二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。(1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。据此可以确定字母的取值范围。(2)判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。(3)形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。(4)根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：(1)双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。（主要用于字母的求值）(2)回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。（主要用于二次根式的计算）$\begin{cases}\sqrt{a}(a\geq0)\\-\sqrt{a}(a\leq0)\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：(1)若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0。若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。应用与书写规范：$\becauseA+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\thereforeA=0$，$B=0$，$C=0$。该性质常与配方法结合求字母的值。(2)$\begin{cases}A-B(A\geqB)\\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）(3)$AB=\begin{cases}A\cdotB(A>0)\\-A\cdotB(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简：可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的。(4)$AB^2=A^2\cdotB$，其中$B\geq0$。该结论主要用于二次根式的计算。例1.式子$\frac{1}{x-1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是_________。分析：本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，注意分母不能为0。解：由二次根式有意义的条件可知：$x-1>0$，$\thereforex>1$。例2.若$x,y$为实数，并且$y=x-1+\frac{\sqrt{y}-1}{\sqrt{y}+2}$，化简。分析：本题考查二次根式有意义的条件，且有重要结论：若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。解：$\becausex-1\geq0$，$1-x\geq0$，$\thereforex\geq1$，$x\leq1$，$\thereforex=1$。$\thereforey=x-1+\frac{\sqrt{y}-1}{\sqrt{y}+2}=1-1+\frac{\sqrt{y}-1}{\sqrt{y}+2}=\frac{\sqrt{y}-1}{\sqrt{y}+2}$。或18（C）16或18（D）24或16解:∵x4y8∴xy12设等腰三角形的底边为x,两腰为y∵等腰三角形的底边为x,两腰为y∴y4y8x∴2yx12∴周长为2yxx24又因为xy12∴y6x∴周长为x242x24x由x4y8可得xy12∴y12x∴周长为2yx24故选【D】.习题7.当x=-1/18时,9x+1+1取得最小值,这个最小值为-5/2.习题8.已知y=(x^2-4)/(x-2),则xy的值为x-2.习题9.已知非零实数a,b满足a^2-8a+16+b-3+(a-5)(b^2+1)+4=a,求ab^-1的值.提示:由(a-5)(b^2+1)>=0,且b^2+1>0可得:a-5>=-b^2-1,∴a>=5.例6.计算:(1)36/25;(2)2x+3;(3)(2/3)^2-32x+3=-32x+9/9=-32x+1.分析:本题考查二次根式的性质:a^2=a|a|.该性质主要用于二次根式的计算.例7.化简:(1)5;(2)-10/7;(3)x-3(x<3).分析:本题考查二次根式的性质:a(a≥0)=a;a(a<0)=-a.该性质主要用于二次根式的化简.例8.当x≥3时,化简:x+5+(x-3)/(x-2)^2+(1-x)^2.分析:本题需要挖掘题目本身的隐含条件:x-3的被开方数x-3为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:x-3≥0,∴x≥3.∴x+5+(x-3)/(x-2)^2+(1-x)^2=x+5+(x-3)/(x-2)+x^2-2x+1=2x+2+(x-3)/(x-2).例9.化简:(x-3+√(x-2))/(x-2)^2.分析:本题需要挖掘题目本身的隐含条件:x-3的被开方数x-3为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:x-3≥0,∴x≥3.∴(x-3+√(x-2))/(x-2)^2=(x-3+√(x-2))/(x-2)(x-2)=(x-3)/(x-2)^2+1/√(x-2).例10.已知0<a<1,化简a+(1-a)/(1+a).解:由0<a<1可知,1+a>0,∴a+(1-a)/(1+a)=a(1+a)/(1+a)+(1-a)/(1+a)=2a/(1+a).1.给定的数学公式没有格式错误。2.删除了明显有问题的段落。3.改写后的文章：例11：已知直线$y=(m-3)x+n-2$（$m,n$是常数），如图（1），化简$m-n-n^2-4n+4-m-1$。解：由函数$y=(m-3)x+n-2$的图像可知：$m-3>0,n-2<0$。因此，$m>3,n<2$。于是，$$m-n-n^2-4n+4-m-1=m-n-(n-2)^2-(m-1)=m-n-2+n-(m-1)=-1$$例12：已知$a,b,c$在数轴上的位置如图（2）所示，化简$\frac{a-c}{(a+c)^2+(c-a)^2-b^2}$。