高中数学竞赛真题3三角函数（学生版+解析版50题）

竞赛专题3三角函数

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

1.（2018•吉林・高三竞赛）已知了⑴一."，则对任意xwR，卜列说法中错误的

24-cos.V

是（）

A./（x）>|sin.vB.|/（刈斗］

C|/（.V）|<^D./（7F+A）+/（^-X）=（）

2.（2018.四川•高三竞赛）函数y=（sin、T）（cgi-l）（Ye汽）的最大值为（）.

2+sin2K

A.正B.1C.L正D.拉

222

3.（2019・全国•高三竞赛）函数_y=kinx«>sx］+卜inx+cosx］的值域为（）（［x］

表示不超过实数》的最大整数）.

A.{-2,-1.0,1,2}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1)D.{-2.-1.1}

4.（2010•四川・高三竞赛）己知条件p：Jl+sin2aq和条件q:卜ina+cosa|=g.则〃

是的（）.

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2018•全国•高三竞赛）在AA8C中，zS4<ZB<ZC,.smA+si叱=6

cosA+cosB+cosC

则DO的取值范围是（）.

二、填空题

6.（2018•江西•高三竞赛）若三个角J）'、z成等差数列，公差为则

tanxtantanytanz+tanztanx=

7.（2018•广东•高三竞赛）已知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对•应的三边为

a、b、c,且a、c、言成等比数列，则5川"=

8.（2019•全国高三竞赛）设锐角a、P满足awQ,且

（cos』a+cos24）（I+lana•lan£）=2,则a"=.

9.（2021・全国•高三竞赛）函数户sin«l+tan「tai，）的最小正周期为

10.（2021•浙江金华第一中学高三竞赛）设/（、）=（Y+4X+3广哈为定义在K上的函

数.若正整数“满足（V住）=2021,则”的所有可能值之和为

AT

ACT—!_1*45_

11.（2021.全国•高三竞赛）在AA8c中，-―A+~~C~~一耳二。,PPJHC+AH

tan—tan—tan—

222

的值为

59

12.（2021・全国•高三竞赛）H知AA8c满足2sinA+sin8=2sinC,则——+——的

sinAsine

最小值是

13.（2020•浙江.高三竞赛）己知64、ye0,y，则

cosa+2cosQ+cosy-cos（a+y）-2cos（〃+7）的最大值为

14.（2021•全国•高三竞赛）已知三角形A8C的三个边长“、b、c成等比数列，并且满

足则NA的取值范围为

15.（2021・全国•高三竞赛）设且cos*+sin*+lMAKcosd+sinO+iy,则

实数，”的取值范是

16.（2021•浙江两三竞赛）在“8c中，N8=/C=30°,A8=2.若动点P,。分别

在A8,8c边上，且直线0Q把AA8c的面枳等分，则线段尸。的取值范围为.

17.（2021•浙江•高三竞赛）若则函数产纪j-—3的最小值为

K447sin.v+cos.v

18.（2021•全国高三竞赛）已知等腰直角dQM的三个顶点分别在等腰直角於8。的三

条边上,记“QR、”8C的面枳分别为臬咿、$“它,则沁■的最小值为

19.（2021-全国•高三竞赛）满足方程cos2A+cos22x—2cos.vcos2.vcos4.v=?,xw[0,2川

4

的实数K构成的集合的元素个数为

20,（2021全国•高三竞赛）设“8C的三内角4、B、C所对的边长分别为〃、b、c,

若b+c—a=2»则h2sin2—+c1sin'--Zftcsin—sin—sin—值为

22222

21.（2021,全国两三竞赛）“8C中,A、B、C的对边分别为a、b、c.。是、28c的

外心，点?满足加:厉+班+元，若8=三，且所.反1=4,则d/3c的面积为

22.（2021•全国高三竞赛）设“8c的三个内角分别为A、B、C,并且

sinA、c・s8、sinC成等比数列，cosA、sin8、cosC成等差数列，则B为

23.（2021・全国•高三竞赛）如果三个正实数x、Az满足V+.ry+./=25,

）6+）2+/=144,r+zx+.t2=169,则人力+产+次=.

