高考数学复习10概率与统计-2020年高考数学（理）·重点·难点专练

热点10概率与统计

【命题趋势】

统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其

特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考

查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解

答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以

及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意

义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，

应该引起关注

【满分技巧】

1.抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与

联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法

和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立

事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独

立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是

包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不

能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均

值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的

应用.

【考查题型】选择，解答题

【限时检测】（建议用时：55分钟）

I.（2020•全国高三专题练习（理））甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定

它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的

概率（）

]_452

A.3B.9C.9D.3

【答案】C

【分析】设甲到达的时刻为x,乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域

0„x”24

C={(x,y)|

0„y„24

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域

0„X,,24

A=｛（x,jOI,0„y„24

\x-y\.8

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为：

S.[16x16=5

P(A)一丁-24X24-9

故选：C

乙

船

到

达

时

间

/r

2.（2020•全国高三专题练习（理））为了了解现在互联网行业的就业情况，某高校教授

组织学生对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如

图1）和90后从事互联网行业者岗位分布图（如图2）,则下列结论中不一定正确的是（注：

80后是指在1980-1989年（包含1980年与1989年）出生，90后是指在1990-1999年（包

含1990年与1999年）出生，80前是指在1979年及以前出生）（）

NOM

A.互联网行业从业人员中80后的人数不超过一半

B.互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的20%

C.互联网行业中90后从事市场岗位的人数少于所有年龄从业者总人数的10%

D.互联网行业中从事职能岗位的人数90后比80后多

【答案】D

【分析】对于A选项，由饼状图可知80后人数占了41%,故A正确；

对于B选项，9°后从事技术岗位的人数所占比例为39.6%,由饼状图知9°后人数占了

56%,所以56%x39.6%=22.176%>20%,故B正确：

对于C选项，9°后从事市场岗位的人数所占比例为13.2%,由饼状图知9°后人数占了

56%,所以56%xl3.2%=7.392%〈10%,故c正确；

对于D选项，因为80后从事职能岗位的人数所占比例不清楚，所以无法判断，故D错

误.

故选：D.

3.（2020•全国高三专题练习）采购经理指数（PMI）,是通过对企业采购经理的月度调

查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制

造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的

预测、预警作用.如图为国家统计局所做的我国2018年1口12月份的采购经理指数（PMI

）的折线图，若PMI指数为50%,则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确

的个数为（）

制造业PMI指数（经季节调整）

①2018年1至12月的PMI指数逐月减少;

②2018年1至12月的PMI指数的最大值出现在2018年5月份;

③2018年1至12月的PMI指数的中位数为51.25%；

④2018年1月至3月的月PMI指数相对6月至8月，波动性更大.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】1月到5月PMI指数有增有减，所以①错误；2018年5月的PMI指数的最大，

51.2%+51.3%,5125%

所以②正确；根据折线图，2,，所以③正确；1月至3月的月

PMI指数极差为12%,6月至8月的月PMI指数极差为0.3%，故1月至3月的月PMI

指数波动性更大，所以④正确；

故选：C

4.（2020•全国高三专题练习（理））以下四个命题：

①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是

分层抽样;

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高4

(单位：c〃？)服从正态分布"(Sb),且P(172<"18O)=0.4,那么该市身高高

于180。加的高中男生人数大约为3000；

③随机交量X服从二项分布8(10°，°”)，若随机变量Y=2X+1,则丫的数学期望为

”)=81,方差为以丫)=48；

④分类变量X与y,它们的随机变量K2的观测值为％,当％越小，“X与y有关系的把

握程度越大其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】：①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假

命题；

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高4

(单位：cm)服从正态分布N(172b),且尸(172<380)=0.4,所以

P(^>180)=--P(172<^<180)=0.1

2,所以该市身高高于180CTM的高中男生人数

大约为30000x0.1=3000人，故②为真命题；

③随机交量X服从二项分布6(1°。,04),则E0O=100x0.4=40,

°(X)=100x0.4x(1-0.4)=24,若随机变量y=2X+l,则V的数学期望为

£(Y)=2£(X)+1=81.…L>(y)=22L>(^)=96“小4m幺"

v7v7，方差为I/v7；故③为假命题：

④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值上来说，左越小，“x与丫有关系”的

把握程度越小，故④为假命题.

故选：A.

5.（2020•扬州市祁江区蒋王中学高三月考）某产品的广告费用X与销售额y的统计数据

如下表：

广告费用X（万元）23456

销售额y（万元）1925343844

根据上表可得回归直线方程为V=7.3x+a,下列说法正确的是（）

A.回归直线”6.3x+a必经过样本点0，19）、（6,44）

B.这组数据的样本中心点）未必在回归直线丁=6.3》+a上

C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元

D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元

【答案】D

【分析】回归直线歹=6.3x+a,不一定经过任何一个样本点，故A错；

由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点G''）一定在回归直线.=6.3x+a上，故B

错；

回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错；

-11

x=］（2+3+4+5+6）=4y=-（19+25+34+38+44）=32

5,5,

将（432）代入户6.3x+a可得a=6.8,则回归方程为y=6.3x+6.8,

x=7时，歹=6.3x7+6.8=50.9,故D正确.

