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文档简介

部温对数与对数函数

[考试要求]

1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对

数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,能作

出底数为2,10,3的对数函数的图象.

3.体会对数函数是一类重要的函数模型.

4.了解指数函数y=a,(a>0,且a#1)与对数函数y=log“x(a>0,且aWl)

互为反函数.

[走进教材•夯实基础]回顾知识•激活技能

©梳理•必备知识

1.对数的概念

如果a,=N(a>0,且aWl),那么x叫做以。为底N的对数,记作x=logaN,

其中。叫做对数的底数,N叫做真数.

提醒:指数式与对数式的关系

而薮蔽|对数

I

d=NN>0loga/V=6

[底数(a>0且a—1)]

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质:

①log“l=Q;②3°g/=N;③iogaab=0(a>0,且"W1).

(2)换底公式:

1'/=震(",c均大于0且不等于1,^>0).

lOgcU

(3)对数的运算性质:

如果a>0,且aWl,M>Q,N>0,那么:

①log“(M/V)=log“M+log“N;

„M

②log“W=log“M—logaN;

③log“M'=GR).

3.对数函数的定义、图象与性质

定义函数y=log“x(a>0且aWl)叫作对数函数

a>\0<«<1

y产1

图象/:I

;/^log产N(i,。)一

。1启,。)7

y=iog#

定义域:(0,+8)

值域:R

当x=l时,y=0,即过定点(1,0)

性质

当OVxVl时,y<0;当OVxVl时,y>0;

当x>1时,y>0当x>1时,y<0

在(0,+8)上为增函数在(0,+8)上为减函数

4.反函数

指数函数且aWl)与对数函数y=log“x(a>0,且aWl)互为反函

数,它们的图象关于直线y=x对称.

[常用结论]

1.换底公式的三个重要结论

(Dl°g/=^;

n

,,

(2)log„„)/j=—log^:

(3)log„Z?-log/,c-log(J=logttJ.

2.对数函数的图象与底数大小的关系

如图,作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的

横坐标为相应的底数,故OVcVdVlVaVb.由此我们可

得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

黔激活•必备技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”,错误的打“X”)

(1)函数y=log2(x+l)是对数函数.()

⑵lOg^nZlOgK.l)

1~\~x

(3)函数y=hrpt与y=ln(l+元)一ln(l—x)的定义域相同.()

(4)对数函数y=k)g°x(a>0且aWl)的图象过定点(1,0),且过点3,1),

g,—1),函数图象不在第二、三象限.()

[答案](1)X(2)X(3)V(4)V

二'教材习题衍生

1.(多选)(2020・山东临沂期末)若10°=4/0,=25,则下列结论正确的是

()

A.a+b=2B.b-a=\

C.a/?>8(lg2)2D.b-a>\g6

ACD[由10a=4,1Gz'=25,得a=lg4,b=lg25,则a+b=lg4+lg25=lg100

2525

=2,。一a=lg25-lg4=lg才,又1打>lg6,.•./?一。>电6,.,.必=41g21g5

>41g21g4=8(lg2)2,故选ACD.]

2.已知。=2+,Z?=log2(,c=log£I,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

D[因为OVaVl,h<0,c=logj.9=log23>l.所以c>a>/?.故选D.]

2J

3.函数y=^log|(2x—1)的定义域是.

1[由10g2(2x—l)20,得0V2X—1W1.

」3

.,.gvxWl.

,函数y=

4.函数y=log«(4—x)+l(a>0,且a#l)的图象恒过点

(3,1)[当4—x=l,即x=3时,y=logj+l=l.

所以函数的图象恒过点(3,1).]

[细研考点-突破题型]重难解惑•直击高考

考点一对数式的化简与求值4例题对讲

畲通性通法对数运算的一般思路

:首先利用零的运算把底数或真数进行变形,

冢]一;化成分数指数嘉的形式,使嘉的底数最简.然

:后利用对数运算性质化简合并

将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运

合算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对

数真数的积、商、暴的运算

①利用换底公式将不同底的对数式转化为同

底的对数式;

转化一②/=NOb=log“N(a>0,且a#1)是解

决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中

应注意互化

(1)设2a=5b=m,且(+《=2,则m等于()

[典例1]

A.V10B.10

C.20D.100

⑵(多选)下列各式或说法中正确的有()

A.lg(lg10)=0

B.lg(lne)=0

C.若10=lgx,贝i」x=100

D.若10g25X=g,则尤=±5

(3)(2020•全国卷川)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领

域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺Q的单位:

天)的Logistic模型:/«)=,其中K为最大确诊病例数,当/(「)=0.95K

|_[_e0.23(/-53)

时,标志着已初步遏制疫情,则/约为(In19心3)()

A.60B.63

C.66D.69

(1)A(2)AB(3)C[(1)由已知,得a=log2机,b=\og5m,

则—+工=\1=log???2+log/z/5=log〃/0=2.

ablog2mlogsma&s

解得〃2=,T6.故选A.

