-665A-66

5（A-8571）—FC,.-5x857+664219

O_■―eZ（因为5与51--66互质）O--------------------G/O------------GZ

5.v-665.V-665A-66

。5x-66=±1或土4219(因为4219是质数)

ox=l3或857.

所以，a=13+857式13+13或857+857,即“=87（）!哎26或1714.

由方程有整数根知5,，这与”=26,1714矛盾.故</=87().

25.（2018•全国•高三竞赛）设多项式/（、）满足2/（x+l）+3/（x-l）=IO./+ll.r+32.

则"'•）=

【答案】2.V2+3.V+5

【解析】

【详解】

注意到/（N+1）与/（1I）的次数相同，而右边为二次的，故〃A）=/+6+U.

代入题设等式并比较两边系数得“=2.〃=3,C=5.

因此，/（v）=2.v3+3x+5.

26.（2018,全国•高三竞赛）已知关于x的方程F-4A?+5A+“=0（aeR）有三个实

数根弓..%为.则max{»..%S}的最大值为.

【答案】2

【解析】

【详解】

不妨设.0=maxk，Xj,.q}.

x+x+.v.=4,x+A-,=4-.v„

由韦达定理得2晨=k=5f（.…）=5-/（4-斗）•

于是，以N、々为根的一元二次方程为.--（4-』）*-5+.虱4-』）=（）

=>△=（4-xJ-4[5-.v,（4-$）]20n3x；-8.v,+4<0

2\

当-v,=2时，超=勺=1，a=-2.

故max{3,&/}的最大值为2.

27.（2021・全国•高三竞赛）已知多项式PCX%。.产"+“刈gx"%…+4"“0有2020

个非零实根（可以有重根），其中“。，4.…，/og为非负整数，求产（202。）的坡小值.

【答案】202产

【解析】

【详解】

设2020个非零实根为'"''',,2020>易知4”“2020—I-

当入20时，/>(.»•)>0.所以E<0.

由均值不等式知2020-x,..202W行(i=l,2,…、2020).这2020个式子相乘，得

2020(2020—

22202

P(2020)=4202Vn(°°-“初。产'匈㈠产n*

>\Vz

=。M„202产、伊-

V02O2U

2020

=202严2。*0a第>2021.

当P(x)=(x+1)如。时，等号成立.故『(2020)的最小值为20212Mo.

故答案为：202产20.

28.(2021•浙江•高三竞赛)已知方程F+m+〃=o有两个不同的实数根，则

Y+小」+(〃-2)V-av+1=0有个不同的实数根.

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

设项与与是方程炉+“r+〃=()的两个不同的根.

由」：达定理知N+占=-a,玉々=b.

不难验证,f+av'+(ft-2).v2-av+1

232

=x-(.v,+A;).r+(-VIX2-2).V+(.V|+X,)A+I

=(/-wi)(F1)、

剩K只需证明，方程F-中-1=O,1'-X,A-I=0的根是实数」L两两不同.

事实匕这两个方程的判别式显然都是正的，所以个有两个不同的实数根，

2

而若X是这两个方程的公共根.则有(F-.v,.v-l)-(x-Arv-l)=-N)=0.

于是x=0,是X=0却明显不是它们的根.

所以方程/+公+(〃-2).『-<"+1=0有四个实数根.

故答案为：4.

29.(2019・福建高三竞赛)已知/")=./-lOx'+ad+Za+c,若方程%)=0的根均为

实数，加为这5个实根中最大的根，则，"的最大值为.

【答案】4

【解析】

【详解】

设.仆)=0的5个实根为芭触Jx我儿，”,则由书达定理,得，"+N+X,++为=0,

W?(.V,+X,+A；l+.V4)+(.V,X,+NN+X,Aj+x,x,+x,.v4+x；芍)=-10.

1

于是,卬?+.v,.Vj+与％+,r2.r?+x2x4+%为=-10+in.

所以x：+x；+x；+.v;

=(x+x+.V,+.V)：+N&+.v.v,+.0。+内％)

t24-2(.V1X2+.VIAJ2

=〃?2-2(-10+ni2)=20-"F

另一方面，由柯西不等式，知(.』+三+.“+.《『”4(xf+.r；+,v；+石).

于是，，“法网20—〃P)、"「I6,〃f?4.

乂对.小Kx-4)(.r+l)4=f_]Ox3_201-15矛4.

方程的根均为实数，且5个实根中最大的根,”=4.

所以”，的最大值为4.

故答案为：4.

