高三数学二轮复习28空间中的动点问题

立体几何一空间中的动点问题

专题综述

空间中的动点问题是指在一定的约束条件下，点的位置发生变化，在变化过程中找出规

律，将动点问题转化为“定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转

化为解析几何的问题等，目的是把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中去.立体几

何中考查动点问题，往往题目难度较大，渗透化归与转化思想，对学生的逻辑推理能力要求

较高.一般考查动点轨迹、动点的存在性、定值、范围、最值等问题，除了利用化动为定、

空间问题平面化等方法，在几何体中由动点的变化过程推理出结果以外，也可以通过建系，

坐标法构建函数，求得结果.

专题探究

巧用极端位置

探究1:坐标法解决动点问题

建立空间直角坐标系，使几何元素的关系数量化，借助空间向量求解，省去中间繁琐的推

理过程.解题步骤与空间向量解决立体几何问题一致，建立适当的空间直角坐标系=由动

点的位置关系，如在棱上或面内，转化为向量的关系，用参数表示动点的坐标=通过空间

向量的坐标运算表示出待求的量=若求最值或取值范围，转化为函数问题，但要注意自变

量的取值范围.一般坐标法用于解决动点的存在性问题、求最值、求范围问题.

说明：对于求最值、范围问题，也可以直接通过几何体中的某个变量，构建函数，求最值

或范围.

（2022湖北省宜昌市模拟）（多选）在正方体ABCD-A耳G。中，点。为

线段A。上一动点，则（）

A.对任意的点Q,都有用DJ.CQ

B.三棱锥5—BCQ的体积为定值I/

C.当。为A。中点时，异面直线耳。与BC所成的角最小A

D.当。为中点时，直线用Q与平面BCC4所成的角最大

【审题视点】

以正方体为载体考查定点的定值、最值问题，正方体便于建立空间直角坐标系，可选择用

坐标法解决.

【思维引导】

A8选项，可以用几何知识证明；CO选项，设出0点坐标，用坐标表示出异面直线成角

的余弦值或线面角的正弦值，求最值，得出。点位置.

【规范解析】

解：对于A：连接AC,CD,.

因为在正方体ABC。一44G2中，用。，平面AC?,

CQu平面ACR,

B.DVCQ,

故A正确;

对于B：

■平面ADD^//平面BCC.B,,

：.平面AOR4与平面8。。内的距离为正方体棱长a,

VV=2X2aa=6a，为定值'

B-BICQ=Q-BCBI

故3正确;

对于C：

以。为坐标原点，直线分别x,y,z轴，建立空间直角坐标系如下图:

设正方体ABCD-ABCR的棱长为2,

i用一个参数表示动点的坐标，

—i并求出参数范围，即为函数定

2(x,0,2-%)(%e[0,2]),

i义域

则用(222),5(2,2,0),C(0,2,0).

因此4Q=(x—2,—2,—x),BC=(-2,0,0),G

设异面直线与。与BC所成的角为

\B,Q-BC\(27)

则cos0-|cos<BQBC〉卜6

|40悭「J2/—4X+8

当x=2时，cos。=0,

hr)?

转化为函数求最值，求出当

当xe[0,2)时，cos6=当

J2厂-4x+8f8l函数取最值时的x的值

一也

元=0时,

一2

故当。与A重合时，异面直线与。与BC所成的角最小,

故C不正确；

对于。：4Q=(x-2,-2,—x),

又加=(0,1,0)是平面BCGA的一个法向量，

设直线用。与平面BCGg所成的角为a，

则sina=cos<BXQ,m>=y——j-j—L=,==,

对V2X2-4X+8,2(X—lp+6

所以当x=l时，sina取得最大值巫而ae呜

3

因此a取得最大值，

即当。为A?中点时，直线用。与平面6CG5所成的角最大,

故。正确.

故选ABD

【探究总结】

典例1是一道典型的研究动点问题的多选题，难度中等，但能够反映出坐标法研究最值范

围问题的思路.建系=设坐标，写出参数范围=＞根据向量运算构造函数=求最值.

（2021安徽省蚌埠市联考）已知圆柱0。底面半径为1,高为万，ABCD

是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D,其距离最短时在侧面

留下的曲线「如图所示.将轴截面A8C。绕着轴逆时针旋转。（0＜。＜1）后，边8c

与曲线「相交于点P.

（1）求曲线「长度；

TT

（2）当。=—时，求点G到平面4小的距离；

2'

TT

（3）证明：不存在伙0＜。＜万），使得二面角0—45—P的大小为一.