(2)对于A,因为1g10=1,1g1=0,所以lg(lg10)=lg1=0,故A正确;

对于B,因为Ine=l,1g1=0,所以lg(lne)=lg1=0,故B正确;

对于C,因为10=lgx,所以x=l()i°,故C错误:

对于D,因为log25X=g,所以259=%,所以x=5,故D错误.

故选AB.

(3)由题意可得,当/"*)=0.95K时,而各』=0.95K,

•*=e-0.23(-53),AIn19=0.23(f~53),Z.f-53^13,."-66,故

选C」

点评:对数运算中log“h=e是常用的性质之一.

[跟进训练]

1.(2020・全国卷I)设Hog34=2,则4-"=()

11

A•讳B-9

1

C1D

B[法一:因为alog34=2,所以log34"=2,则有4"=32=9,所以4-"=+=

I,故选B.

法二:因为alog34=2,所以一alog34=—2,所以logs,":一2,所以4一"=

3-2=*=/,故选B.

法三:因为alog34=2,所以?=记匕=1。843,所以号=3,两边同时平方得

4"=9,所以4-。=/=",故选B.]

2.(2019•北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描

述.两颗星的星等与亮度满足W?2—〃21=/lg其中星等为"〃-的星的亮度为Ek(k

=1,2).已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与天狼星的亮

度的比值为()

A.IO10-1B.10.1

C.1g10.1D.1O-10-1

A[由题意知,m\=—26.7,7772=-1.45,代入所给公式得一1.45—(—26.7)

=|lg篙,所以1g[=10.1,

所以善=1()1。」,故选A.]

匕2

□考点二对数函数的图象及其应用《例题对说

畲通性通法

利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调

性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形

结合法求解.

[典例2](1)(多选)若函数2,g(x)=log"|x|,其中。>0,且aWl,则

函数7(x),g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是()

(2)当0<%母时,4yogg则a的取值范围是()

A.(0,阴B・停1)

C.(1)的D.(6,2)

(1)AD(2)B[⑴易知g(x)=log小|为偶函数.当OVaVl时,次x)=a「2单

调递减,g(x)=log〃lx^(0,+8)上单调递减,此时A选项符合题意.当a>1时,

段)=优-2单调递增,g(x)=log4|x|在(0,+8)上单调递增,此时D选项符合题意.故

选AD.

(2)构造函数«r)=4'和g(x)=logflX,当a>1时不满足

条件,当OVaVl时,作出两个函数在(0,3上的图象,

1、历

可知,即2Vlog“],则。>方­,所以。的取值

范围为(坐,1).]

[母题变迁]

1.将本例(2)中“4,Vlog“x”变为"4,=lo改无有解”,a的取值范围是

vx

[°'[若方程4=logax在(0,g上有解,则函数y=4与函数y=logd

的图象在(0,3上有交点・

0<a<l,

J2

由图象可知,1解得OVaW彳,即a的取值范围为[o,阴]

log,/2,

2.若将本例(2)变为:当OVxw"时,Gviogd,则实数a的取值范围为

七,1][若GviogaX在xC(0,;上恒成立,则OVa

<1,且y=也的图象在y=log“x图象的下方,如图所示,

由图象知'/"〈log可,

0<a<l,

1

所以彳I1解得左VaVI.

a->4-16

即实数。的取值范围是七,1[.]

[跟进训练]

1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>O,aWl)\,

的图象如图,则下列结论成立的是()\

A.a>1,c>1—

B.a>l,O<c<l

C.0<a<l,c>l

D.0<«<1,0<C<1

D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知OVaVlQVcVl.]

2.已知不等式f—log/VO对xG(O,恒成立,则实数。的取值范围为

诬,1J[由X2—lOgaXVO得/VlogaX,设力(X)=f,力(X)=k>gd,要使

[。,J时,不等式fVlOgaX恒成立,只需力㈤=/在((J,3)上的图象在及(X)=10g0/

图象的下方即可.当a>l时,显然不成立;

当OVaVl时,如图所示.

