高中数学2023新高考二轮复习17圆锥曲线压轴小题（原卷版）

微专题17圆锥曲线压轴小题

【秒杀总结】

1、求的离心率（或离心率的取值范围），常见有以下方法：

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a,h,。的齐次式，结合〃=合一“2转化为0,。的齐

次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或加转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）

即可得e（e的取值范围）.

③几何法：寻找几何关系，将问题转化

④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解

2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

【典型例题】

例1.（2023・陕西西安•校考模拟预测）4-2,0）,8（2,0）,C（0,2）,£（-1,0）,F（l,0）,

一束光线从点尸出发射到8c上的点。，经8c反射后，再经ZC反射，落到线段4E上（不

含端点），则叩的斜率的取值范围是（）

A.（f2）B.（0,+8）

C.（1,+8）D.（4,+00）

例2.（2023秋•内蒙古包头•高三统考期末）已知抛物线C:/=3x,斜率为1的直线/与。的

交点为E,F,与x轴的交点为乩若丽=左而住＞1）,|跖|=生『，贝雅=（）

A.5B.4C.3D.2

例3.（2023春•全国•高三竞赛）设圆（x-3）2+（y-4）2=25的圆心为C,点N（6,0）,M（12,10）,

P为直线V=x上一点.若圆上存在两点/,B,使得点尸满足忘=砺+赤，则APCN面

积的取值范围为（）

A.[2,51]B.[3,51]C.[2,52]D.[3,52]

例4.（2023秋・广西南宁•高三南宁二中校考期末）已知双曲线C：1-4=l（a＞0力＞0）的左，

a-b~

右焦点分别是后，鸟，点P是双曲线c右支上异于顶点的点，点〃在直线x=“上，且满

___PFPF_.___

PH=A（|_J.।Ae7?13HP+12HF2+5HF1=0,则双曲线。的离心率为（）

131317

A.—B.—D.—

12513

22

例5.（2023•全国•模拟预测）己知椭圆。:?会=15>/?>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，

若离心率,\=P用F,\

点尸在椭圆。上,则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（0,72-1）D.[72-1,1]

例6.（2023・四川绵阳•统考模拟预测）已知产为抛物线：/=4x的焦点，过直线/:x=-2上

任一点尸向抛物线引切线，切点分别为/,B,若点M（4,0）在直线AB上的射影为H,则|尸川

的取值范围为.

例7.（2023・全国•高三专题练习）双曲线C:£-E=l的左右焦点分别为耳，F2>以实轴

a~b~

为直径作圆O,过圆。上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A,8两点（B在第一象

限），若B6=c,月后与一条渐近线垂直，则双曲线离心率为.

例8.（2023・全国•高三专题练习）已知双曲线C:「-}=l（a>08>0）的左、右焦点分别

为不E，点P在双曲线C:1-4=l上，点〃在直线x=。上,且满足2而+3丽+4麻=6.

ab-

若存在实数X使得而枭+备枭

则双曲线C的离心率为

22

例9.（2023秋•浙江杭州•高三浙江省桐庐中学期末）已知椭圆C：会+方=1（。>6>0）,

经过原点。的直线交C于/,8两点.P是C上一点（异于点/,B）,直线8尸交x轴于点

4

D,若直线48,%尸的斜率之积为且=则椭圆。的离心率为.

例10.（2023秋•吉林长春•高三校考阶段练习）已知双曲线C:+—1=l（a>0,b>0）的左、

a~b"

右焦点分别为耳工，若在右支上存在一点P,使得点写到直线尸耳的距离为则双曲线

的离心率e的取值范围是.

例11.（2023秋・河南安阳•高三校考期末）过抛物线C:/=©的焦点的直线与C交于43两

TT

点.设。为线段48的中点，a>0,点尸若直线。尸〃x轴，且=贝I」

例12.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆和与双曲线-的离心率互为倒数，且它们有共

同的焦点6、8,尸是却与匚在第一象限的交点，当/月尸£=9时，双曲线口的离心率等

于.

例13.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C：\+g"=l（a>b>0）的左、右焦点分别是

耳，F2,斜率为g的直线/经过左焦点耳且交C于4,8两点（点Z在第一象限），设△/耳巴

的内切圆半径为4,48耳工的内切圆半径为々，若二=2,则椭圆的离心率6=___________.

r2

例14.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C:「+《=l的左焦点为尸，过尸斜率为G的

ab

AF\3

直线/与椭圆C相交于A、B两点，若篇=7,则椭圆C的离心率6=

BF\2------

【过关测试】

一、单选题

1.（2023秋•山东潍坊•高三统考期末）已知O为坐标原点，48是抛物线/=4才上的动点,

且。过点O作垂足为//,下列各点中到点//的距离为定值的是（）

A.（1,0）B.（2,0）C.（1,2）D.（2,1）

2.（2023秋・广东深圳•高三统考期末）已知交于点尸的直线4，4相互垂直，且均与椭圆

2

（7:日+必=1相切，若A为C的上顶点，贝的取值范围为（）

A.["码B.[1,司C.[73,3]D.[1,3]

22

3.（2023•江西•校联考一模）已知双曲线5-5=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为6,用，

点P在双曲线上，且N耳尸鸟=60。，的延长线交双曲线于点。，若双曲线的离心率为

则><)

