高考数学复习- 不等式

第一章集合与简单逻辑

1.3不等式

3命题探究

高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不

等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析儿何、三角函数、

数列等综合考查.

真题归纳

题型一不等式的性质

1.（2013•上海）如果“VbVO,那么下列不等式成立的是（）

119O11

A.-V—B.ab<-trC.-ab<-crD.—<T--r

abab

11111

【解答】解：由于4VbVO,不妨令。=-2,b=-1,可得—=-...=—1,.,・—>一,故A不正确.

a2bab

12

可得ab=2,tr=\,.\ab>bf故8不正确.

可得-ab=-2,-a2=-4,-ab>-a2,故C不正确.

故选：D.

2.（2019•新课标H）若a>b,贝ij（）

A.In（a-b）>0B.3a<3hC.a3*-b3>0D.\a\>\b\

【解答】解：取。=0,b=-I,则历（〃-8）=/nl=0,排除A；

3a=3°=1>36=3T=I，排除B-,

a3=O3>（-1）3=-1=h\故C对；

同=0V|-1|=1=匕，排除D

故选：C.

3.（2016•北京）已知x,yCR,且x>y>0,则（）

11

A.一—一X）B.sinx-siny>0

xy

11

C.（一）x-（一）'VOD.lnx+lny>0

22,

【解答】解：yGR,且x>y>0,则嚏<—,sinx与siny的大小关系不确定，即弓尸一(3,

<0,Inx+lny与0的大小关系不确定.

故选：C.

题型二.不等式的解法

1.(2015•天津)设xWR,则“|x-2|<1”是“/+x-2>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由“|x-2Rl”得1〈尤<3,

由x^+x-2>0得x>1或x<-2,

即“|x-2|<1”是“/+工-2>0”的充分不必要条件，

故选:A.

2.(2020•北京)已知函数/(x)=2'-x-l,则不等式f(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(0,1)D.(-co,0)U(1,+00)

【解答】解:不等式f(x)>0,即2x>x+l.

由于函数y=2'和直线y=x+l的图象都经过点(0,1)、

(1,2),如图所示：

不等式/(x)>0的解集是(-8,0)U(1,+oo),

故选：D.

2~xX<0

'",则满足fG+l)</(2x)的x的取值范围是()

{1,%>0

A.(-oo,-1]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-oo,0)

2~xy<n

'一，的图象如图:

{1,x>0

满足了(x+1)<f(2x),可得：lvVO<x+l或2x<x+lW0,

解得x©(-co,0).

故选：D.

4

.(2020•新课标2)若2'-2><3x-3”,则()

A.In(y-x+\)>0B.In(y-x+1)<0

C.ln\x-y|>0D.ln\x-y|<0

【解答】解：方法一：由2'-2><3」-3一)'，可得3“<2、-3"

令f(x)=2X-3'X,则f(x)在R上单调递增，且/(x)</(y),

所以x<y,B|Jy-x>0,由于y-x+l>l,

故历(y-x+\)>ln\=0.

方法二：取x=-l,y=0,满足

此时(y-x+1)=历2>0,/川x-y|=/〃l=0,可排除BCD

故选：A.

题型三.基本不等式

1.(2021•乙卷)下列函数中最小值为4的是()

A.y=/+2x+4B.y=|siii¥|+

C.y=2x+21'xD.y=/心+白

【解答】解：对于A,y=7+2x+4=(x+1)2+3>3,所以函数的最小值为3,故选项A错误;

对于B,因为0<|sinx|<l,所以y=|siiu|+i^^i>2J|sinx|•/占=4,

A

当且仅当|sinx|=..p即|sin_v|=2时取等号，

因为|sin*l,所以等号取不到，所以yEsiM+Kj>心故选项B错误；

对于C,因为2x>0,所以y=2x+22'x=2x+^>2卜假=4,

当且仅当2、=2,即x=l时取等号，所以函数的最小值为4,故选项C正确；

对于D,因为当x=J时，y—ln^+—r——1—4=—5V4,所以函数的最小值不是4,故选项。错误.

eeln-

故选：C.

2.（2021•上海）已知函数/（x）=3*+/y（〃>0）的最小值为5,则〃=9.

