高考数学一轮复习举一反三精讲精练-求和方法

6.4求和方法(精讲)(提升版)

通项特征适用与等差数列或等比数列

等差数列前”项和邑=『=叫+竽'

求

和

公

式=1)

等比数列前“项和S“={q(l-g")公比含字母时一定要讨论

求整强an=一士Cn即两类数列相加减

和通奥典JaJ'n为奇数

方

法

1分段「一k”为偶数

Sn=g4-c24-c34-...+cn)±(bj+b2+b34-...+bn)

nn

分

组赦式根据a0、b”通项的特征选择求和的方法

求

和

s2n=(4+b,+b§+…+b2n_J士(c?+c4+c6+...+c2n)

nn

解

B根据C。、bn通项的特征选择求和的方法

思

路如果求S。，n得分类讨论，分奇数还是偶数项

当n为偶数

土

Sn=(b,+b3+b5+...+b,.,)(c2+c4+c6+...+c„)

nft

根据cn、,通项的特征选择求和的方法，注意各自项数为1

当n为奇数

Sn=(b1+b3+b5+...+b.)±(c2+c4+Ce+…+*)

ftft

根据bn、,通项的特征选择求和的方法，

下标为奇数的项数为5L下标为偶数的项数为七口

22

分母可拆成黑数个因式因式相乘

(裂项后通分过程的总结，除了(-1)”把分母的变成"+"

分式.

分子常数=>可裂项

通分母大因式-分母小因式非常数n不可裂项

项

特

征

形如了」一尸=；(而1-6)利用平方差进行有理化

根式di+k+Jnk

11

通项原式=a()u通项裂项

分母小因式分母大因式

前'n项和=a[()+()+()+...+()]=相消后化简

裂

解题思路,^*7、一

项(将n=l、2...n分别代入通项原式的括号巾J

相

消

111

a—_______—_(_)_____

二达nn(n+k)knn+k

函数

(2«)211靖娥是

二次an1+1(2«-12〃+1)通过上

函数(2w-l)(2w+l)面公式

算得

计

常

到

见

模

型―__J

(cn+1+b)(cn+b)=a(cn+bc1^1+b

nn

f_nnpn=(~D+(~D]

(~l)n(kn+b)(kn-b)kn-bkn+b

--------------------------------------------

乘法年数列出速刃_\即一次函数X指数型函数）

潺工教司（即一次函数）

等比数列‘叩指数型函数’

So=+++-.+①

nonn

n=ln=2n=3n=n

代入通项公式，等差数列当等比数列的系数

错

qS=+++._+②

位0

相解题思路在①的基础上左右同时来q,即在①式中指数加1

减

①②得

法

（1q）Sn=!®t^^-^+k（指数函敷相加）-|②的最后一项

=①中的第一项|+k（等比求和公式）-②的最后一项

=化简

两边同时除以（网）即得Sn

_______________________八_______________________

k为指数函数指数相同前面系数差

（1）两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.

注意（2）对相诚后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1顶和当作n顶和.

事项（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，

应分公比q=l和q/1两种情况求解.

一个数列的前n项和中，可两的结合求解，则称之为并孽求和

概念

an=(4)"/(〃)或(/了/(〃)或(4尸/5)

通项特征一

(1)当求和为2n项时即S2n

S2o=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+...+(a2n_I+a2n)

奇=计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法

偶

并

(2)当求和为n项时即Sn,需要分n为奇数还是偶数

项

求⑴当n为偶数时

和

Sn=(a,+a2)+(a3+a4)+(aJ+a4)+...+(an_1+an)

=计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法

(ii)当n为奇数时

SB=(a,+a2)+(a3+a4)+(as+as)+...+(an_2+an4)+an

=计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法

或S°=aI+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+...+(aBl+an)

=计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法

解题思路

考点一公式法考点四分组转化求和

考点二裂项相消求和求和方法考点五周期数列求和

考点三错位相减求和考点六倒序相加求和

例题剖析

考点一公式法求和

[例1](2022•江苏江苏•高三期末)已知数列｛《,｝满足4=3,4=154+2=5。,用-44.

(1)设。=-口，求数列也｝的通项公式;

⑵设c.=10-log2(a„+1),求数列｛同｝的前20项和7M.

【一隅三反】

1.(2022•全国•模拟预测)设数列上，,,｝的前〃项和为5,,且2s“+l=3q,(〃eN)

⑴求S.；

3

(2)证明：当〃22时，2s“+—29.

2.(2022・湖南•一模)已知数列｛%｝的前"项和为S,,,4=3,5“=1+4+…

⑴证明：数列设「1｝为等比数列；

⑵记数歹"!的前〃项和为证明：Tn<\.

