高三数学第2章第7节对数与对数函数讲义

部温对数与对数函数

［考试要求］

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对

数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，能作

出底数为2,10,3的对数函数的图象.

3.体会对数函数是一类重要的函数模型.

4.了解指数函数y=a，(a>0,且a#1)与对数函数y=log“x(a>0,且aWl)

互为反函数.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

©梳理•必备知识

1.对数的概念

如果a，=N(a>0,且aWl)，那么x叫做以。为底N的对数，记作x=logaN,

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

提醒：指数式与对数式的关系

而薮蔽|对数

I

d=NN>0loga/V=6

［底数(a>0且a—1)］

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：

①log“l=Q；②3°g/=N；③iogaab=0(a>0,且"W1).

(2)换底公式：

1'/=震("，c均大于0且不等于1，^>0).

lOgcU

(3)对数的运算性质：

如果a>0,且aWl,M>Q,N>0,那么：

①log“(M/V)=log“M+log“N；

„M

②log“W=log“M—logaN；

③log“M'=GR).

3.对数函数的定义、图象与性质

定义函数y=log“x(a>0且aWl)叫作对数函数

a>\0<«<1

y产1

图象/：I

;/^log产N(i,。)一

。1启,。)7

y=iog#

定义域：(0,+8)

值域：R

当x=l时，y=0,即过定点(1,0)

性质

当OVxVl时，y<0；当OVxVl时，y>0；

当x>1时，y>0当x>1时,y<0

在(0,+8)上为增函数在(0,+8)上为减函数

4.反函数

指数函数且aWl)与对数函数y=log“x(a>0,且aWl)互为反函

数，它们的图象关于直线y=x对称.

［常用结论］

1.换底公式的三个重要结论

(Dl°g/=^；

n

,,

(2)log„„)/j=—log^:

(3)log„Z?-log/,c-log(J=logttJ.

2.对数函数的图象与底数大小的关系

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的

横坐标为相应的底数，故OVcVdVlVaVb.由此我们可

得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

黔激活•必备技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)函数y=log2(x+l)是对数函数.()

⑵lOg^nZlOgK.l)

1~\~x

(3)函数y=hrpt与y=ln(l+元)一ln(l—x)的定义域相同.()

(4)对数函数y=k)g°x(a>0且aWl)的图象过定点(1,0),且过点3,1),

g,—1),函数图象不在第二、三象限.()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)V

二'教材习题衍生

1.(多选)(2020・山东临沂期末)若10°=4/0，=25,则下列结论正确的是

()

A.a+b=2B.b-a=\

C.a/?>8(lg2)2D.b-a>\g6

ACD［由10a=4,1Gz'=25,得a=lg4,b=lg25,则a+b=lg4+lg25=lg100

2525

=2,。一a=lg25-lg4=lg才，又1打>lg6,.•./?一。>电6,.,.必=41g21g5

>41g21g4=8(lg2)2,故选ACD.］

2.已知。=2+，Z?=log2(，c=log£I，则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

D［因为OVaVl,h<0,c=logj.9=log23>l.所以c>a>/?.故选D.］

2J

3.函数y=^log|(2x—1)的定义域是.

1［由10g2(2x—l)20,得0V2X—1W1.

」3

.,.gvxWl.

，函数y=

4.函数y=log«(4—x)+l(a>0,且a#l)的图象恒过点

(3,1)［当4—x=l,即x=3时，y=logj+l=l.

所以函数的图象恒过点(3,1).］

［细研考点-突破题型］重难解惑•直击高考

考点一对数式的化简与求值4例题对讲

畲通性通法对数运算的一般思路

:首先利用零的运算把底数或真数进行变形,

冢］一；化成分数指数嘉的形式，使嘉的底数最简.然

:后利用对数运算性质化简合并

将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运

合算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对

数真数的积、商、暴的运算

①利用换底公式将不同底的对数式转化为同

底的对数式；

转化一②/=NOb=log“N（a>0,且a#1）是解

决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中

应注意互化

（1）设2a=5b=m,且（+《=2,则m等于（）

［典例1］

A.V10B.10

C.20D.100

⑵（多选）下列各式或说法中正确的有（)

A.lg(lg10)=0

B.lg(lne)=0

C.若10=lgx,贝i」x=100

D.若10g25X=g，则尤=±5

（3）（2020•全国卷川）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领

域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺Q的单位：

天)的Logistic模型：/«)=，其中K为最大确诊病例数,当/（「）=0.95K

|_[_e0.23(/-53)

时，标志着已初步遏制疫情，则/约为（In19心3）（）

A.60B.63

C.66D.69

(1)A(2)AB(3)C[(1)由已知，得a=log2机，b=\og5m,

则—+工=\1=log???2+log/z/5=log〃/0=2.

ablog2mlogsma&s

解得〃2=，T6.故选A.

