高考数学二轮复习：第1部分研习概率与统计

麦;概率与统计

古典概型的概率公式。©均值的性质结论€>方差的相关性质结论。两点分布与二项分布的均值与方差

--

①若随机受施V膻从两点分布,财

①为索数).

P(A)=普K(AXM&①。&>=0(4为常数).£(X)=^.D(X)=p(1-p).

4包含的基本事件的个数②E(m»”£(X}♦及②D(«X+6)=a,P(X).②若随机变flUJK从二项分布,即

基本事件的总数③以M+的>=£(吊H£(*J③D(X)=W)-(£(X)p.「),则

D(X)=np(l-p).

1种概型3类性质

构建概率与统计知识体系

3种分布4个特征

正态分布。©超几何分布。二项分布0统计中的数字特征

正态分布常记作在含行“件次品的①柳江独立事件的低率运算①众故：在样本数据中,出现次数

/V”,。?).如果随机变N件产品中.任取n(“事件43相互独立c/WAPa)P(8).外多的那个败物.

靖*服从正态分布.件.N中恰有X件(U)若事件4,…,4.相互独立，则这些少②中位数：样本数据中.称数据按

则id为1-秋”,十).次品，则事件｛>=£)件同时发生的概率等于短个方件发生大小排列.位丁力中间的败据.如

发生的橇率为果数据的个数为儡数.就取中间两

询足正态分布的三个的«1率的枳.即

个数据的平均数作为中位数.

基本概率的值是：p(r=k卜巨号

5

①，(》■tr<X<r)③平均数：同向f—NJ.

(而)事件4/相互独立，则彳和瓦4与瓦

-0.6827;上=0,I,2,……

力与月也相互独立④方署与标准差

②HA-2<r<K£/*+2")

H中muinin(M・川.方是：

-0.9545»②条件概率?出乂)二空驾的性商

夕⑴

③片儿・3<T〈XWM+3。)旦eVN,MwN,n,MN♦=J[(/-w6户)“…珀・与>1

-0.9973.GN*.此时除随机变必E

迷)若和是两个互开*件,则PtBUOA)4-1

fiLX服从超几何分布.8C

=P(B14)+P(CM).标准船：

(ii)若41相互独立.MP(fflA)=P(D).

暗机交盘£厦从二项分布.妃作4TaP\

其中AP为*数.并称p为成功概率.注意：赖率分布式方图中的敛字待征.

迎概率、随机变量及其分布

考点1条件概率、相互独立事件的概率

◎高考串讲•找规律

1.(2021・新高考I卷)有6个相同的球，分别标有数字123,4,5,6,从中有放

回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字

之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则()

1/16

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互对立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

B［事件甲发生的概率P（甲）=；,事件乙发生的概率尸（乙）=1，事件丙发生

的概率p（丙）=1，事件丁发生的概率p（丁）=-A-=1事件甲与事件丙

oXoJOOXoO

同时发生的概率为0,P（甲两WP（甲）P（两，故A错误；事件甲与事件丁同时发

生的概率为工=1，P（甲丁）=P（甲）P（丁）,故B正确；事件乙与事件丙同时发

6X63o

生的概率为士二1，/乙丙）WP（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥

6X63o

事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.］

2.（2020•全国I卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛

的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人

被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛

结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为;.

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

［解］（1）设甲连胜四场为事件”，

则P（M=Q）T，

所以甲连胜四场的概率为之.

1O

⑵设甲输掉一场比赛为事件A,

乙输掉一场比赛为事件B,

丙输掉一场比赛为事件C,

2/16

进行四场比赛能结束为事件N,

贝!JP(N)=P(ABAB)+P{ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=T6X4=4

13

-=-

所以需要进行第五场比赛的概率为P=1-P(N)=144

⑶丙获胜的概率为

P=P(ABAB)+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA)+

P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA)

X2+©X10=j^.

岗每解读・

命题规律：考查条件概率、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容,

难度中等.

通性通法：概率的解题原则：先定型，再求解

(1)条件概率：在A发生的条件下B发生的概率P(84)=4黑="黑・

(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

(3)独立重复试验恰好发生k次的概率：

P(X=k)=C+pk(l-p)n-k,左=0,1,2,.