3”

3.（2022・广东深圳•一模）已知数列｛4｝的首项4=2,且满足a,m+a“=4x3".

（1）证明：｛%-3"｝是等比数列;

⑵求数列｛叫的前"项和S”.

考点二裂项相消求和

（例2-11（2022•辽宁・鞍山一中模拟预测）已知5.是等差数列｛q｝的前〃项和，%>0,S3=15,

公差d>l,且___________.从①,7为4-1与%+1等比中项，②等比数列帆｝的公比为

q=3,4=卬也=%这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的

数列｛%｝存在并作答.

（1）求数列｛4｝的通项公式：

⑵设数列」一的前〃项和为7.，求证：7；,<1

J6

【例2-2］（2022.广东肇庆.模拟预测）已知数列｛%｝是等比数列，且8/=4，4+%=36.

（1）求数列｛《,｝的通项公式；

⑵设1+1//I），求数列也｝的前〃项和小并证明：北

【例2-3］（2022•广东梅州•二模）已知S”是数列｛《,｝的前”项和，％=1,.

①V〃eN*,4,+。向=4"；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条

件中任选一个补充在横线处，并求解:

⑴求明;

.an+an+,/、

（2）设白=（；J下,求数列出｝的前"项和7；.

【例2-4］（2022•广东茂名•二模）已知数列｛4｝满足4=2,%=8,«„+2=4an+l-3a„.

（1）证明：数列-4｝是等比数歹U;

(-1)”.(2〃2+6/1+5)

⑵若b.=y求数列也｝的前〃项和J

10g；。+%)10g；(1+“n+2

【一隅三反】

1.（2022.广东梅州•二模）已知5.是数列｛%｝的前〃项和，q=l,.

①V〃eN*,《,+”用=4〃；②数列为等差数列，月的前3项和为6.从以上两个条

件中任选一个补充在横线处，并求解:

⑴求明;

⑵设b"=A：’,求数列｛2｝的前〃项和加

2.(2022•全国•模拟预测)已知数列｛4｝(〃eN*)满足为T=-a“+：,4=1.

(1)求｛%｝的通项公式；

4。?一1)・3"7

⑵若b-=2\,求圾｝的前〃项和却

3.(2022・全国•模拟预测)已知正项数列｛《,｝的前〃项和为S“，给出以下三个条件：①％=1,

〃4用=(〃+l)a,+l("GN*)；②“一I=O(〃GN*)；③％=1,

d+2«„=4S„-1(neN)从这三个条件中任选一个解答下面的问题.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

4s

⑵设。=-求数列也｝的前〃项和小

anan+\

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

4.(2022•江苏南通•模拟预测)己知正项数列｛/｝中，q=l,S”是其前〃项和，且满足

S“M=(6>SJ

⑴求数列｛%｝的通项公式：

⑵己知数列｛"｝满足勿=(-1)向,设数列｛6,｝的前〃项和为刀,，求(的最小值.

考点三错位相减求和

【例3】(2022.广东茂名.二模)已知数列｛%｝的前〃项和为5“，且

...将利J1笺妾加利

(1)求证：数列，7;~~#为等差数列；

[2〃

⑵求数列-—4的前〃项和Tn.

3“一1

【一隅三反】

1.(2022•广东广东•一模)设数歹U｛%｝的前〃项和为5„,满足S,,=2%(〃GN*),且a,=2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设bn=a„log,an,求｛4｝的前〃项和T,.

O

2.(2021・浙江•高考真题)已知数列｛%｝的前〃项和为S,,q=-、，且4s“*尸35"-9.

(1)求数列｛%｝的通项；

(2)设数列0｝满足物+(〃-4)a“=0(〃eN*),记｛%｝的前〃项和为7；,若7；4皿对任意

“wN，恒成立，求实数2的取值范围.

3.(2021・全国•高考真题(理))记S”为数列｛〃〃｝的前〃项和，2为数列⑸｝的前〃项积,

21个

已知了+厂2.

(1)证明：数列出｝是等差数列；

(2)求｛可｝的通项公式.

考点四分组转化求和

【例4-1](2022•全国・模拟预测(理))已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，满足

31________1

瓦=口一言•

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列卜1)"(S,-3〃)｝的前〃项和加

【例4-2](2022・山东日照•模拟预测)已知数列｛q｝中，q=l,%=2,an+2^kan(^1),

〃eN,,a2+ait%+%，4+%成等差数列.

(1)求％的值和｛%｝的通项公式；

(2)设〃'；伸粕，求数列出｝的前"项和S,,.

[log2an,"为偶数

【一隅三反】

1.(2022・安徽•高三期末(理))已知数列｛%｝的前〃项和5“=七四,"cN*.