【解答】解：/（x）=3'+普=3旺1+普一122气一1=5,

所以a=9,经检验，3工=2时等号成立.

故答案为：9.

3.（2015•湖南）若实数〃，力满足工+；=，工，则"的最小值为（）

ab

A.V2B.2C.2V2D.4

【解答】ft?：V-+-=y[ab,

ab

：.a>0,Z?>0,

12

a+b~（当且仅当b=2〃时取等号）,

.•.皿2品

解可得,ab>2V2,即ah的最小值为2>/2,

故选：C.

1a-

4.(2021•天津)已知〃>0,/?>0,则一+f+人的最小值为_25/2.

ab2------

【解答】解：法一：•.,〃>(),b>0,—+/?>2-A4-Z?=?+h>2y/2f

ab27abb

la?「

当且仅当一=77且b=不，即a=b=鱼时取等号，

1a「

・♦•-4--+/?的最小值为2V2,

ab2

法二：Va>0,b>0,

当且仅当工=总=2即a=b=/时取等号，

ab

1a「

，一+77+匕的最小值为2V2,

ab乙

故答案为：2V2.

5.（2020•海南）已知a>0,b>0,且〃+b=l,贝lj（）

A.a2+b1>B.2ab>^

C.Iog2〃+log2厄-2D.Va4-Vb<V2

【解答】解：①己知。>0,b>0,且所以（。+。）2<2«2+2/?2,则+故A正确.

②利用分析法：要证2。-卜*,只需证明a-b>-1即可，即。>匕-1,由于a>0,b>0,且“+匕=1,

所以：a>0,-l<b-1<0,故8正确.

③I。92a+log2b=log2ab<log2=-2,故C错误.

④由于〃>0,b>0,且〃+h=l,

利用分析法：要证6+伤工企成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2面42,即2面41,

故病W/=竽，当且仅当4=6=；时，等号成立.故。正确.

故选：ABD.

11

6.（2018•天津）已知a,beR,且a-3b+6=0,则2"+2的最小值为一.

84

【解答】解：a,bGR,且a-3b+6=0,

可得：3』+6,则2。+看=2。+券=2&+击刈2a.台=，

当且仅当2"=表.即〃=-3时取等号.函数的最小值为：，

故答案为：--

4

7.（2015•上海）已知〃>0,7>0,若a+b=4,则（）

A.廿+房有最小值B.有最小值

C.-4-《有最大值D-福力有最大值

ab

【解答】解：：a>0,b>0,且a+〃=4,

"+房=-2-2ah=\6-2ah>\6-2(——)2=16-8=8,有最小值，

2

故选：A.

8.(2014•重庆)若log4(3〃+4力)=k)g26则。+人的最小值是()

A.6+2V3B.7+2V3C.6+4百D.7+4V3

【解答】解：・・・3〃+46>0,ab>0,

：.a>0.b>0

Iog4(3〃+4b)=log2Vab,Iog4(3〃+4Z?)=log4Cab)

：.3a+4b=ab,a，4,a>0.b>0

售

.•.bX),/.rz>4,

则a+b=a+-^^="+3(%中"="+3+^:=("-4)+^|^+7>2J(a-4),+7=4遍+7,当且

仅当。=4+2遮取等号.

故选：D.

9.（2013•天津）设〃+人=2,h>0,则当a=-2时，工+回取得最小值.

-----------2\a\b

【解答】解：因为4+6=2,。>0,

要取得最小值，则“<0,

1|a|a+b|a|ab\a\

则----+—=-----+—=+-----+—，

2\a\b4\a\b4\a\4\a\b

、

2丽a+,2cji丽b母|a=|福a+,,1=-41+,1.=43,

当且仅当々=回，a<0时取等号，此时6=-2a,

4\a\b

因为a+b=2f

所以a=-2,b=4,

故答案为：-2.

345

10.(2014•辽宁)对于c>0,当非零实数〃，I满足4/-2ab+4b2-c=0且使|2a+例最大时,———+一的最

abc

小值为-2.

【解答】解：V4a2-2ab+4b2-c=0,

c1b15

=a27--ah4-/?72=(a——)72+-b72

42,4，16

由柯西不等式得，Ka-，)2+捌］［22+(施)2会［2(a一务+孚b.提］2=2*2

bV15.