(2)对于A,因为1g10=1,1g1=0,所以lg(lg10)=lg1=0,故A正确；

对于B,因为Ine=l,1g1=0,所以lg(lne)=lg1=0,故B正确；

对于C,因为10=lgx,所以x=l()i°,故C错误：

对于D,因为log25X=g,所以259=%，所以x=5,故D错误.

故选AB.

(3)由题意可得，当/"*)=0.95K时，而各』=0.95K,

•*=e-0.23(-53),AIn19=0.23(f~53),Z.f-53^13,."-66,故

选C」

点评：对数运算中log“h=e是常用的性质之一.

［跟进训练］

1.(2020・全国卷I)设Hog34=2,则4-"=()

11

A•讳B-9

1

C1D

B［法一：因为alog34=2,所以log34"=2,则有4"=32=9,所以4-"=+=

I，故选B.

法二：因为alog34=2,所以一alog34=—2,所以logs，"：一2,所以4一"=

3-2=*=/,故选B.

法三：因为alog34=2,所以?=记匕=1。843,所以号=3,两边同时平方得

4"=9,所以4-。=/="，故选B.］

2.（2019•北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描

述.两颗星的星等与亮度满足W?2—〃21=/lg其中星等为"〃-的星的亮度为Ek(k

=1,2).已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与天狼星的亮

度的比值为()

A.IO10-1B.10.1

C.1g10.1D.1O-10-1

A[由题意知，m\=—26.7,7772=-1.45,代入所给公式得一1.45—(—26.7)

=|lg篙，所以1g[=10.1,

所以善=1()1。」,故选A.]

匕2

□考点二对数函数的图象及其应用《例题对说

畲通性通法

利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调

性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形

结合法求解.

[典例2](1)(多选)若函数2,g(x)=log"|x|,其中。>0,且aWl,则

函数7(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()

(2)当0<%母时，4yogg则a的取值范围是()

A.(0,阴B・停1)

C.(1)的D.(6,2)

(1)AD(2)B[⑴易知g(x)=log小|为偶函数.当OVaVl时，次x)=a「2单

调递减，g(x)=log〃lx^(0,+8)上单调递减，此时A选项符合题意.当a>1时,

段)=优-2单调递增,g(x)=log4|x|在(0,+8)上单调递增，此时D选项符合题意.故

选AD.

(2)构造函数«r)=4'和g(x)=logflX,当a>1时不满足

条件，当OVaVl时，作出两个函数在(0,3上的图象，

1、历

可知,即2Vlog“],则。>方­,所以。的取值

范围为(坐，1).]

[母题变迁]

1.将本例(2)中“4，Vlog“x”变为"4，=lo改无有解”，a的取值范围是

vx

[°'[若方程4=logax在（0,g上有解，则函数y=4与函数y=logd

的图象在(0,3上有交点・

0<a<l,

J2

由图象可知，1解得OVaW彳,即a的取值范围为[o,阴]

log,/2,

2.若将本例(2)变为：当OVxw"时，Gviogd,则实数a的取值范围为

七，1][若GviogaX在xC(0,；上恒成立，则OVa

<1,且y=也的图象在y=log“x图象的下方，如图所示，

由图象知'/"〈log可，

0<a<l,

1

所以彳I1解得左VaVI.

a->4-16

即实数。的取值范围是七，1［.］

［跟进训练］

1.已知函数y=loga（x+c）（a,c为常数，其中a>O,aWl）\,

的图象如图，则下列结论成立的是（）\

A.a>1,c>1—

B.a>l,O<c<l

C.0<a<l,c>l

D.0<«<1,0<C<1

D［由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知OVaVlQVcVl.］

2.已知不等式f—log/VO对xG（O,恒成立，则实数。的取值范围为

诬，1J［由X2—lOgaXVO得/VlogaX,设力（X）=f,力（X）=k>gd,要使

［。，J时，不等式fVlOgaX恒成立，只需力㈤=/在（（J,3）上的图象在及（X）=10g0/

图象的下方即可.当a>l时，显然不成立；

当OVaVl时，如图所示.