cosV

24.（2021.全国•高三竞赛）设/（叱、八―则〃1。）+〃2。）+…+/（40。）=

IDU.1I

25.（2021・全国•高三竞赛）已知cosx+cos「=1,则sinx-sinp的取值范围是

26.（202（）•全国•高三竞赛）在“8C中，48=6,8C=4,边AC上的中线长为布，

则sin^+cos。/的值为

27.（2019・江苏,高三竞赛）已知函数f（x）=4sin2x+3cos2.v+2asinx+4acosx的最小

值为一6,则实数”的值为

28.（2019・福建•高三竞赛）在△A8c中，若4C="，AB=2,且

GsinA+cosA5万

-l----------------=tan—.则8C=____________

近cosA-sinA12

29.（2018•全国•高三竞赛）设NA、O8、NC是AA8c的三个内角.若sinA=a,cos8=b,

其中,a>0,b>0,且a2+b!1，则tanC=

30.（2018•全国两三竞赛）在A48c中，已知“、b、c分别是ZA、D3、NC的对

边.若二+2=4cosC,cos（A-B）=-,则cosC=

ba6

31.（2018•全国•高三竞赛）若时任意的AA8C，只要,+，=，（〃、“€氏），就有

psiirA+r/sin2B>p（/sin:C,则正数，•的取值范围是-

32.（2018,全国高三竞赛）在锐角AA8C中，cosA+cos8-sinA-sin8的取值范围是

33.（2019•全国•高三竞赛）已知单位圆.*+『=1上三个点4（』,）［）,8（占.%）,

X）满足-v>+x2+-S=V,+*+.*=0.则x；+*+X；=y：+y：+y；=

34.（2021•全国■高三竞赛）在AA8C中,2cosA+3cos8=6c.sC,则cost?的最大值

为______________・

35.（2021・全国•高三竞赛）已知正整数小P，且〃N2,设正实数〃卜吗,…也满足

V—^―=1,则〃”"，•••〃?”的域小值为____.

$+现

36.（2021.全国•窗三竞赛）设锐角AA8c的三个内角4B、C,满足

sinA=sinBsinC.Wi]tanAtanB-tan。的最小值为.

37.（2019•贵州•高三竞赛）在△ABC中，GA-FGB+GC=6.GXG5=（）.J1IJ

（tanA4-tan/?）taiiC_

tanAtan8

38.（2019•江西•高三竞赛）A/WC的三个内角八、从。满足：A=3«=9C,则

cosAcos8+cosBcosC+cosCcosA=

三、解答题

39.（2021・全国•高三竞赛）在一BC中，三内角4、5、C满足

tanAtanB=tanfiianC+tanClanA,求cos。的最小值.

2n2。V

40.（2021•全国•高三竞赛）解关于实数A的方程：Zarctan：={1}9°（这里

4=1K

3=）-3，卜]为不超过实数》的眼大整数）

41.（2021全国•高三竞赛）己知点42cosor,$ina）,8（2cos夕,$in/?）.C（2cosy,siny）,其

中a，A7€[0,2万）,且坐标原点O恰好为AA8c的重心，判断邑田是否为定值，若

是，求出该定值；若不是，请说明理由.

42.（2019・上海•高三竟赛）已知48J。,g],且当=sin（A+8）,求〃"认的展大

I2JsmB

值.

43.（2018・全国•高三竞赛）在AA8C中，证明：

BCCAAB

cos—cos--cos—♦cos——cos—cos-士华，当且仅当AA8C为正三角形时，上式

2222+22

A~

cos—

2

等号成立.

44.（2019・全国•高三竞赛）在△ABC中，若空四+上*=2,证明:NA+NB=90。

sin8sinA

45.（2018・全国•高三竞赛）已知的三个内角满足NA+NC=2N8,

COSA+COSC=-"C°SACOSC,求8s空C的值.

cos82

46.(2018•全国•高三竞赛)己知函数”x)=3(sin\+cos3.r)+///(sinx+cos工)’在

•re0,1有最大值2.求实数，”的值.

47.(2019♦全国•高三竞赛)求/(.")=&os4x+7+JCQS4y+7+

^/cos4.v+cos4y-8sin2x-siify+6的最小值.

48.(2021・全国•高三竞赛)求证：对任意的〃£此，都有

1111n

arctan-+arctan-+…+arctan--------+arctan----=——.