(1)求数列忆,｝的通项公式；

(2)设。=3%+(-1)"-'a„,求数列低｝的前2〃项和.

2.(2022•全国•模拟预测(理))已知数列佃)满足2做用=(〃+l)a,,(〃wN*),且q=l.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若或=冬+(-1)"•〃,求数列出｝的前2n项的和S2n

n

3.(2022•湖南•高三阶段练习)已知数列｛%｝中，4=1,4Al+i=2",令2=%”.

⑴求数列｛2｝的通项公式；

〃为奇数

⑵若c=■,求数列｛%｝的前列项和.

n2

，〃为偶数

JlOg*,+J10g",”2

考点五周期数列

【例5】（2022.江西赣州•一模）设正项数列｛%｝的前"项和为S”，已知2S,,="+

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）记2=q；cos誓，刀,是数列也｝的前”项和，求凡.

【一隅三反】

1.（2022•江苏•高三专题练习）已知数列｛4｝的通项公式。尸而亍，neM,其前”项和

为S”'则1^2020=------

2.（2022.全国•高三专题练习（理））数列｛叫的通项公式为4=1+〃2sin春，前”项和为S”,

则Sioo=•

考点六倒序相加法

【例6】（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=x+3sin（x-£|+；,数列｛q｝满足

""=木'则/⑷+"4）+…+/（.8）=（）

A.2018B.2019C.4036D.4038

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知函数f（x）=（x-+1,则

，焉■扁+…M露+，制的值为＜）

A.1B.2C.2020D.2021

2.(2022•全国•高三专题练习)已知=是R上的奇函数,

曰+•••+/（一）

+/(l)(neN*),则数列｛%｝的通项公式为()

2

A.an=nB.an=2nC.an=/?4-1D.an=n-2〃+3

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数"x)=x+3sin(x-£)+3,则

22018

）

201920192019

A.2018B.2019

C.4036D.4038

6.4求和方法(精讲)(提升版)

通项特征适用与等差数列或等比数列

等……和3『=叫+铝，

,叫(g=i)

等比数列前"项和S"=«4(l-g")g力］)公比含字母时一定要•讨论

求整式an=bn土Cn即两类数列相加减

和

方通项特征Lan为奇数

法［分段」1clin为偶数

sn=(ct+c2+c3+™+cn)±(b!+b2+b3+„.+bn)

ftn

分

组技式根据a、b通项的特征选择求和的方法

求nn

和

®2>=(b］+b§+bg+—+02n-l)土(。2+q+。6+…+C?n)

ftft

解

题根据C”、bn通项的特征选择求和的方法

思

路

如果求S。，n得分类讨论，分奇数还是偶数项

当n为偶数

Sn=(bI+b3+b5+...+bB1)±(c2+c4+c6+...+ca)

nft

根据cn、，通项的特征选择求和的方法，注意各自项数为g

当n为奇数

S„=(b,+b3+b5+...+b,)+(c2+c4+c6+...+*)

ftft

根据bn、<:„通项的特征选择求和的方法，

下标为奇数的项数为四■,下标为偶数的项数为"

分母可拆成偶数个因式因式相乘

(裂项后通分过程的总结，除了(-1)"把分母的"'变成'+'[)

分式一

分子f常数n可裂项

a=----------------------=<

通分母大因式-分母小因式[非常数A不可裂项

项

特

征

形如亍「~r=；(7iT+k-石)利用平方差进行有理化

根式Vn+k+Vnk

通项原式=a(-分--母---小--因---式---分--母---大--因---式--,)u通项裂项

、前n项和=a[()+()+()+...H)]=相消后化简

裂解题思路A/一一

项'，将n=l、2.一n分别代入通项原式的括号中])

相

消

a—11fA__1

二盗nn(n+k)knn+k

函数________________________

南睡是

过

上

2〃+l)通

公

式

面

算

得

计

M常

到

U见

I模

型-------------------=a(-------------------)

(c^1+b)(cn+b)cn+bc^+b

pn=(-l)n+(-l)n

(-l)n(kn+b)(kn-b)kn-bkn+b

©

-.+

++

+

S=

n

ftft

itn

mi

3

n=

n=2

n=l

数

的系

数列

等比

列当

差数

，等

公式

通项

错代入

②

.„+

++

+

qS=

位n

相

1

教加

中指

①式

,即在

乘q

同时

左右

础上

的基

在①

思路

解题

上

减

得

法①②

项

后一

的最

）一|②

相加

函数

指数

］k（

一项

中的第

„=|①

（1q）S

项

后一

的最

）-②

公式

求和

（等比

阂+k

的第一