提醒：解决条件概率的关键是明确“既定条件”，即在“谁发生的条件下，

求谁的概率”.

。考题变迁•提素养

1.［条件概率］甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球

四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相

同”，事件8为“只有甲同学选羽毛球”，贝炉(A山)=()

8233

--c--

A.9B.98D.4

3/16

B［事件AB：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其他3名同

学排列在其他3个项目，且互不相同为A打事件B:甲选羽毛球，所以其他3

名同学排列在其他3个项目，可以安排在相同项目为33,

二宗故选B.］

2.［条件概率的应用］托马斯•贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问

题中得到了一个公式：PC4⑻=7(5.)埼歌，)/(4),这个公式被称为贝叶

斯公式(贝叶斯定理)，其中P(成4)/(A)+P(BI4>P(Ac)称为8的全概率.这个定

理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是

0.1%,医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%,即已知患病情况下，99%

的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机

抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098,请你用贝叶斯公

式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为()

A.0.1%B.8%C.9%D.99%

C［记一个人得病为事件A检测结果为阳性为事件8则P(A)=0.1%/⑶A)

=99%,

P(5L4)-P(A)+P(5IAc)-P(Ac)=0.01098,

所以P⑷5)=一空3—二端船心9%,

P(BIA)-P(A)+P(BIAc)-P(Ac)001098

所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%,故选

C.］

3.［相经独立事件的概率］(2021.山东泰安市模拟)国际比赛赛制常见的有两

种，一种是单败制，一种是双败制.单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见

的有5。1,803等等.BO1表示双方进行一局比赛，获胜者晋级.803表示双

方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需

要进行第三局决胜负.现在A,B,C,。四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单

4/16

败制，A与8一组，C与。一组，第一轮两组分别进行801,胜者晋级，败者

淘汰；第二轮由上轮的胜者进行8。3,胜者为冠军.已知A与8,C,。比赛，

21312

A的胜率分别为《/I；B与C,0比赛，8的胜率分别为3C与0比赛,

2

C的胜率为于任意两局比赛之间均相互独立.

(1)在。进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；

(2)记A参加比赛获胜的局数为X,求X的分布列与数学期望.

［解］(l)C进入第二轮的概率为4=(，

A与8比赛，A获胜，C与。比赛，C获胜，且A与C比赛，4获胜，

--

22/n222_HX212

XXL_1-X=

=--l--_X--

其概率为2J2

33\2J3312Z9

一_

故在C进入第二轮的前提下，A最终获得冠军的概率P=分=(

“13

(2M参加比赛获胜的局数X的取值有0,1,2,3.

p(X=0)=；,

Pg)=l噜x@&x碉啮

2/i\2iia少、21173

P(x=2).x*9团x.*gx»=侬，

2221m2_12224

X+

--cX-+W■-XXX-+12

332J351125

X的分布列为：

X0123

111173412

p

37511251125

八1一丫11工7173工”412一1747

F(Y\=f)X-+1义一+2X----+3X-----=-----

u375112511251125'

考点2随机变量的分布列、均值、方差

©高考串讲•找规律

5/16

1.（2020.全国III卷）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p2,

P3,p4,且则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

（=1

A.〃|=〃4=0.1，〃2=.3=0.4

B.P]=P4=0.4,p2=p3=0A

C.p=p4=Q.2,p2=p3=0.3

D.=〃4=0.3,〃2=〃3=0.2

B[对于A,当P]=夕4=0.1,。2=。3=0-4时，随机变量X1的分布列为

X11234

P0.10.40.40.1

£(%))=1X0.1+2X0.4+3X0.4+4X0,1=2.5,D(X,)=(1-2.5)2X0.1+(2-

2.5)2X0.4+(3-2.5)2X04+(4-2.5)2X0.1=1.52X0.1+0.52X0.4+0.52X0.4+

1.52X0.1=0.65,^\^,y[D(X^=y[0^5.