371+〃+犷4

49.(2021•全国两三竞赛〉设久［3、/是锐角，满足a+〃=y,求证：

cosa-i-cos/?+cos/-l>2>/cosfz-cos/Jcos/.

50.(2019・河南•高二竞赛)锐角三角形人“。中,求证:

cos(B-C)cos(C-iA)cos(A-B)..8cosAcosBcosC.

竞赛专题3三角函数

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

1.（2018・吉林・高三竞赛）已知r（x）=cS"x，则对任意xwR,卜列说法中错误的

'2+cosx

是（）

A./（x）＞|sin.vB.|/（"因.可

C.|/（小，D./（万+*）+〃…）=0

【答案】A

【解析】

【详解】

由得sin.r（l-cos.x）NO,・「l-cos工N。，所以该式不一定成京，sinx行川能

是负数，所以选项A错误：

|/（3=热、4忖间41.所以选项B正确：

1〃.川=卜间=1sinV-0

I表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对

,|24-cos.r|cosA-(-2)

情，数形结合观察得到|/3归9.所以选项c正确：

/（zr+.r）+f（K-x\=-s^nA+=—--=0,所以选项D正确.

'2-cosx2-cos.v2-cos.v

故答案为A

2.（2018・四川•高三竞赛）函数v=（='一以侬一1）（、6R）的最大值为（）.

,2+sin2x

A.正B.IC.」-+且D.72

222

【答案】B

【解析】

【详解】

sint♦cos,t—卜山口+COSA)+1

因为V=金

2+2sinvcosx

f=situ+cosx=

则sinA.cos_t=i(l-12).『是

:(/_])_/+]I/

2+(r-l)

I--

个g（'）=号,则#'（/）

西•

由"([)=0知/=-|或I.

因为&（_应）=+于是&（/）的最小侑是

8（-1）=-；，所以了的最大值是91口=|

故答案为:B

3.（2019.全国•高三竞赛）函数,y=、inxcosx]+卜inx+cos.t]的值域为（）（[x]

表示不超过实数x的最大整数）.

A.{-21,0,1,2}B.{-2,-1,0.1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-14}

【答案】D

【解析】

【详解】

v=^sin2.r

下面的讨论均视AEZ.

(I)当2k冗W&42kn+一时，.、'=।：

2

当2A/r+gv2&不+子时，y=-1：

当2£〃+至<女<2*乃+”时.y=-2-

⑶

4

当x=2*乃+”或2*乃+半时，)'=-1；

(5)当2R/r+TC<x<2kjr+时，y=—2:

当24乃+包v.r<24乃+二时，}'=一2

(6)

24

当2«万+上亢亢时，y=-1.

(7)Sx<2k+2

4

综上，yi1.

故答案为D

，Ai

4.（2010•四川.高三竞赛）已知条件〃：+sin2a=、和条件q:卜ina+cosa|=1.则〃

是<7的（）.

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】

因也+sin2a=^（sina+cosa）'=[sina+coscr|.所以.P是C1的充要条件.

5.（2018.全国.高三竞赛）在AA8c中，NAVN84/C,S叫+涧'+sm'=互

cosA+cosZ?+cosC

则所的取值范围是（）.

【答案】C

【解析】

【详解】

由条件有si【M+siIW+sinC=cosA+cos^+cosC)

n2sin"Jcos"Jsin8

±t£ocosdz£+cos/?

222

A1£.2sinA±£=sin/?-A^COSB

22

nA+CA-C

利用辅助角公式有2sin=sin|3一匹

322

A-C

=>2sin

2―

c°s上Jc°s生"

=0

222

B-60°A-C+B-60°B-A+C-6O0

=sfn------°osfn-------------°Osln-------------0,

24

所以，-600=0或者4一/。+/8-60。=0或者/3-/4+/。-60^=0.

即NB=60。或者NC=60。或者/A=60。,亦即NA、NB、NC中有一个为60。.

若ZB<60。,则NASN8<60。，所以，只能NC=60°，此时./4+/8+/。<180。,矛

盾;

若N8>60。，则NC2N8>60°,所以，只能NA=60°,从而.ZA+ZB+ZC>180°.

亦矛盾.选C.

二、填空题

6.（2018•江西•高三竞赛）若三个角X、八z成等差数列，公差为。，则

tanxtany+tanytanz+tanztanx=.