CL——b

故当|2〃+b|最大时，有—

2局

.■.Q=矽，c=10h2

3453451172117

.%一3+]=与―1+砺=3。)-K=2(K-2)i

2

当匕=；时，取得最小值为-2.

故答案为：-2

xv212

11.(2013•山东)设正实数x,y,z满足7-3xy+4y2-z=0.则当一取得最大值时，一+一—一的最大值为

zxyz

()

9

A.0B.1C.-D.3

4

【解答】解：・・・*-3x)，+4y2-z=0,

.•・Z=W-3盯+4)2,又X,y,Z均为正实数，

.xy=孙11

=1（当且仅当x=2），时取

…zx2-3xy+4y2

—1,此时,x=2y.

・；=/-3xy+4y2=(2y)2-3x2yxy+4y2=2y2,

21211112

A-+-=-+—=-(--1)+1<1,当且仅当y=l时取得“=”，满足题意.

xyzyyy

212

，一+―-―的最大值为1.

xyz

故选：B.

题型四•不等式恒成立

21

I.（2013•上海）设常数。>0,若9x+nj2a+l对一切正实数x成立，则a的取值范围为6，+8）

【解答】解：常数。>0,若9x+9岂a+1对一切正实数x成立，故（9x+q）min>a+\,

22

又9x+事26m当且仅当9x=+，即k轲，等号成立

故必有6a>a+1,解得a>!

1

故答案为1，+8)

%2-4-2%4-n—2rXV0

一.若对任意工£[-3,+oo),f(x)<|x|

{-x2+2x-2ax>0

f

1

恒成立，则〃的取值范围是E，2].

【解答】解：当烂0时，函数/(x)=7+21+。-2的对称轴为工=-1,抛物线开口向上，

要使它0时，对任意x£[-3,+oo),/(x)0国恒成立，

则只需要/(-3)W|-3|=3,

即9-6+。-203,得把2,

当x>0时，要使/(x)W|x|恒成立，即/(x)=-/+2x-2m在射线y=x的下方或在y=x上,

由-?+2x-2a<x,即x2-x+2aK),由判别式A=1-8a<0,得a>

O

1

综上)<a<2,

故答案为：弓，2].

3.(2019•天津)已知“CR.设函数/(x)=52-2"+2匹若关于x的不等式/J)出在R上

1%—alnx,x>l.

恒成立，则〃的取值范围为()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

【解答】解：当工=1时，/(I)=1-2〃+2。=1>0恒成立;

c,一、

当xVl时，f(x)=r-2or+2〃K)o24N逐彳怛成上,

2

r2X__(1一.-1)2__(l-x)2-2(l-x)+l_

令g(X)=口1…廿2)<

1—X1-X1-x

(2」(1-X).白^-2)=0,

.・2a^g(X)max=Of••aNO.

当x>1时，f(x)=x-alnx>0<^a<春恒成立,

lnx-x^_lnx-1

令h(x)=备，则"(x)=

T.~7T———72*

(mx)(/nx)

当%>e时，h'(x)>0,h(x)递增,

当IVxVeB•寸，6(x)<0,h(x)递减，

，x=e时,h(x)取得最小值〃(e)=e.

a<h(x)min=e,

综上。的取值范围是[0,e].

故选：C.

模拟预测

单选题(共8小题)

1.已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是()

11

A.a2<abB.|a|V|b|C.一〉一D.(扔〈办

ab

【解答】解：令“=-2,b=-I,可得力、B、。都不正确，只有C正确,

故选：C.

2.已知x>y>0,#1,归4,则()

A.(aGR,a#0)B.—>—C.x>>/D.3x'[>2y

yx

【解答]解：由x>y>0,x^\,)?1,取x=4,y=2,则可排除CO；

1

取a=-

2则可排除A，

故选：B.

3.若关于x的不等式(«2-1)?-(«-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是()

33

A.(-？1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.(一、，1)

【解答】解：设函数/(X)=(J-1)(“-1)x7.由题设条件关于X的不等式(/-1)(a

-1)X-l<0的解集为R.

可得对任意的x属于R.都有f(x)<0.

又当时，函数/（无）是关于X的抛物线.故抛物线必开口向下，且于X轴无交点.