对于B,当%=%=0.4,=03二°」时，随机变量X2的分布列为

X?1234

P0.40.10.10.4

E(X2)=1X0.4+2X0.1+3X0.1+4X0.4=2.5,Z)(X2)=(1-2.5)2X0.4+(2-

2.5)2X0.1+(3-2.5)2X0.1+(4-2.5)2X04=1.52X0.4+0.52X0.1+0.52X0.1+

1.52X0.4=1.85,所以=

对于C，当?=“4=02,〃2=〃3二0-3时，随机变量X?的分布列为

X31234

P0.20.30.30.2

£(X3)=1X0.2+2X0.3+3X0.3+4X0,2=2.5,Z)(X3)=(1-2.5)2X0.2+(2-

2.5)2X0.3+(3-2.5"X0.3+(4-2.5)2X0.2=1.52X0.2+0.52X0.3+0.52X0.3+

1.52X0.2=1.05,^T^D(X3)=^LO5.

对于D,当％==0.3,°?=%=0・2时，随机变量的分布列为

6/16

X41234

p0.30.20.20.3

E(X/=1X0.3+2X0.2+3X0.2+4X0.3=2.5,£>(X4)=(1-2.5)2X0.3+(2-

2.5)2X0.2+(3-2.5)2X0.2+(4-2.5)2X0.3=1.52X0.3+0.52X0.2+0.52X0.2+

1.52X0.3=1.45,所以顺通=，屈.所以B中的标准差最大.]

2.(2018•全国I卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品

在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，

先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品

作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(ovpvi)，且各件产品是否为不合

格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求/⑦)的最大值点Po；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的Po

作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则

工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记

为X,求风X)；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有

产品作检验？

[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为/⑦)=C&*(1-p)E

因此f'S)=C%[2p(l-p)18-18/72(1-.)17]=2c触(1-P)17(1-lOp).

令广3)=0,得p=0.L当pe(0,0.1)时，/3>0;当pe(o.i/)时J/)

<0.所以/⑦)的最大值点为“0=0.].

⑵由⑴知，p=0.1.

①令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知7-5(180,0.1),

X=20X2+25r,BPX=40+25/.

所以E(X)=£(40+25Y)=40+25£(K)=490.

7/16

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.

由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.

3.(2021.北京高考)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取"合1检

测法”，即将出个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴

性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2

人感染病毒.

(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为■，定义

随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

⑵若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(K),试比较E(X)和E(Y)

的大小(直接写出结果).

［解］(1)①共测两轮，第一轮100人分10组，故测了10次，第二轮，对两

名患者所在组每个人都进行检测一次，共10次，故总检测次数为10+10=20次.

②由①知，两名感染患者在同一组时，共需测20次；若两名患者不在一组，

需要测10+10+10=30次.

1

故X可取值为：20,30,则P(X=20)=1rp(X=30)=1-11r=*,故X的分

布列为

X2030

110

P

TTTT

1in20+300320

所以E(X)=20X_L+30X2=-------=4

11111111,

⑵E(X)〈仇K).

幅号解读・

命题规律：常以生产、生活实际为背景，考查考生从题干中提取信息建立数

学模型，并应用期望(或方差)对实际问题作出决策的能力，难度稍大.

8/16

通性通法：解决分布列、期望、方差问题的3关

⑴判断关：即依据题意判断随机变量的取值及判断所求分布列的类型.

⑵概率关：即依据事件间的相互关系，结合相应的概率公式求出每个随机

变量取值的概率.

（3）决策关：即借助分布列，计算随机变量的数学期望，并结合实际问题作

出合理决策.

提醒：二项分布是有放回随机试验模型，而超几何分布是无放回随机试验模

型，但当样本数量无限大时，超几何分布可转化为二项分布.

◎考题变迁•提素养

1.［以超几何分布与二项分布为载体］某食品厂为了检查一条自动包装流水

线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：

分组区间(490,(495,(500,(505,(510,

（单位：克）495]500]505]510]515]

产品件数34751

包装质量在（495,510］克的产品为一等品，其余为二等品.

⑴估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的

分布列；

（3）从该流水线上任取2件产品，设丫为一等品的产品数量，求y的分布列；

试比较期望E（X）与期望E（y）的大小.（结论不要求证明）

［解］⑴样本中一共有3+4+7+5+1=20件产品，包装质量在（495,510］克

的产品有4+7+5=16件，故从该流水线任取T牛产品为T品的概率尸嚼=

4

5-

⑵依题意X的可能取值为0,1,2.