【答案】-3

【解析】

【详解】

根据x=y-1.z=y+g.

Mlltanv-JJlanv+G

则taox=--r.[anz=—厂.

I+V3tanv1-v3tany

tair)j-y5tanvtan2v+>/3tanvtan2

所以tan.vtai\v=tanytanz=---'-j-----—,tanztanx=----，一

I+>/3ianvI-，3tanv1-3tan'v

则tanzanv+tanvtanz+tanztaar=也3=-3

,l-3tan?v

故答案为-3

7.（2O18・广东•商三竞赛）已知AABC的三个角A、B、C成等差数列，对•应的三边为

4

a.b、Cr且a、c、而〃成等比数列，则5M妙"、.

【答案】正

2

【解析】

【详解】

因为A、B、C成等差数列，28=A+C,38=A+8+C=180。，因此8=60。.

又因为a、c、成等比数列,所以c=q〃.力=画Z.

4

由F弦定理，-=四上•=qa,

sinA4sin60°sin(l200-A)

整理得sinA=/,—cosA=---y,(9-2)%3+5/+4+(q-2)[=。.

42**-LJ

所以g=2,siiL4=1.A=30°,C=90°.

故又4附=；。。=李/，所以

故答案为亚

2

8.(2019•全国高三竞赛)设锐角。、夕满足且

(ces2a+cos20(1+lana•lan/7)=2,则a+尸=.

【答案】90

【解析】

【详解】

由已知等式得(2+tan%+3］刈(！+lanauin4)=2(1+ian%)(l+tan2/?),

(tana-tan/?)~(tanatan/?-1)=0.

但锐知。。,故tana-tan/?-1=0

=cos(a+/?)=0=a+4=90。.

故答案为90

9.(2021•全国•高三竞赛)函数y=$in.“+tan.v-tan^j的最小正周期为

【答案】27r

【解析】

【详解】

解析：当x=2公r,AeZ时，y=sinI+tan.v-tan~^=0•

当sZ时，Y=sin.r(l+J""」■—|=tanx,Jti|ikrr+—5L

\cosxsinx)2

大。224+工,

画出图象可得函数周期为2%.

故答案为：2〃.

10.(2021•浙江金华第一中学高三竞赛)设/(X)=(1+4N+3丫吟为定义在&上的函

数.若正整数〃满足口./'/)=2021，则〃的所有可能值之和为

Xcl

【答案】12121

【解析】

【详解】

f(k)=代+4A+1)'哼="•+1)唠伍+3)冶；

H〃A)=(1+1)。(1+3)"(2+尸(2+3)-'x...x(4,〃_3+1)。(4,〃-3+3)°

<a1

X(4/H-2+1)-'(4，〃-2+3尸x(4,n-l+l)°(4/n-l+3)°(4〃，+1)'(4，"+3)1,

考虑cosj.v的周期为4,分四种情况考虑

(I)当Jt=4，〃-3(川为正整数)时.

]/(£)=(2+l)T(2+3)-'(4+l)i(4+3)i.“x(4〃t_4+3)i(4"i-3+l)"(4，H-3+3)°

HI

二3"x(4/〃-1)=2021.

所以4〃L1-6063,fi=4rn-3=6061；

4m-2

⑵当A=4，〃-2时，[I/(Q=3-'x(4,〃+l)-'=2021,无正整数解：

■l/n-l

⑶当火=4，〃一1时，1I，⑹=3'X(4〃?+1尸=2021,无正糠数解：

(4)当氏=4，〃时,咨/⑹=3"x(4〃?+3)’=2021,此时〃=4，〃=6060，

i-I

综上,“=6060或“=6061.

故答案为：12121.

A0_§1_J______5_

11.(2021・全国•高三竞赛)在AASC中，=''—A+'―C—豆二°,则8C+A8

tan—tan—tan-

222

的值为

【答案】7

【解析】

【详解】

解析：记“8c中A8、C所对的边分别是a、〃、c.

