任意角和弧度制

任意角和弧度制

问题：在实际问题中还会遇到其他角．角的定义

角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.始边终边AOBα顶点

角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？

1.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、转体900度就是一个角的概念.

角的形成结果2.

在实际问题中还会遇到其他角．①体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．②钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角不全是0o～360o范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的.我们必须将角的概念进行推广.

任意角在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的角是否相等？知识探究（一）：角的概念的推广

思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？

规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到任意大小.βB2γAB1αO思考3：对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？

画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.思考4：钟表经过4小时，时针与分针各转

(填度).

思考5：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？

－120°，450°.

－120°，-1440°.知识探究（二）：象限角

思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

xoy如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo

那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限(位置)，不能反映角的大小.思考2：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？

思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo探究三：终边相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°xyo328°思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？思考3：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？

x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.例1判别下列各角是第几象限的角。(1)4050(2)4880(3)8400(4)-1200

(1)4050=3600+450

而450是第一象限角，所以4050是第一象限角解：(2)4880=3600+1280

而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角(3)8400=2×3600+1200

而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角(4)-1200=-3600+2400

而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角例2在0°～360°内找出与下列各角终边相同的角(1)9000(2)-500(3)4250(4)-6700

(1)9000=2×3600+1800

所以9000的角与1800角终边相同解：(2)-500=-3600+3100

所以-500的角与3100角终边相同(3)4250=3600+650

所以4250的角与650角终边相同(4)-6700=-2×3600+500

所以-6700的角与500角终边相同练习：判别下列各角是第几象限的角。(1)4180(2)-1150(3)10220(4)-6000

探究四：弧度制一）问题的提出

1、度量角的方法——度分秒制把圆周角分为360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.

当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长L弧长与半径的比值当n=300时练习:当n=600时呢?可以计算弧长L=3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.称这个常数为该角的弧度数.能否用弧长来定义角的大小呢?二)1弧度角的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。单位符号是rad,读作弧度弧度把角度单位与长度单位统一起来.三）弧度数1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad的角.2、任意一个00~3600的角的弧度数必然适合不等式0≤x<2π.3、任一正角的弧度数都是一个正实数；任一负角的弧度数都是一个负实数；零角的弧度数是0.

弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢?角的集合正角零角负角4、用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集R正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数四）角度制与弧度制的换算

用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．

若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，

因此

1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？度因为

解：例1用弧度制表示下列各角。(1)800(2)-15030′

角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．把化成度．例2解：角度

弧度

练习：写出一些特殊角的弧度数

弧长公式和扇形面积公式(角用弧度).解：例3已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；小结1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

2.度与弧度的换算