常微分方程.解的存在唯一性定理

§2.2解的存在唯一性定理和

逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/

概念和定义存在唯一性定理内容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod本节要求/Requirements/掌握逐步逼近方法的本思想深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念与定义/ConceptandDefinition/1.一阶方程的初值问题(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希兹条件

函数称为在矩形域:…………(3.1.5)关于y

满足利普希兹(Lipschitz)条件，如果存在常数L>0使得不等式对所有都成立。L

称为利普希兹常数。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod二、存在唯一性定理

定理1如果f(x,y)

在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解定义在区间,且满足初始条件这里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明需要证明五个命题：

命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程

命题2构造一个连续的逐步逼近序列

命题3证明此逐步逼近序列一致收敛

命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解

命题5证明唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的证明命题1

设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6)的定义于上的连续解。证明:微分方程的初值问题的解满足积分方程（）。积分方程（）的连续解是微分方程的初值问题的解。§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod证明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod反之踪蝶，如石果是(3捞.1强.6裤)的连爬续解浴，则姨有：……谜…(3躺.1萄.8吐)微分锣之，黄得到:又把代入(3而.1叼.8胶)，得皂到:因此贩，是方劈燕程(3卖.1每.1愤)定义冰于上，膀且满抖足初久始条戒件(3询.1下.2神)的解坟。命题1证毕.同理畅，可瞎证在也成垦立。§2.利2勺Exi拳st据en毒ce扑&蛾U洞ni员qu巩en敞es俩s庸Th房诚eo恳re犁m蒜&斯Pr视og扬re润ss柿iv盆e犬Me血th帝od现在聚取，构隐造皮众卡逐霜步逼嘉近函喜数序舅列如顾下:§2.结2Exi贺st赏en迈ce倍&响U斗ni钱qu涌en绸es牢s棒Th应eo品re俯m爆&届Pr寸og出re性ss碗iv盏e嘴Me苗th挑odxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§2.轨2藏Exi涉st寻en展ce降&垫U郑ni砖qu裤en疾es洗s美Th余eo宗re坑m吊&哨Pr传og韵re曾ss裁iv发e世Me踏th恒od命题2对于秧所有丘的(3陶.1沿.9效)中函心数在上有吸定义蹄、连绕续，货即满傍足不恼等式:证拘明:（只宣在正吨半区糊间来沫证明你，另捆半区偿间的梅证明喜类似岛）当n=1时,§2.垃2厌Exi仰st容en科ce粮&脚U时ni雕qu照en址es纵s着Th耕eo群re惹m秃&家Pr冻og朵re贴ss拴iv废e乎Me籍th盐od即命嗽题2当n=1时成画立。现在漏用数胆学归景纳法纱证明列对于染任何屡正整暖数n，命幕题2都成盆立。即登当n=尾k时，在也就目是满针足不社等式在上有飞定义,连续上有跟定义黑，连寒续，而当n=主k+1时，上有锤定义肚，连槐续。在§2.叨2敢Exi蚂st恋en价ce奥&架U从ni挠qu港en佣es多s扁Th赶eo与re收m塞&振Pr竞og脱re波ss熄iv炭e绍Me荐th劫od即命竖题２赴在n=弃k＋１岁时也成瘦立。由数女学归斥纳法假得知辨命题愁２对塘于所有n均成毙立。命题拢３在上是耳一致绝收敛酷的。命题绩２证利毕函数熊序列考虑汤级数:它的该部分缴和为棕：§2.伞2云Exi子st牧en科ce砌&围U讲ni揭qu患en超es障s灶Th栋eo怜re贷m价&已Pr鼠og俘re努ss奏iv像e亮Me馒th惯od为此粒，进毛行如熊下的敞估计宫，由坡逐步娇逼近絮序列(3敲.1特.9扁)有:§2.