如图，设内切圆的半径为，,

ArCrBr

m.flan-,tan—=.tan-=-------

则2b+c-a、2u-^b-c.2a+c-b,

~~2~-2~~2~

故〃+c-a+a+〃-c=5(“+c-〃)，故5(a+c)=7〃，

即〃+c=7,

故答案为：7

59

12.（2021・全国•高三竞赛）己知“WC满足2sinA+sinB=2sinC,则--十——的

sinAsinC

最小值是

【答案】16

【解析】

【详解】

解析：2sinA+sinB=2sinC=>sinB=2(sinC-sinA)

c.A+CA+C.C-AA+C

n2sin-----cos-----=4sin------cos-----

2222

A+C个.C-ACcA

nsin-----=2sin-----=>tan—=3tan—.

2222

5959—27人3

+

令"tan5,则sinAsinC~^T~6T2t2t

r+19/+】

⑹2+4

>—=16.

A1C

当f=一,tan—-Jan—时,tan一一上>0,所以A+C<180。，

2222=12

59

故16

sinAsinCmm

故答案为：16

13.（2020•浙江.高三竞赛）已知a.#,7w.则

cosa+2cos[i+cos/-cos(a+7)-2cos(尸+y)的最大值为

【答案】3板.

【解析】

【详解】

cosr2-cos(rz+/)=2sin-sina+乙<2sin-,

'')2I2)2

同理cc\〃一cos(77+7)W2sin].

y

故cosa+2cos/7+cosy—cos(a-Fy)-2cos(/7+/)<6sin彳+cosy.

而6sing+co$y=-26in2(+6sin§+l=-2(sin§_3)+?，

lB^0<sin-^<—,故-2(sinZ-3]+-<3>/2.

22\22)2

当且仅当士什"十时，各等多成立.

故答案为：3五

14.（2021.全国高三竞赛）已知三角形48c的三个边长〃、Ac成等比数列,并且满

足则NA的取值范围为

【答案】已当

33

【解析】

【详解】

由条件＞？=“＜:，结合余弦定理cos8="+'.WlJ/fcos/y=I）＞—.

2aclea2

「7t.UMI々..-rA「12才）

从而A£（o,不，而A是最大角，从而4G—.

JL•*✓

3比,八、j「42不）

故答案为：y.yI.

15.（2021♦全国•高三竞赛）设。＜〃＜★，且85'6+甯!?6+1=〃代（^6+$皿6+1）3,则

实数〃J的取值范是

【答案】3*上；

.7

【解析】

【详解】

cos'0+sin，0+1

解析:

(cos6+sin8+I?

(cos。+sin，)(cos20-cossin。+sin?。)+1

(cos0+sin04-1)5

令x=cQs0+sin0,则A=0$in［°+；)£(1,0］,且sin9cos°=:'二］,

一，2

于是(2)24-3.V-.V2+x22-x3I・

(工+1)32(.v+ir2*+【尸2(A+I)2(X+I)2

为然，〃是。.应］上的减函数，所以八0)</(，〃)</(1),即机£嗨心二.

.24J

2,［誓叫

16.(2021•浙江•高三竞赛)在AA8C中，N8=NC=30。，人8=2.若动点尸，。分别

在48,8c边上，且直线「。把“8C的面积等分，则线段P。的取值范围为.

【答案】［“0-6河

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示.设8P=.r.8Q=.v,

所以S=—.vysin30=—S=—，所以xv=273.

4»i7v2•2MC2•▼

由余弦定理可得.P。2=.$+3,2-2.CX—=.v2+y2-6=.J+¥-6.

2x~

易得xe|l,2].所以.v?

所以4G-64PQ?47.

则PQ的取值范围为.

故答案为：“4痒6,"卜

17.(2021•浙江•高三竞赛)若则函数产比”8c+3的展小值为

\44ysinA'+COSA,

【答案】2夜

【解析】

【分析】

【详解】

令，=$inx+cos.v=-J7.

12（,'）+3=*=2,+占在

当且仅当"加考时取等文

故答案为：20.

18.(2021•全国•高三竞赛)已知等腰直角APQR的三个顶点分别在等腰口角AA8c的三

则沁的坡小值为

条边上，记WQR、”8C的面积分别为S,”、",

【答案】I

【解析】

【分析】

【详解】

(I)当dQR的在角顶点在“8C的斜边匕如图I所示，则P,C、Q,/?四点共

圆，ZAPR=ZCQR=1800-Z.BQR,所以sinZAP/?=sinNBQR.