要使2在尤(需力()及(W,

AVlog“xG0,g上恒成立EW

所以有钞Wlog,,解得a2表,

所以JwaVl.

1O

即实数a的取值范围是上,1).]

□考点三对数函数的性质及其应用«多维探究

考向1比较对数值的大小

畲通性通法比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型解题方法

底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母需对底数进行分类讨论

底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较

底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

[典例3—1](1)已知a=log3,,c=logx|,则a,b,c的大小关

系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

(2)(2019•天津高考)已知a=logs2,Z?=logo,50.2,c=0.502,则〃,b,c的大

小关系为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

2

(3)(2020•全国卷川)设a=log32,Z?=log53,c=y则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

17

(I)D(2)A(3)A[(1)Vc=logi^=log35,log35>logs^>loga3=1,

即c>a>l,又(£|}V[£|°=L

.\c>a>h,故选D.

02

(2)Va=log52Vlogs小=1,Z?=log().50.2>logo.50.5=1,c=0.5=(护>g,

0.50-2<l,:.a<c<b,故选A.

292

(3)V23<32,.,.2<3t,.-.Iog32<log33t=-,:.a<c.

V33>52,.,.3>5^,Iog53>logs5^=^,'.b>c,'.a<c<b,故选A.]

点评:本例T⑴和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小,其中常数化

m

为同底,利用了性质m=\ogaa,本例T⑵主要使用中间量比较大小.

考向2解简单对数不等式

畲通性通法求解对数不等式的两种类型及方法

类型方法

借助y=log〃的单调性求解,如果”的取值不确定,需分a

log“x>log滴

>1与OVaVl两种情况讨论

需先将匕化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logd的

10gaX>Z>

单调性求解

3

[典例3—2](1)若log国<1(a>0且aW1),则实数。的取值范围是.

(2)若log。(屋+l)Vlo即2.V0,则a的取值范围是.

(1)(0,机(1,+oo)(2)[;,1][⑴当OVaVl时,logfl1<logaa=l,AO

当a>1时,log,qVlogaa=1,•*-a>1.

二实数a的取值范围是(0,加(1,+8).

(2)由题意得”>0且aWl,故必有序+1>2”,

2

又log6/(«+1)<\oga2a<0,所以OVQVI,

同时2a>1,所以a*.综上,a*,11]

点评:在对数不等式中,真数大于0是隐含条件,不能忘记!

考向3与对数函数有关的复合函数的单调性

畲通性通法

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

一求求出函数的定义域,所有问题都必须在定义域内讨论

判断对数函数的底数与1的关系,分与OVaVl两种情况

二判判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”

原则判断函数的单调性

[典例3-3](1)(2020.新高考全国卷II)已知函数凡r)=lg(f—4x—5)在(a,

+8)上单调递增,则。的取值范围是()

A.(一8,-1]B.(—8,2]

C.[2,+°0)D.[5,+8)

(2)设函数/(x)=logj_(4f-4or+3a)在(0,1)上是增函数,则a的取值范围是

3

(1)D(2)[2,4][⑴由f一标一5>0,得xV-l或x>5,即函数式x)的定义

域为(一8,-1)U(5,+8).令/=/一以一5,则/=(%—2)2—9,所以函数1在

(―°°,—1)上单调递减,在(5,十8)上单调递增,又函数),=]g,在(0,+8)上

单调递增,从而函数/U)的单调递增区间为(5,+8),由题意知(“,+8)三

(5,+8),

."25,故选D.

(2)令/=4/-4ar+3a,由y=logif在(0,+8)是减函数可得1=4x2—4ax

3

+3。在(0,1)上是减函数,且Z>0在(0,1)上恒成立,

又r=4f_4ax+3a=4卜一?)2—/+3a,

:A2解得2WaW4.]

.4—4a+3a20,

点评:已知人X)=R)ga(g(X))在区间在”,〃]上是增函数,对于这类问题,应从

两个方面考虑:一是根据。与1的关系确定g(九)在“,向上的单调性,二是g(x)

>0在xe["2,"]时恒成立,此时只需g(X)min>0即可.

[跟进训练]

02

1.已知a=log27,h=log38,c=0.3,则a,h,c的大小关系为()

A.c〈b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

A[\*a=log27>log24=2,1<b=logs8<loga9=2,C=0.302<1,

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