9/16

?（X=2）=詈噎,P（X=D=警噫,

^20y

C?3

P（x=°）="=⑻

故X的分布列为

X012

33212

P

959519

（3）由（2）可得E（X）=2X再+1*劳+0*1'

依题意y~碓，3，则y的可能取值为0,1,2.

P（y=2）=直=祟P（y=D=c,（i-如:=4,

p（y=。）=卜以嚓.

故y的分布列为

Y012

1816

P

252525

所以E（y）=2xg

所以E（y）=E（x）.

2.［期望方差的应用］某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种

超过质保期后2年内的延保维修方案：

方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过

2次每次收取维修费1500元；

方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过

4次每次收取维修费。元.

某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延

保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统

计得下表：

10/16

维修次数0123

机器台数20104030

以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X

表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数.

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保

方案更合算？

［解］(1)X所有可能的取值为0,123,4,5,6,

P(X=O)=|X!=^>

111

P(X=1)=而X/2=w

11,1217

F(X=2)=T0XT05X5X2=T00，

12131

-(X=3)=而X/2+5X而又2书,

223111

/>(X=4)=5X5+l0XT0X2：=50，

236

P(X=5)=5义而义2=石,

339

F(X=6)=T0X10=100'

..•X的分布列为

X0123456

111711169

P

2525Too55025Too

⑵设选择方案一所需费用为匕元，则八的分布列为

6000750090001050012000

111169

P

455025100

£（y（）=lx6000+1x7500+1^X9000+^X10500+焉X12000=8

11/16

580.

设选择方案二所需费用为上元，则八的分布列为

%77407740+a7740+2a

6769

P

10025TOO

676921.

E(Y0)=-j-ggX7740+25X(7740+a)+JQQX(7740+2a)=7740+与万.

当%-灰%)=840-瑞>0,

即0<a<2000时，选择方案二更合算，

当反匕)-氏丫2)=840-尝二°，

即。=2000时，选择方案一、方案二均可；

当町)-世)=840-鬻<0,

即a>2000时，选择方案一更合算.

考点3正态分布与频率分布直方图

©高考串讲•找规律

(2014.全国I卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数1和样本方差52(同一组中的数

据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(〃，(72),

12/16

其中〃近似为样本平均数C近似为样本方差S2.

①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指

标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX.

附：yf同Q12.2.

若Z〜Na,⑻，则尸(〃一c<Z<〃+c)=0.6826,-2o<Z<n+2a)=0.9544.

［解］(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差S2分别为

x=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08

+230X0.02=200,

$2二(-30)2X0.02+(-20)2X0.09+(-10)2X0.22+0X0.33+102X0.24+

202X0.08+302X0.02=150.

(2)①由(1)知，Z~M200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200

+12.2)=0.6826.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,

依题箫口X〜8(100,0.6826),所以EX=100X0.6826=68.26.

商号解读・

命题规律：正态分布与二项分布的图象均类同于频率分布直方图，而正态分

布N01,6)中参数〃=Eg,(72=0(。,这便在频率分布直方图的媒介下，交汇交

融产生命题点.

考查正态分布的题目，要重视题后数据的利用，题后数据作用：①提供方向

(计算)与目标；②切勿掉入题后数据误导的陷阱.

通性通法：解决正态分布问题有4个关键点

⑴对称轴x-i；⑵标准差*⑶分布区间.利用对称性求指定范围内的概

13/16

率值，由〃，C分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3c特殊区间，从而

求出所求概率；(4)曲线与x轴之间面积为1.

◎考题变迁•提素养

1.(多选)［以正态分布的应用为载体］(2021.青岛模拟)近年来中国进入一个鲜

花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,

种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态

分布NQi,302)和N(280,402),则下列选项正确的是(附：若随机变量X服从正态

分布N3,o2),则P(//—<7VXV〃+c)心0.6827)()

A.若红玫瑰日销售量范围在a一30,280)的概率是0.6827,则红玫瑰日销售

量的平均数约为250

B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3414

ABD［对于选项A：〃+30=280,〃=250,正确；

对于选项BC：利用。越小越集中，30小于40,B正确，C不正确；对于选

项D：P(280<X<320)=P(/i<X<^+<r)^0.6827X1%0.3414,正确.故选ABD.］

2.［以标准正态分布为载体］(2021.深圳二模)已知某高校共有10000名学生，

其