在.△APR、ABQR中分别应用正弦定理得上=丁I。。，篝=.臂

sinAsm/APRsinBsinZ.BQR

乂NA=N8=45o,PR=QR,故AR=8R,即/?为A8的中点.

过R作RH1ACJ〃，则PRNRH=gBC,

所以L#_PR-_1,此时N的最小值为!.

不=记一"4

则NCPR=90。一Z.PRC=ZBRQ=a.

CRv

《Rf.CPR中,"?=-=」一，在△/次Q中，

sinasina

Y3

BR=I-.v.RQ=PR=——.4RQB=/r-4QRB-4B=」兀-a.

sina4

RQRBTn.1-.vx1

由正弦定理，蓊=嬴数=U=-H―[OG=c°sa+2sinM因此

」sin-sin-n-a

4U}

、H二S"3二(_____J_____]>1_£

」J札S0Aoe(cosa+2sinaj-(1+2?乂cos?a+sin?a)5

当且仅当a=arctan2时取等*}»此时的最小值为；-

5

故答案为：—.

19.(202L全国,高三竞赛)满足方程cos2A+COS:2.V-2cosxco:;2xcos4x=-,.re[0.2^-]

4

的实数x构成的集合的元素个数为

【答案】14

【解析】

【分析】

【详解】

将方程变形为，cos2.v+cos4.v-4cos.rcos2.vcos4.v=-g

两边同乘2sin.i,运用积化和差和正弦的倍用公式，得:

(sin3.v-sin.r)+(sin5.r-sin3.v)-sin8.v=-sinx,

即sin5x=sin8K.

故5.v+8x=(2k+1)1，AeZ或8.v=5x+2ATT,kwZ,

即.r=2K+1n、ke2或》=竺eZ.

133

乂因为在方程两边同时乘sinx时，所以引入了增根K=北无/wZ（代入原方程检验可

得）.

再结合.“［。、2兀］,得所求结果为14.

故答案为：14.

20.（2021・全国•高三竞赛）设AA8c的三内角八、8、C所对的边长分别为“、b、c

若〃+c-“=2,则/Psin'C+cZsin'g-Z/'csinAsinOsinC值为.

22222

【答案】I

【解析】

【分析】

【详解】

,,.,C、.、Br,.A.B.C

p'sin'—be-sin-----2/;csin—sin—sin—

22222

=-/;2(l-cosC)+-c2(l-cosfi)--Z>c(cosA+cosB+cosC-1)

222

=.!•(//+c:+2bc)--h(bcosC+ccosB)--c(ccosB+bcosC)+-(b2+c2-2bccosA)

4224

12,+ca

=-(b~+C+2hc)--ha--ca+-a=^~y=]

42242

故答案为：1.

21.(2021•全国•岛三竞赛)AA8c中，A、B、C的对边分别为a、b、c,O是AABC的

外心，点?满足而=5+而+左，若8=号，且静.阮=4.则“8C的面积为

【答案】26

【解析】

【分析】

【详解】

由3+9+0亍，得济-)=丽+3。.即/+元.

______5卬IMAI

注意到(而+工)-L，所以人户_LBC.

同理，BP1AC.所以尸是“8C的垂心，

丽•阮=(BA+AP>BC=BA-BC、

所以accos8=4,ac=8.

所以S.sc=~ac$inB=26.

故答案为：2vL

22.(2021•全国,高三竞赛)设“8c的三个内角分别为A、B、C,并且

sinA、cos8、sinC成等比数列，cosA、sin8、cosC成等差数列，则B为

【答案】y

【解析】

【分析】

【详解】

侬题意，sin4sinC=cos28,cosA+cosC=2sinB,

前一式积化和差可得cos(4-C)=2cos2B-cosB.

4_CR

后一式和羌化枳可得cosC-2=2COS2.

22

所以cos(A-C)=2cos3—~~--I=8cos2—-l=4cosfi+3,

22

联立两式得cos8=-g或3(舍去)，所以8=生.

23

故答案为：y

23.（2021・全国•高三竞赛）如果三个正实数六J、z满足.e+x、，+y2=25,

/+yz+z2=144,z\zx+.d=169,则.。+"+次=

【答案】406

【解析】

【分析】

【详解】

,V2+>,2-2,n-cos)20°=52,

易知三个等式可化为卜2+Z?-2)283120。=12、

z2+.V2-2z.vcos120°=132.

