创新方案届高三数学一轮复习 专家讲坛 六招破解函数最值及数形结合求类参数问题课件 新人教A

六招破解函数最值及数形结合求3类参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：第一招：配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．

[例1]

已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解]

y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.[点评]

利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．第二招：换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2]

设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值____．答案：－3

[点评]

在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量a∈R，这是由条件a，b∈R得到的．第三招：均值不等式法[答案]

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[点评]利用均值不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验均值不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造均值不等式．第四招：函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4]已知垮函数f(x)＝xlnx，则罩函数f(x)在[t，t＋2]板(t>0惊)上的腊最小爽值为__私__挽__求__．[点评]本题际是函薄数在宾不定叔区间波上的融最值粪问题史，因吩此区位间的支位置础要全始部考润虑到刃，不棉要遗刚漏．第五袍招：播导数父法导数雁法求轨解函协数最角值就抽是利寺用导很数研侄究函稳数的浆单调炉性，飞从而谎确定京函数蔬最值剧的方盆法，旧这也昂是高顶中数宇学中奖求解遍最值炮的重宜要方盐法．镇利用线导数庙求解层函数算最值够的基子本步很骤是颜：[例5]已知f(x)＝xlnx．若线对一迟切x∈(膛0，＋封∞)，2f(x)＋x2－ax＋3≥习0恒成雁立，糕求实监数a的取疼值范贴围．[点评]导数着法求摊解函盟数最幕值的终实质湖是利勒用函乏数的蒙单调刊性确徐定最传值．句应该窗注意枣三个推问题姐：一匠是函突数定梳义域贯，函感数与坛其导厉函数方的定浮义域祝可能漠不一地致，副所以用在利至用导波函数锁判断震函数热单调恼性时晕要注校意函征数定晋义域都；二陡是准你确求嫩导；况三是竞要注熔意极捉值与竭最值蹲的区纱别，讲即必手须把努函数睬在区烘间上帽的极锅值点联与函沈数在裂区间嗽的端血点值遵进行罚比较渠，才沉能确催定最琴值．第六沸招：抬数形慕结合舞法数形今结合山法就雁是根礼据函执数图谱象的丧直观锻性直乓接确缺定函榨数最猫值，灶或者缺根据虎函数免解析梳式的读特征嚼利用证数与寸形的袄对应渐，通号过构白造图规形将既其转子化为净几何千中的默有关摇最值焦求解韵．其并基本六步骤薪是：如图洒所示教，显菌然有||PA|－|PB||胖<|AB|＝1，即畏函数f(x)的值额域为(－1,超1)．(2戴)如图声所示气，画球出函卡数F(x)的图采象，烫由图度形，慰可知遗当x＝0时，F(x)取得雹最小吐值，乎此时F(x)＝x2－1，故勇最小赴值为煤－1.[答案](1僻)(－1,坟1)(2薪)1[点评]用数筋形结唤合法娘求解普函数逆最值驼，其冷实质累就是脸利用器函数尼图象章或借批助几沸何图活形求祥解函扶数最误值，屿关键旷在于骡把握稍函数比解析肥式的供结构海特征兔，常石见的尽转化季有两糟种：敲一是怜分段蚀函数铅类型史通常梳利用滨函数各图象劳解决告；二轮是利倦用数房诚与形辈的对权应，让将函填数最员值转邻化为魄几何灰最值孙求解谢，通塔常是与利用捉函数沉解析要式的鄙几何爪意义戒，如奖利用忠直线藏的斜庆率、垃动点票到定蜓点的荒距离薯等．努在求侧解过酷程中燥正确监作出许函数秘图象顿或者呆准确诵利用洲代数禽式的锻几何政意义塌，用商几何振知识淘直接唉确定狮最值泡是关挑键．二、浅巧用酸数形黑结合负，妙粱解3类求芒参问哥题数形父结合恋是根引据数豆量与纤图形律之间秤的对谦应法汤则，玩通过券数与默形的呈互相枕转化射来解罢决问径题的圆一种闭重要眼思想亿方法鲜．通傅过“春以形刘助数牢，以晓数辅签形”丛把复劝杂问没题简低单化老，抽扮象问妈题具爹体化劣，充揉分利跳用形熊的直搏观性币和数漂的严系谨性另来思涉考问唐题，熟拓展岔了思妖路，久这就新是数走形结咽合的丑核心边价值傲．下面乌就三污类求谱参问筹题，绸谈谈阶数形得结合绣思想次的应证用．类一望：通笋过基缘瑞本函桥数模惕型及葛变式丘的图煌象求疤参数炕的取葡值范福围或怖值[答案](1努0,纵12远)[点评]通过婶图形取可以范发现a，b，c所在司的区掏间，机再把壤绝对礼值符殖号去寻掉，室就能宫发现ab＝1，这奖样利纷用数乐形结饮合就瓜可把重问题旁化难漠为易眼了．类二绸：通棒过函灰数的狠零点臭与方胖程的加解的直相互现关系欣求函连数零贿点和缴方程纽奉的解障及参也数的惕范围[例2]已知m∈R，函枪数f(x)＝x2＋2(m2＋1)x＋7，g(x)＝－(2m2－m＋2)x＋m.(1扭)设函英数p(x)＝f(x)＋g(x)．如救果p(x)＝0在区鹅间(1睁,5良)内有岛解但晓无重满根，碗求实势数m的取验值范平围；(2许)由题离意，酒得当x≥0时，h(x)＝x2＋2(m2＋1)x＋7，h(x)在区觉间[0，＋匀∞)上单持调递脖增；当x<0时，h(x)＝－(2m2－m＋2)x＋m，h(x)在区假间(－∞披，0)上单冒调递兰减．记A＝{h(x)|x≥0锡}，B＝{h(x)|x<0往}，则A＝[7，＋绵∞)，B＝(m，＋腰∞)．(ⅰ雨)当a>0时，端如图(1彩)知，块由于h(x)在(0，＋垂∞)上是姿增函徐数，案若存践在非雨零实水数b(b≠a)，使镇得h(a)＝h(b)，则b<0，且A⊆B，即m≤7；(ⅱ刻)当a<0时，厅如图(2慢)知，库由于h(x)在(－∞坚，0)上是炎减函浊数，般若存玻在非惊零实产数b(b≠a)，使暑得h(a)＝h(b)，则b>0，且B⊆A，即m≥7尘.综合(ⅰ斑)(罚ⅱ)，知焰