昉*目仅2—1V0

故满足〈cr

(△=(a-l)2+4(a2-1)<0

故解得一|VaVl.

当a—\时.f(x)=-1.成立.

综上，a的取值范围为(一I，1].

故选:A.

12

4.已知。+b=2,a>\,b>0,求--+工的最小值.

a-1b

【解答】解：・・Z+b=2,a>\,b>09

：.a-l>0,且。-1+〃=L

1212h2(Q—1)

J——+—=(——+-)1+b)=3+3+")>3+2V2,

a-1ba-1baTb

当且仅当——=———^即a=鱼且方=2—夜时，

a-1b

—7+7■取最小值3+2V2,

a-1b

5.若a+厚0,则。2+川+—二^的最小值为V2.

（a+bf——

2

【解答】解：根据题意，若。+毋0,即在-6,则有次+悌＞惚抖,

l(a+b)2

]>(a+万11

则M+垓+>2L=V2,

(a+b)2x-(-。-+-炉--2

即a?+川+，^的最小值为鱼;

（a+b）

故答案为：y/2

6.若正实数小6满足a+b=l,则下列选项中正确的是（）

1

A.如有最大值二B.VH+VF有最大值企

4

1219

C.3。一》〉寺D.一+:有最小值二

3ab2

a+匕1i

【解答】解：对于选项4；的（一丁）2="（当且仅当a=6=*时取"=”），故选项A正确；

对于选项8：,（仿+V^）2=a+b+2\/H^Wa+b+a+Z?=2,...依+aW&（当且仅当a=b=4时取"="）,

故选项B正确;

对于选项C：•・,正实数小b满足。+A=1,J。-人=2〃-1>-1,・・・3。">3-1=/故选项C正确;

a+b=1

2121胃+铝企（当且仅当

对于选项。：・・Z+b=l+一二（一+一）（a+b）=3+3+22b_a时取“=

abab~a=b

"），故选项。错误.

故选：ABC.

7-已知KE'b>。，当嘉+另取最小值时，实数〃的值是々

….CD1laia+blaiab\a\aa

【解答】解：由题总侍:而+至=丽+万=丽+丽+了？丽+2+1,

b4

2

a--

3a=2

或-

当且仅当时等号成立，结合“+匕=可得:4b=4

2b-

-3

753

当。=细，最小值为-；当。=-2时，最小值为一;

J44

所以实数。的值为-2.

故答案为：-2.

8.已知正实数a,b,c满足/-2〃/?+9力2-。=0,则当巴-取得最大值时，三+：-二的最大值为（）

cabc

9

A.3B.-C.1D.0

4

【解答】解：由〃2-2h+9h2-c=0,可得c=a2-2ab+9序,

eabab1111

ca2-2ab+9b2。n+如一？.色十羽*la9b.4,

abba2\-r--2

当且仅当'豹,即当『3〃时’等号成立,

此时c="2-2血9层=⑶）2-2x36x6+9/=12层,

31123112121,

所以,

abc3bb12b2b2b%）1-1

3112

当且仅当b=1时，等号成立，所以，一十二―一的最大值为1.

abc

故选：C.

二.多选题（共4小题）

9.已知〃<。<0,则下列不等式正确的是（）

1Iba11

A.⑷+。>0B.a-->b-j-C.-+->2D.a2+-0

ababab

【解答】解：因为匕<a<0,

所以同+〃=8-。<0,A错误;

因为y=x—1在（0,+oo）上单调递增，

11

所以。一；；>力一7；，5正确；

ab

fbQlba

由AVQVO得一>0,—>0且一H—,

abab

ba,

所以一+工>2,C正确；

ab

因为匕VQVO,

Ii

所以42VA2,一<-,

ab

所以。2+工。2+工。正确.

ab

故选：BCD.

10.已知正实数m匕满足。+6=2,则下列不等式恒成立的是（）

12LLLL

A.ab<\B.—+—>3+2v2C.Va+VK>v2D.lna9lnb<0

ab

【解答】解：对于A：•..“>（）,h>0,a+%=2,...由基本不等式可得而《竽=1,当且仅当〃=匕=1

时，等号成立，故A正确；

,.2112