构造Rt^ABC.其中AB=]3,BC=5,CA=12.

设P为△A8c内一点，使得PB=工PC=y.PA=z.乙BPC=Z.CPA=ZAPB=120°.

闪S“"T+S«»,\+=S"*"c，则—(-'3'++zv)sin120°=—x5x12,

22

所以r.r+yz+zv=405/3.

故答案为：40>/3.

COSX

24.(2021•氽国,高三竞赛)设了⑴飞(孙…),则/。°)+〃2°)+…+/(60。)=

【答案】1Z2立

6

【解析】

【分析】

【详解】

COS.V

因为/*)=,所以:

cos.vcos（6l°-x）

/（.V）-F/（60°-.V）=

cos（30°-A）cos（.v-30°）

cos.v4-cos（60°-,v）_2cos30°cos（.v-30°）

cos（.v-30°）cos（.v-30°）

令：£=〃1。）+/（2。）+・・・+/（59。）.①

s=〃59。）+/（58。）+…+/（2。）+/（1。）•②

①+②得:：

2s=[/（1。）+f（59。）]+[/（2。）+/（58。）]+…+[/（59。）+/（1。）]=596.

所以$=当道,即/（】）+/（2）+,+/（59）=竿.

2

,向）=cos60。=5=]

'1）cos（300-60。）一0一3,

T

则/（1。）+.”2。）+...+/（59。）+/（6（）。）="+坐=上步.

236

故答案为：122^.

6

25.（2（）21•全国•高三竞赛）已知85工+8§、=1,则sin.v-siny的取值范围是

【答案】[-6,6]

【解析】

【分析】

【详解】

产—1/_]

设sinx-sinv=，,易得cos.rcosv-sin.tsinr=~^―,EPcos(,v+y)=.

由f--l<cos(.v+y)<1,所以,

解得一代二品班.

故答案为：卜6,0]

26.(2020・全国•高三竞赛)在“8C中，AH=6JiC=4,边AC上的中线长为加,

4A

则sid^+cosG]的侑为

【答案】三21I.

【解析】

【分析】

山中线氏公式计算出AC的长度,然后运用余弦定理计算出cos/l的值.化简后即可求

出结果.

【详解】

记M为4C的中点.山中线长公式得

4BM2+AC'=2[AB2+BC2),

川AC=^2(6:+4:)-410=8.

CA2+AB2-BC2_8,+62-42

由余弦定理得cos人=所以

2CAAB2-8-68

,6八6人八1八]/.4八2

sin—+cos—=sin'—I-cos--sin---sin△■2+cos』

22122A2223

1/A、A。A->A

ilK-4-COS一—3sjn'—cos'一

2-222

=I--sin24

4

2II

故答案为:

256

【点睛】

关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行

计算，考查综合能力.

27.(20|9-江苏.高三竞赛)己知函数/(A)=4sin2x+3cos2x+2asin.v+4ncos%的最小

值为-6,则实数a的值为

【答案】±^2

【解析】

【详解】

令sin.r+2cosx=t,则/e卜-如j.

2/2=4$in2x+3ce$2x+5，

・♦/。)=g(/)=2广+2al-5,/€|一退，行|♦

当-54.a>2>j5时，

函数的最小值为：^(->/5)=2X(-^)?+2X(-75)X«-5=-6.

解得：”=/，不合题意，舍去；

当一：N邪,〃4-2b时，

函数的段小值为：g(6)=2x(6『+2x(#)x“-5=-6,

解得：“=不合题意’舍去：

当一正<-'<小、-2石<a<2石时，

函数的最小侑.为：g(一])=2x[—+2x(-]]xa—5=-6.

解得：«=±>/2.满足题意.

故答案为：土.

28.(2019・福建•高三竞赛)在△AAC中，若AC=",4?=2,且

J3sin4+cos45兀,

-r------------二tan—,m则r“C=______________

V3cos4-sinA12

【答案】[

【解析】

【详解】

r.2sinf/l+-]

；J3sin4+cosA5”—16J5左

1H-A------------=ian—.奇-----7-----v=tan——，

j3ccs4-sinA122cos,+：)12

即tan(A+工]=tan包，所以二'+4兀，keZ.

I6J12612

结合0<4