二、解答题(共0分)

30<202•企国•高三竞赛)设均W(N<±)是方程侬.+]=()的两个实根，

』,%(为<%)是方程/+Av+1=0的两个实根，若与:占<三<&,求实数”的取值

范围.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

b\力^

由L达定理，得内+M=--7>A.AS=—一q+.0=--«=一.

a~'a-aa

前后两式分别和除，得」•+;=-6='+'.

~"243工J

因为X/,=二>0,所以.*、.与同号.

。一

…八JI1II)II

^fX?<()<.¥,<x2<X4,矛盾.

,11111111

XiXy<-V<x2<0<.v4,则一<-<_<__+_,矛盾.

工2X“3%*以内％

所以内、.、$、&同号，n有.%%=1>0,即〃>o.

a

11111111c

又因为$<为<戈2<X，得一<一<一<—，所以-：---7>-----7>0

即/>〃，结合〃>0,知实数。的取值范围为{al〃>1}.

31.(2021全国•高三竞赛)已知实数x、j，、z涉足"了+2=2020,+1+1=短求

xyz2020

证：x、y、z中至少一个为2020.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

由题意知2020(AJ+)-Z+ZX)=ATZ.故：

(A-2O2())(.y-2()2())(z-2()2())

=.vyz-2020(.0'+yz+zv)+20202(.r+y+z)-2020’

=2O2O;(.v+y+z-2020)=0,

故x、.1、二中至少一个为2020.

32.(2020•浙江•高三竞赛)已知P(x),Q(』为整系数多项式,若

P-(A)-(.V!-2020)G(.V)=I,求P(x),QQ).

【答案】答案见解析

【解析】

【详解】

由题意得：)-1=(.d-2020)Q(.v),L!|J[P(.v)-l][P(.v)+1]=(.v2-2020)Q(x).

因为F(.r)+l-[P(A)-l]=2,故P(x)+1,P(A)-1无公约式，

若0(6=。，则2。)=±1,

若。(、)H(),因为P。)，Q(x)为整系数多项式,

P(x)-1=_2020)<?,(.v)JP(x)+1=(./-2020)</,(.v)

则

P(.V)+1=</,(A)P(A)-|=</,(.V)

其中q(.V),%(R无公约式,

P(.v)-1=(.V2-2020)</)(.v)

则%(x)=(Y-202())4(x)+2,

P(x)+l=%(x)

故P(x)=(.v2-2020)</,(.v)+l,Q(x)=qG)[(.d-2020)^(.t)+2].

a.o+iXY-zozobM)

同理当111.

P。)-1=</,(A)

P(x)=(.r-2020)/(A-)-I,Q(.r)=q,(x)[(V-202()儿(x)-21，

综上，P(-v)=(.r-2020)(/,(.v)-1,(2(.r)=«/,(.r)[(.t2-202())</,(A)-2]

或P(x)=(x--2020卜4(A)+1,Q(.r)=%(.v)[(.v2-2020)(.r)+2J,

q(x)为将系数的多项式.

[.v+y+.vy=8

33.(2019・新疆•高三竞赛)已知了、「、二是正数且满足b'+z+1z=l5•则

|z+x+zx=35

.什)注2+.9=.

【答案】15

【解析】

【分析】

根据卢「飞尸8知.叶吐物1=9,即(1+A)(1+))=9,同理对方程组变形，作商求解.

【详解】

由X+.V+K产8知.v+产券41=9,即(]+x)(i+y)=9.

(J+3■)(1+z)-16

同理可得□

(l+z)(i+.r)=36

结合和可得(l+K)(l+J)a+2)=3x4x6,

ft!和可知z=7.

同理由，口可得x=g,尸1.从而.v+j»+z+.ri»=15.

故答案为：15

【点瞄】

此题考查解三元二次方程组，涉及利用因式分解整体代入求解方程，对代数式的综合

处理能力要求较高.

34.(2019•山东•高三竞赛)已知C-3/+9是素数,求正整数〃的所有可能伯

【答案】«-1.n-2

【解析】

【详解】

因为一3"2+9=(”?+3"+3)("2—3"+3),所以或〃?-3"+3=1,解得，「I.2.

将〃=1,，尸2代入检验均满足题意，所以”=1.片2为所求.

a+b+e+d=3

1222

35.(2019•全国•高三竞赛)设实数a、b、c、d满足《a+b+e+(l=3

(abc+bed+cda+(kih=1

ill:明：«(1—a)=/?(l-/?)'=t(l—=J(l-