故选：D.

6.（2020•山东济南市•高三开学考试）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八

卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（一表示一根阳线，

表示一根阴线），现有3人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六根线

中有四根阳线和两根阴线的概率为（）

29799675225

A.2744B,2744C.21952D.21952

【答案】A

【分析】8卦可分为四类:1阳3阴共3个，3阳1阴共3个，3阳共1个，3阴共1个,

3人各取2卦的法为=283,

2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方法数为2+C=6,

因此3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法为

C]x（C^-6）x6x6=23x33xll

33

p_2x3xll_297

所求概率为28，2744.

故选：A.

7.（2020•全国高三专题练习（理））设一个正三棱柱“8C-0跖，每条棱长都相等，

一只蚂蚁从上底面Z8C的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬

行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚊爬行10次，仍然在上底面的概率为4。，

则々。为（

)

【答案】D

【分析】由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为匕.

-Pn1（〃22）

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为3；

②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1一片-”（〃22）如果爬上来，其概率

°，

2111

两种事件又是互斥的,...33，即33,

...数列12J是以3为公比的等比数列，而3,所以22,

D1flY°1

.蟠丸=io时，+5,

故选：D.

8.（2020•江西吉安市•白鹭洲中学高三期中（理））已知随机变量且

1+axx+

P（X<O）^P（X>a）（）>['7,,寸一*«

v7v1,则\*）的1V展s开式中x的系数为（）

A.40B.120C.240D.280

【答案】D

【分析】根据正态曲线的性质可知，°+a=lx2,解得"=2,

（"2x）3的展开式的通项公式为&।=2,g*{0,1,2,3},

卜+1的展开式的通项公式为却=2yL2—）=2、.cX-8,§e{o,i,2,3,4},

r=3[r=0

<V

令两式展开通项之积X的指数为r-3s+8=2,可得〔s=3或1s=2,

（1+2》》卜+|）

二Ix）的展开式中*的系数为

23.穹•23•C：+2°•C；•2?♦C：=256+24=280

故选：D.

0<Q<一<

9.（2020•全国高三专题练习（理））已知3,随机变量g的分布列如下，当4增

大时（）

1-101

12

Pa——a

33

A."⑶增大,。代）增大B."⑶减小，，⑹增大

c."（4）增大，减小D.碱小，'⑹减小

【答案】B

【分析】：3

二当。增大时，E4）减小,

2,72

l=-a~+_QH--

3333339

，。修）在上随。的增大而增大,

故选：B.

10.（2020•全国高三专题练习）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1、

2、3、4的4个盒子，以4表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（4=3表示第1

号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则“（4）、£（2J+1）分别等于（

）

2525253333

A.记、京B.而、WC.5、3D.5、4

【答案】B

【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4.

C；X32+C；X3+C；37；；19

P(“D=P(D=CX22+CX2+C

64,4364,

c；+C+C=7

P("3)=p代=4)=4=-1

4364')4364

37cl9、7“125

E@=lx—+2x—+3x—+4x—

所以,6464646416

2533

£（2^+l）=2£（^）+l=2x—+1

因此,16T

故选：B.

二、解答题

11.（2020•全国高三专题练习（理））某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金

额（单位：元），如图所示：

（1）现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者去

年的消费金额在（3200,4000］内的概率；

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：

会员等级消费金额

普通会员2000

银卡会员2700

金卡会员3200

预计去年消费金额在（0,1600］内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1

600,3200］内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200,4800］内的消费者都

将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，

该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：

方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖

励：普通会员中的“幸运之星’'每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600

元；金卡会员中的“幸运之星''每人奖励800元.

方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球

只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为

2,则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金：其他情况不

给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游

戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.请你预测哪一种返利

活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由.

10

【答案】（1）11;（2）方案2投资较少，理由见解析.

【分析】（1）去年的消费金额超过3200元的消费者有12人，随机抽取2人，消费金额

在（3200,4000］的范围内的人数为X,可能取值为0,1,2,

C210

尸（X21）=l-P（X=0）=l-苦=行

10

所以至少有1位消费者去年的消费金额在（3200,4000］的范围内的概率为11

（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则

28”r

-----x25=7

“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为100

—x25=15—x25=3

100,100

按照方案I奖励的总金额k7x500+15x600+3x800=1490()g

方案2：设"表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则〃的可能取值为0,200,300.

尸=%C'=*2

摸到红球的概率C5,

P8=0)=c；♦(|)°-(1)3+G•淀了=黑

所以5555125,

P(V=200)=C；.(62.|嚏

>

P(7=300)=C/.(^.(|)-A

〃的分布列为

0200300

81368

P

125T25125

E(rj)=0x—+200x—+300x—=76.8

数学期望125125125(元)，

按照方案2奖励的总金额$气28+2*60+3x12)x76.8=14131.2(元)

由。>刍知，方案2投资较少.