祥2Exi蜘st辟en取ce锹&神U须ni魄qu包en海es丈s纽奉Th孔eo剪re钉m丸&训Pr勺og棍re熔ss预iv印e祥Me滩th浅od设对蜡于正舞整数n,不等吉式成立袋，于是只，由剖数学懒归纳协法得枯到：继对于针所有误的正染整数k，有湖如下始的估放计:§2.称2扰Exi铲st必en艺ce斑&累U捏ni馆qu拍en忆es押s搅Th末eo肯re两m腹&柏Pr杠og触re雅ss清iv心e距Me萍th猜od由此初可知景，当时(3掉.1嘴.1金4)的右哥端是双正项归收敛镇级数的一狭般项敏，由维温尔斯秩特拉鬼斯(W汽ei哲er砍st旷ra丢ss足)判别砌法(简称吧维氏来判别雕法),级数(3丛.1纪.1羊1)在上一咱致收容敛,因而故序列也在上一凶致收营敛。命题3证毕§2.铲2鸦Exi柏st局en索ce现&通U既ni芝qu闹en磁es倡s逮Th绩eo骄re观m冲&匹Pr趣og桑re降ss点iv粉e班Me狮th跟od则也在又可桨知现设上连方续，惭且由(3壤.1可.1深0)命题4是积挥分方时程(3恶.1扰.6忘)的定划义于证彼明:由利直普希件兹条围件以及在上一追致收超敛于上的咽连续软解。§2.成2但Exi伙st隐en汗ce序&解U抵ni钱qu辽en腐es娃s雾Th便eo划re尼m世&答Pr婆og煎re可ss摆iv眯e园Me宜th胀od因而景，对(3但.1烦.9裁)两边废取极惊限,得到:即即知神序列在一致红收敛这就补是说,是积质分方序程(3障.1刚.1宇6)的定芹义于上的泻连续绘解。命题4证毕§2.膊2嚼Exi鼓st滑en亚ce占&够U龄ni宽qu资en诱es瓜s背Th集eo博re从m机&橡Pr圆og泉re术ss粱iv权e站Me乳th隔od命题5也是票积分储方程(3先.1弓.6查)的定作义于上的靠一个玻连续摆解,则证明若首先漂证明也是颤序列的一疲致收池敛极邪限函很数。为此客，从进行庸如下脖的估脾计§2.匪2唐Exi千st秩en格ce丛&冬U逝ni殊qu宾en寨es滔s挺Th晚eo培re净m予&化Pr寨og匹re蔑ss戚iv广e借Me仁th屠od现设则有§2.土2Exi出st滚en偷ce市&仪U备ni畅qu使en昨es辣s扎Th风eo在re绢m美&题Pr椅og轨re狱ss行iv钩e聪Me卸th妻od有故由送数学故归纳龟法得术知对服于所俗有的穴正整远数n，有聪下面撕的估谱计式§2.泡2之Exi尽st童en庄ce咬&穴U裙ni非qu突en膛es鲜s子Th国eo择re护m争&脸Pr投og伙re辰ss舍iv出e虫Me泉th处od因此目，在上有:是收早敛级氏数的颂公项,故时因而在上一转致收穴敛于根据透极限垦的唯却一性把，即得:命题5证毕综合辈命题1-乒5，即灵得到丘存在焰唯一忙性定抽理的话证明邀。§2.喘2弃Exi摘st蹲en参ce毒&乞U弟ni缺qu际en荒es垄s骆Th甩eo户re纸m很&咐Pr扰og付re弯ss总iv情e渐Me惑th讨od例求初槽值问棒题孕的第样三次邻近似筛解。§2.宵2者Exi德st搬en宅ce胞&参U怎ni矮qu筛en误es学s钳Th潜eo折re殖m绿&溉Pr易og陶re唯ss飞iv羽e专Me失th暗od附玩注/R抚em冶ar迷k/1）如竞果在R上存在绸且连百续,则f(x,毫y)在R上关跳于y满足鼓利普孝希兹挤条件迹，反翼之不舅成立定。证在R上连批续，戒则在R上有平界，煌记为L由中锹值定璃理故f(凳x,你y)在R上关帆于y满足枣利普乔希兹载条件沙。§2.恋2僚Exi宇st蝴en岸ce务&燃U态ni稠qu私en导es北s端Th叫eo舅re把m予&冻Pr饲og衫re距ss模iv衫e敏Me皇th买od这条延件是脑充分歪条件常，而查非必肠要条漏件。例1R为中贪心在凤原点半的矩垒形域但故f(x,络y)在R上关鱼于y满足孩利普弱希兹乓条件童。在R上存在抹且有判界f(抹x,约y)在R上关闭于y满足赖利普叉希兹被条件浑。在R上存在振且无拖界f(寇x,恭y)在R上关向于y不满贫足利甩普希闸兹条股件。§2.告2鹅Exi译st敞en答ce蚁&浅U波ni扬qu呜en禽es倚s偏Th狂eo影re灯m菊&抗Pr扎og万re牺ss哈iv晓e确Me唐th灭od2)定理1中的僚两个窄条件肚是保职证Ca眉uc全hy鞋P存在唯一恼的充莫分条牲件，显而非催必要乡丰条件鹊。例2当连虹续条沟件不柴满足闷时，去解也壤可能核存在约唯一风。f(遵x,驶y)在以贪原点姓为中封心的结矩形踢域中洗不连绿续，振但解彼存在置唯一§2.芳2驻Exi陡st谱en欠ce廉&时U笛ni缺qu晚en穷es枕s弹Th乏eo堪re涂m桌&华Pr坚og戒re烫ss渣iv仿e篮Me克th协od例3当Li钓ps洪ci拐tz条件伙不满晓足时烧，解米也可细能存必在唯邀一。f(运x,米y)在(x,0)的任穿何邻范域内惑不满打足Li鱼ps鸟ci缠tz条件鼓，但训解存臣在唯桶一不可芹能有乖界§2.隔2社Exi棕st坑en荐ce甩&北U驱ni激qu踪蝶en纠es揪s僚Th堪eo奸re萝m慌&谎Pr腿og扒re昼ss腾iv听e袄Me尸th钱odxy§2.题2也Exi珠st赖en遥ce扮&趋U恩ni弊qu描en浸es破s馋Th撤eo济re斜m拔&纠Pr恒og馋re波ss绍iv赌e茎Me知th植od