4

探究2：化动为定

点的位置在变化的过程中，有些量或位置关系是不变的，比如点到平面的距离不变，从而

使几何体的体积不变；动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直，与某个平面始终平

行.在证明体积为定值、证明位置关系时，要动中寻定，将动态的问题静态化：将动点转化

为定点，寻找动直线所在的确定平面，从而解决问题.

答题思路：

1.动点P到平面A3C的距离为定值：证明PQABC,动点P到平面ABC的距离即

为定点。到平面ABC的距离；

2.P为动点,为定点，证明PQLA8：证明PQ所在平面与垂直；

3.P为动点，。为定点，证明PQ|平面A8C：证明尸。所在平面与平面48c平行.

HM2（2021湖南省四校联考）在正三棱柱ABC—Agq中，A8=A4,=1,

D,E,F,G,分别为4。，40，偿，。6的中点，P是线段力尸上的一点.有下列三个结

论：①3尸1平面用EG；②^^工/^^③三棱锥^—耳^^的体积时定值，其中所有正确

结论的编号是

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【审题视点】

求证关于动直线族的线面平行或线线垂直，三棱锥的体积为定值问题，要化动为定.

【思维引导】

证明动直线3P所在平面与已知平面平行；证明定直线DG与动直线3尸所在平面垂直;

寻找过点P与平面4EG平行的直线，即得出点P到平面B]EG的距离.

【规范解析】

解：如图，

对于①，在正三棱柱ABC—A4G中，

D,E,F,Gr分别为ACAG,AApCG的中点，

:.EGDF,BDB}E,EGB、E=E,DFBD=D

平面BD/ll平面gEG,

线面平行，转化为面面平行

由3Pu平面BDF，得8P||平面gEG,故①正确;

对于②,

在正三棱柱ABC—AUG中，

平面ACGA，平面ABC,

平面ACG4「'平面ABC=AC

B£)u平面ABC,BDA.AC,

平面AC£4

:.BD工DG

DG±DF,DFBD=D

.•.£)G_L平面BOR异面直线垂直，转化为线面垂

.•.OG_L8P,故②正确;直

对于③,

平面8。厂H平面&EG,

DF|平面BgG

体积的定值问题，转化点到平

，产到平面BXEG的距离为定值,

面的距离是定值，即通过线面

平行或面面平行，得出动点到

而有SAB、EG为定值,故Vp-B'EG是定值,

平面距离为定值

故③正确.故选D

【探究总结】

立体几何证明中经常出现，求证关于动直线的线面平行与线线垂直问题，其思路是转化为

证明动直线所在的定平面与其他平面或直线的位置关系.关键是分析动点,动线或动面间的

联系,在移动变化的同时寻求规律.

（2021云南省曲靖市联考）如图所示的几何体中，ABC-A4G为直三

棱柱，四边形ABCD为平行四边形，CD^2AD,NAOC=60°,AA,=AC.

（1）证明：A,D,C,,与四点共面，且ACJ.OG；

（2）若A£>=1,点M是BC上一点，求四棱锥（.-"XW'的体积，并判

断点M到平面ADCe的距离是否为定值？请说明理由.

探究3：巧用极端位置

由于点位置连续变化，使研究的图形发生连续的变化，利用点的位置变化"极端"位置，避

开抽象及复杂的运算，得到结论.常见题型：

1.定值问题：几何体中存在动点，但所求结果是确定的，即随着动点位置的改变不会影响所

求的量，故可以考虑动点在极端位置的情况，优化解题过程.

2.范围问题：几何体中存在动点，结果会随着动点位置改变而改变，当动点从一侧极端位置

移动到令一个极端位置的过程中，所求量在增大、或减小、或先增后减、或先减后增，通过

求出极端位置处的值，及最值，从而得出范围；

3.探究问题：探究满足条件的点是否存在，也可以转化为求出范围，从而得出结论.

（2021湖南省株洲市模拟）在正四面体A—8QD中，E为棱的中

点，厂为直线30上的动点，则平面AEF与平面ACD夹角的正弦值的取值范围

是.

【审题视点】

本例可用极端位置法分析，也可以建系，用坐标法解决.

【思维引导】

借助极端位置分析，不难看出经过AB和A4CD底边中线的平面与平面ACO垂直，F点、

在移动的过程中，存在一个位置使平面AEF与经过AB和AACD底边中线的平面平行,

式

即平面AEFJ_平面AC。，此时两平面所成角为一，角最大；当尸点移动到无穷远时,

2

平面平面ABO,此时两平面所成角最小.