12.(2020•全国高三专题练习(理))据某市地产数据研究院的数据显示，2018年该市

新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措

施，10月份开始房价得到很好的抑制.

廉由2mYr•■住弯•侪均

•:,卜万5片本

05

I...........................................................................月费

I21~4~57"R~»mII12

（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较

强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,政府若不调控，依据

相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价；

（2）地产数据研究院在2018年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关

注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x,求x的分布列和数学期望.

555__

Ex,工（七一粗乂一丁）

参考数据：I=25,I=5.36,日=0.64.

*=乳+强

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

Xx^t-nxyV（再一x）（乂一y）

1>=号--------=^；------------

£X；_“（X）2£（X,「X）2

i=\/=1a=y-bx

136

【答案】⑴尸0.06x+0.75,1.47万元/平方米；⑵分布列见解析，55.

【分析】（1）由题意

月份X34567

均价y0.950.981.111.121.2（）

__5_

x=5/=L072，Z（x,-x）2=10

计算可得,/=1

Z(x,-X)也-y)

b=----------------------=0.064

自”-")$=]-院=0.752

...从3月至IJ7月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75,

当x=12时，代入回归方程得y=1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万

元/平方米.

(2)X的取值为1,2,3,

=4」

P355

尸(X=l)12

_27

G；-55

尸(X=3)

27

尸(X=2)=1—PC¥=1)—PC¥=3)=55,

X的分布列为

X123

12727

P

555555

12727136

£(M=1X55+2X55+3x55=55.

13.(2020•全国高三专题练习(理))为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女

学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下：

人数

5

4

123456学习时间

女生统计图

男生统计图

(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；

(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X,求随机变量X

的分布列及均值ECY);

(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差门的大小.(只需写出结论)

【答案】⑴240人;(2)分布列见解析,2：(3)

【分析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女

生中学习时间不足4小时的有4人.

12

故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400X20之40.

(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4,

故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

由题意可得

星」

P(XR)C70,

C：C；J6一8

P(x=D=可一两―工

C：C；_36_18

Pg)=h=为弓

C；C：J6，8

7035

P(X=3)=。；

0=_L

P(XN)=C：70.

X01234

181881

P

7035353570

所以随机变量X的分布列为

J__8_18_8_J_

二均值£C¥)=OX70+ix35+2X35+3X35+4X70a

⑶由折线图可得s；＞q.

14.（2020•全国高三专题练习）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年

来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月48两种移动支付方式的

使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中48两种支付方式都不使用的

有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

仅使用力18人9人3人

仅使用810人14人1人

(i)从全校学生中随机抽取i人，估计该学生上个月a8两种支付方式都使用的概率；

(2)从样本仅使用力和仅使用8的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支

付金额大于1000元的人数，求X的分布列；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用力的学生中，随机

抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用

A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

【答案】(1)0.4；(2)分布列见解析；(3)答案见解析.

【分析】：(D由题意知，样本中仅使用”的学生有18+9+3=30人，仅使用8的学生有

10+14+1=25人，A,5两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月4,8两种支付方式都使用的概率估计为

9=0.4

100

(2)X的所有可能值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000

元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大T

1000元”.

9+314+1

尸(。)=二^=0.4,P(0)==0.6

由题设知，事件C,。相互独立，且3025

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24

P(X=1)=P(CDUCD)=P(C)P(方)+P(C)P(D)

=0.4x(l-0.6)+(1-0.4)x0.6=0,52

P(X=0)=P(CD)=尸©)P(方)=0.24

所以X的分布列为

X012

P0.240.520.24

(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于

2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，

C31

尸(E)=M=五而

则由上个月的样本数据得Go4060.

答案示例1：可以认为有变化.

理由如下：

P(£)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有

变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P(£)比较小，一般不容易发生，

但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.

15.(2020・贵州毕节市•贵阳一中高三月考(理))随着如今人们生活水平的不断提高，

旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消

费支出(单位：元)的情况，相关部门抽取了某地区100°名老年人进行问卷调查，并把所

得数据列成如下所示的频数分布表：

组[0,1000)[1000,2000)[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)

别

频

1202603402502010

数

（1）求所得样本平均数（精确到元）；

（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X服从正态分布

“（3000,1000）,若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出

在5000元以上；

（3）已知样本数据中旅游费用支出在［50°°，6°0°）范围内的10名老人中有7名女性，3

名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为求。的分布列.

附若X〜N尸<X<〃+。）=0.6826

P（〃一2。<X<〃+2。）=0.9544—3。<X<〃+3。）=0.9973

【答案】（I）2320元；口）2166位；门）分布列见解析.

【分析】（1）设样本平均数为％,则有：

500x120+1500x260+2500x340+3500x250+4500x20+5500x10一”

x=-------------------------------------------------------------------------------------=2320

1000

（元）；

（））//=3000（7=1000.,.〃+2b=5000

所以旅游费用在5000元以上的概率为

/、1-P（u-2a<X<u+2a）

P（X>p+2a）=-------------------------------1=0.0228

"95000x0.0228