例4

设方程(3.1)为线性方程则当P(x),Q(x)

在区间上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在。3）若f(x,旗y)在带顷域惑中旗连续旷，且对y满足Li彼ps妥ch联it趟z条件饱，则卧在整定个区君间中存寇在唯壮一满反足条徐件判的薪方程的解畅。记§2.竿2司Exi文st奴en纳ce抓&留U饱ni月qu滔en浩es废s谈Th吃eo是re历m士&慨Pr慢og仗re浑ss真iv拉e支Me菊th返od4)一阶煤隐式传方程激的解伍的存侄在唯戚一性定理2如果在点的某一邻域中，对所有的变元连续，且存在连续的偏导数；则上述初值问题的解在的某一邻域存在。§2.笨2刘Exi来st皮en值ce庭&拌U体ni芽qu根en作es鲜s谷Th圾eo摩re夜m御&院Pr黄og威re极ss优iv龄e速Me肃th主od事实迹上，征由条卖件知敌所确差定的唉隐函絮数在豆邻想域内央存在权且连惰续，扛且在浑邻葵域内闲连续冰，在描以为中念心的国某一弊闭矩但形区语域D中有悄界，跳所以f(裳x,龙y)在D中关美于y满足Li丑ps兄ch垒it末z条件印。由解只的存桑在唯街一性伟定理密，的解y(尼x)存在刷唯一场，存在治区间勒中的h可足植够小卫。同馆时，俊有§2.张2咐Exi踩st佣en泥ce殿&却U搜ni扬qu睬en岁es咐s欠Th夜eo俊re梅m薯&焦Pr拦og姨r