【规范解析】

解：由正左图____.

饭5%芨母而吊心，的吊冠，

则在正四面体中OB，平面ACD,

E为中点，G为0C的中点，\结合几何知识，两平面成角的

EG0B,故EG_L平面ACOi变化过程，即动点从一个极端

连接AG,并延长AG交CD于点”，j位置变化到另一极端位置时，

连接HE，并延长交8。于点尸，i夹角大小的增减情况

则过点AE,G的平面交直线BD于点F.

则平面平面4CD

即平面AEF与平面ACD的夹角的正弦值为1,

了支灰板羸而施蓟葩拓至首瓦BZ5而至躬萩i旃丑短节;：在极端位置处取"最值"，直接

i求出点该处时的夹角的正弦

平面AEF与平面ACD的夹角逐渐减小，

i值，即为范围区间的一个端点

即当点尸在无穷远处时，看作七下|BD，

如下右图

故平面AEF与平面AC。的夹角即为平面AEFt与平面ACD的夹角,

求出其正弦值为它.

3

综上可知:面AE五与面AC。的夹角的正弦值的取值范围为

【探究总结】

借助极端位置解决典例3中的问题，首先利用几何知识，明确点在移动的过程中，所求量

的变化情况，若在极端位置处取“最值”，问题就简化为求出极端位置处的值.

（2021浙江省杭州市高三模拟）高为1的正三棱锥P-ABC的底面边长为

a,二面角P-AB-C与二面角A—P3-C之和记为。，则在。从小到大的变化过程

中，。的变化情况是（）

A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大

专题升华

几何体中研究动点问题往往难度较大，开放性强，技巧性高.总体思路是：用几何知识，经

过逻辑推理，证明位置关系或求出表示出所求量；或者建立空间直角坐标系，将几何问题

代数化，用空间向量研究动点问题，省去了繁杂的推理环节，但计算量较大.解决动点问题

的策略不局限与上述方法，常用的的方法还有：运用条件直接推算，借助条件将几何体还

原到长方体中去；构造函数，数形结合；还将空间问题转化为平面几何解决，如化折为

直、利用解析几何的知识解决.但只要我们熟练掌握这些基本方法，并灵活加以应用，不仅

能化繁为简，化难为易，而且还可以得到简捷巧妙的解法.

【答案详解】

变式训练1

【解答】解：（1）「在侧面展开图中为8D的长，其中AB=AD=乃,

曲线『的长为J5肛

TT

（2）当。=一时，建立如图所示的空间直角坐标系，

2

则有4（0,-1,0）、B（O,1,O）、G（—1,0,%）,

_____-TT

・•.AB=(0,2,0)、AP=(-1,1,-).OCX=(-1,0,^)

n-AB=2y=0

设平面ABP的法向量为〃=(x,y,z),则<冗

n•AP=-x+yH——z=0

2

取2=2得〃=(肛0,2),

所以点G到平面PAB的距离为d=l<9C,'n|=.

hlJ储+4

（3）假设存在满足要求的e（o<e<乃），

在（2）的坐标系中，p（-sinacosae）,

AP=(-sine,cose+i,e)，

设平面ABP的法向量为m=（芭，y,Z］）,则

2y=0

<八八，

-%1sine+y(cose+l)+6Z]=0

取再=1得加=(1,0,sn'),

0

又平面ABD的法向量为4=（1,0,0）,

由二面角O—AB—P的大小为2TT,

4

则|cos(m,k)\=-------==>sin。=0.

sirrO2

1+丁

TT

sin6＜e（0＜e＜一）,.・.0＜。＜4时，均有sin6＜6,与上式矛盾.

2

TT

所以不存在仇0＜6＜万）使得二面角O—AB-P的大小为一.

4

变式训练2

【解答】（1）证明：因为ABC—44G为直三棱柱，

・•・所以/，且6解，

又四边形ABC。为平行四边形，

BC//AD,RBC^AD,

：.ID（\H,且AD。必,

.•・四边形为平行四边形，

A,D,Cj,B|四点共面;

.4.4]，

又A41，平面ABCD,ACu平面ABCD,

ABCDII4f1,

A5CO四边形AACCj为正方形，连接A&交A。于E,

在AAQC中，CD=2AD,ADCGO.

由余弦定理得।-"，，，

•.、il〃，所以IC-10'，

AD1AC,

又A41_L平面ABCD,ADu平面ABCD,AAt1AD,

AC,"u平面4ACC「ACA4（=A,

ADJ•平面AAC£,

4。＜