4.（2023•湖南永州•统考二模）如图，与g为双曲线的左右焦点，过马的直线交双曲线于民。

两点，且丽=3所，£为线段。片的中点，若对于线段。耳上的任意点P,都有

5.（2023•全国•高三专题练习）已知耳，鸟是椭圆C：/+且=1的左，右焦点，过月且倾

43

斜角为W的直线交椭圆C于点P,。（尸在第一象限），NP6鸟与N。百鸟的平分线分别交直

线x=2于点/，N,则N纵坐标比*=（）

%

111

A.—B.—C.—7=D.-1

32V3

6.（2023・全国•高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与夕所成角为锐角时，圆柱面

的截线是一个椭圆.著名数学家。加血〃”创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个

大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于a的上方和下方，并且与圆柱面和a均相切.给

出下列三个结论：

①两个球与a的切点是所得椭圆的两个焦点；

②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；

③当圆柱的轴与a所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①B.②③C.①②D.①③

7.（2023・全国•高三专题练习）己知点。满足函•函=0,且点0恒在在以耳、死为左、

右焦点的椭圆C:二+耳=1（“>6>0）内，延长。鸟与椭圆交于点P,若sin/£尸。=上，则

该椭圆离心率取值范围是（）

二、多选题

8.（2023春•广东韶关•高三校联考开学考试）已知尸是抛物线%:V=2px（p>0）的焦点，

点”（1,2）在抛物线％上，过点尸的两条互相垂直的直线小分别与抛物线少交于8,C和

D,E,过点A分别作小（的垂线，垂足分别为加，N,则（）

A.四边形4MFN面积的最大值为2

B.四边形尸N周长的最大值为40

11,

C匠为定值.

D.四边形80CE面积的最小值为32

9.（2023春・浙江•高三开学考试）己知尸为双曲线C:x2-y=i的右焦点，尸在双曲线c的

右支上，点K芋,0.设NPK^=a,2PFK=B,NKPF=y,下列判断正确的是（）

A.a最大值为gB.sin64T•sina

C.tana=72sin/?D.存在点尸满足7=2a

10.（2023春・广东•高三统考开学考试）已知4（1,1）,8（4,2）,P为圆C（x-4）2+（y-1了=4上

的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.以为直径的圆与圆C相交所得的公共弦所在直线方程为3x-y-7=0

B.若点P（4,3）,则AP/B的面积为］

C.过点B且与圆C相切的圆的圆心轨迹为圆

D.尸理2的最小值为18-3m

11.（2023春・江苏常州•高三校联考开学考试）已知双曲线［-4=1的左、右焦点分别是耳,巴，

169

点尸在双曲线的右支上，则（）

A.若直线尸耳的斜率为左，则阳€0常

B.使得△尸周月为等腰三角形的点P有且仅有四个

C.点P到两条渐近线的距离乘积为温

D.已知点。（7,5）,则优P|+|PQ|的最小值为5

12.（2023秋•江西新余•高三统考期末）如图，过双曲线C：/-方=1（6>0）右支上一点P

作双曲线的切线/分别交两渐近线于A,3两点，交X轴于点。，耳、区分别为双曲线的左、

右焦点，O为坐标原点，则下列结论错误的是（）

A.SfOB=b

B-SACMP=S40BP

c.网疝,=2^77

D.若存在点P,使cosN片P用=；,且丽=2恒，则双曲线C的离心率为e=2

13.（2023春•江苏南通・高三校考开学考试）己知过抛物线C:/=4x焦点尸的直线/交C于

48两点，交C的准线于点其中8点在线段上，。为坐标原点，设直线/的斜率为

火,贝U（）

A.当左=1时，|/同=8B.当k=20时，\BM\=\AB\

C.存在%使得//。8=90°D.存在《使得N/08=120。

三、填空题

14.（2023秋•河北邯郸•高三统考期末）已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，若片,鸟,《在抛

物线C上，且满足乙"石=/£e=/阜隹=2亨7r，则归尸|+忆同+怛尸|的最小值为.

15.（2023・四川凉山・统考一模）如图，已知椭圆G：q+《=1,

ab

G：「+A=>6>。,0<r<1）•若由椭圆G长轴一端点P和短轴一端点Q分别向椭圆C2

ab~

引切线网和。T,若两切线斜率之积等于-g,则椭圆a的离心率6=.

16.（2023秋•吉林长春•高三长春市第二中学校考期末）平面二次曲线方程的一般形式为

r：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O.已知曲线C:3f+3『-2xy-8=0表示中心在坐标原点

的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆C上，则该矩形面积的最大值为

17.（2023秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）已知下为抛物线-=4y的焦点，

由直线卜=-2上的动点p作抛物线的切线，切点分别是4,B,则A/8。与A/尸。（O为坐

标原点）的面积之和的最小值是.

18.（2023・湖南衡阳•校考模拟预测）已知抛物线C:/=2x的焦点为尸，圆0:/+/=3与

C交于M,N两点，其中点M在第一象限，点P在直线x=-2上运动，记

而"的+〃丽（Z〃eR）.

①当丽〃两时，有平；

___3

②当OPJ.丽时，有2=-］；

③APMN可能是等腰直角三角形；

其中命题中正确的有.

19.（2023・湖北喧昌市一中校联考模拟预测）设椭圆。:£+工=1（4>6>0）的离心率6,也,

a-b-2

C的左右焦点分别为6,乙，点4在椭圆C上满足/耳/工=5./耳力6的角平分线交椭圆于

另一点B,交y轴于点D已知方=2而，则0=.