要使2在尤(需力（）及（W，

AVlog“xG0,g上恒成立EW

所以有钞Wlog，，解得a2表,

所以JwaVl.

1O

即实数a的取值范围是上，1）.］

□考点三对数函数的性质及其应用«多维探究

考向1比较对数值的大小

畲通性通法比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型解题方法

底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母需对底数进行分类讨论

底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较

底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

[典例3—1](1)已知a=log3,，c=logx|,则a,b,c的大小关

系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

(2)(2019•天津高考)已知a=logs2,Z?=logo,50.2,c=0.502,则〃,b,c的大

小关系为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

2

(3)(2020•全国卷川)设a=log32,Z?=log53,c=y则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

17

(I)D(2)A(3)A[(1)Vc=logi^=log35,log35>logs^>loga3=1,

即c>a>l,又(£|}V[£|°=L

.\c>a>h,故选D.

02

(2)Va=log52Vlogs小=1,Z?=log().50.2>logo.50.5=1,c=0.5=(护>g，

0.50-2<l,：.a<c<b,故选A.

292

(3)V23<32,.,.2<3t,.-.Iog32<log33t=-,：.a<c.

V33>52,.,.3>5^,Iog53>logs5^=^,'.b>c,'.a<c<b,故选A.]

点评：本例T⑴和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化

m

为同底，利用了性质m=\ogaa,本例T⑵主要使用中间量比较大小.

考向2解简单对数不等式

畲通性通法求解对数不等式的两种类型及方法

类型方法

借助y=log〃的单调性求解，如果”的取值不确定，需分a

log“x>log滴

>1与OVaVl两种情况讨论

需先将匕化为以a为底的对数式的形式，再借助y=logd的

10gaX>Z>

单调性求解

3

[典例3—2](1)若log国<1(a>0且aW1),则实数。的取值范围是.

(2)若log。(屋+l)Vlo即2.V0,则a的取值范围是.

(1)(0,机(1,+oo)(2)[；,1][⑴当OVaVl时,logfl1<logaa=l,AO

当a>1时，log,qVlogaa=1,•*-a>1.

二实数a的取值范围是(0,加(1,+8).

(2)由题意得”>0且aWl,故必有序+1>2”，

2

又log6/(«+1)<\oga2a<0,所以OVQVI,

同时2a>1,所以a*.综上，a*,11]

点评：在对数不等式中，真数大于0是隐含条件，不能忘记!

考向3与对数函数有关的复合函数的单调性

畲通性通法

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论

判断对数函数的底数与1的关系，分与OVaVl两种情况

二判判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”

原则判断函数的单调性

[典例3-3](1)(2020.新高考全国卷II)已知函数凡r)=lg(f—4x—5)在(a,

+8)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(一8,-1]B.(—8,2]

C.[2,+°0)D.[5,+8)

(2)设函数/(x)=logj_(4f-4or+3a)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是

3

(1)D(2)[2,4][⑴由f一标一5>0,得xV-l或x>5,即函数式x)的定义

域为(一8,-1)U(5,+8).令/=/一以一5,则/=(%—2)2—9,所以函数1在

(―°°,—1)上单调递减，在(5,十8)上单调递增，又函数)，=]g，在(0,+8)上

单调递增，从而函数/U)的单调递增区间为(5,+8),由题意知(“，+8)三

(5,+8),

."25,故选D.

(2)令/=4/-4ar+3a,由y=logif在(0,+8)是减函数可得1=4x2—4ax

3

+3。在(0,1)上是减函数，且Z>0在(0,1)上恒成立，

又r=4f_4ax+3a=4卜一?)2—/+3a,

：A2解得2WaW4.]

.4—4a+3a20,

点评：已知人X)=R)ga(g(X))在区间在”，〃]上是增函数，对于这类问题，应从

两个方面考虑：一是根据。与1的关系确定g(九)在“，向上的单调性，二是g(x)

>0在xe["2,"]时恒成立，此时只需g(X)min>0即可.

[跟进训练]

02

1.已知a=log27,h=log38,c=0.3,则a,h,c的大小关系为()

A.c〈b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

A[\*a=log27>log24=2,1<b=logs8<loga9=2,C=0.302<1,

：