解：由数轴可知：$c<a<b$。因此，$a+c<b+c$。于是，$$\frac{a-c}{(a+c)^2+(c-a)^2-b^2}=\frac{-a-a+c+c-b}{(a+c)^2+(c-a)^2-b^2}=\frac{a-b}{a^2-b^2}$$习题10：要使$(x-2)^2=\left(\frac{x-2}{x-2}\right)^2$，$x$的取值范围是$\{x\midx\neq2\}$。习题11：若$a^2+a=0$，则$a$的取值范围是$\{0,-1\}$。习题12：计算$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$，得到$\frac{1}{4}$。习题13：计算$\frac{1}{2}-\frac{-1}{2}$，得到$1$。习题14：若$(x-3)^2=x-3$成立，则$x$的取值范围是$\{0,1,3\}$。习题15：正确的等式是$\sqrt{3^2}=3$。习题16：正确的等式是（A）$\frac{1}{2}=-\frac{1}{-2}$。习题17：计算$(-3)^3=-27$。习题18：化简$\frac{(-x)^2+x^2}{1-b^2}=\frac{2x^2}{1-b^2}$。习题19：若$a^2-3a+1+b^2+2b+1=0$，则$a^2+2a+3=0$，因此$a=-1$或$a=-2$。代入原方程可得$b=-1$或$b=-2$。因此，$(a,b)=(-1,-1),(-1,-2),(-2,-1),(-2,-2)$。习题20：已知$-1<a<1$，化简$\frac{a+1}{a}-4+\frac{a-1}{a}+4=\frac{8}{a}$。解：化简得到$\frac{8}{a}$。习题21：实数$a,b,c$在数轴上对应的点如图（3）所示，化简代数式：$$\frac{a-b}{a-c}+\frac{b-c}{b-a}+\frac{c-a}{c-b}=\frac{a-b}{a-c}-\frac{b-a}{a-c}+\frac{b-c}{b-a}-\frac{c-b}{b-a}+\frac{c-a}{c-b}-\frac{a-c}{c-b}=0$$习题22.化简：$4x^2-4x+1-\dfrac{1}{2x-3}$解析：首先化简分式，得到$\dfrac{-2}{2x-3}$，然后将原式改写为$4x^2-4x+1+\dfrac{2}{3-2x}$。接下来，我们需要将$\sqrt{a-(2x-3)^2}$中的$a-(2x-3)^2$移到根号内，根据二次根式的定义，$a-(2x-3)^2\geq0$，即$a\geq(2x-3)^2$。因此，$\sqrt{a-(2x-3)^2}=\sqrt{(a-(2x-3)^2)\cdot1}=\sqrt{a-(2x-3)^2+\dfrac{(2x-3)^2}{a-(2x-3)^2}}$。将这个式子代入原式，得到$4x^2-4x+1+\dfrac{2}{3-2x}\cdot\sqrt{a-(2x-3)^2+\dfrac{(2x-3)^2}{a-(2x-3)^2}}$。我们无法进一步化简，因为我们并不知道$a$的具体值。习题23.化简：$(2-a)\sqrt{1+\dfrac{1}{a-2}}$解析：首先，根据二次根式的定义，$a>2$，否则分母会出现负数。将$\sqrt{1+\dfrac{1}{a-2}}$中的分母移到根号内，得到$\sqrt{\dfrac{a-1}{a-2}}$。将这个式子代入原式，得到$(2-a)\cdot\sqrt{\dfrac{a-1}{a-2}}$。这个式子已经化简到最简形式。习题24.计算：$\dfrac{1}{3}\times27=\dfrac{27}{3}=9$解析：这是一道简单的乘除法运算。习题25.已知$m=\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\cdot(-2-\sqrt{21})$，求$m$的取值范围。解析：首先，我们将分式$\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$化简，得到$\dfrac{(3-\sqrt{5})^2}{4}=\dfrac{14-6\sqrt{5}}{4}=3.5-1.5\sqrt{5}$。将这个式子代入$m$的表达式中，得到$m=(3.5-1.5\sqrt{5})\cdot(-2-\sqrt{21})=-7-3.5\sqrt{5}+3\sqrt{21}+1.5\sqrt{105}$。由于$\sqrt{5}$和$\sqrt{21}$都是无理数，因此我们无法将$m$化为一个整数或分数。因此，$m$的取值范围是$m\in\mathbb{R}$，即$m$为任意实数。习题26的化简结果为2。二次根式除法公式为：$\frac{a\sqrt{m}}{b\sqrt{m}}=\frac{a}{b}$，其中$a\geq0$，$b>0$。这个公式用于二次根式的计算和化简，也可以逆用。最简二次根式指被开方数中不含有完全平方数或分母或小数的二次根式。分母有理化是指将分母中的根号去掉的过程，可以通过分数或分式的性质实现。在化简二次根式时，可以省略某些计算或化简的环节以简化计算。例17中，第一部分计算结果为3，第二部分计算结果为2，第三部分计算结果为$-2x$。例18中，第一部分化简结果为$\frac{\sqrt{630}}{6}$，第二部分化简结果为$\frac{221}{555}$，第三部分化简结果为$(a-3)a^2$。例19中，根据二次根式除法公式逆用成立的条件，可得出$x>2$。例20中，第一部分计算结果为$\frac{1}{2}$，第二部分计算结果为$\frac{3}{4}$，第三部分计算结果为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。习题27.正确答案为（A）12=23。习题28.计算结果为27。习题29.计算结果为23x3。习题30.交点坐标为(13,0)。习题31.正确的是①和③，填序号为1,3。习题32.化简结果为ab2。习题33.（1）计算结果为-2；（2）计算结果为-2。习题34.计算结果为-3/4。习题35.计算结果为(x-1)/(x+1)。习题36.最简二次根式为√(3x-1)。例23.观察下列各式：$$\frac{11-2}{1+2}=\left(\frac{1+2}{1-2}\right)=2-1;$$$$\frac{1}{2+3}=\left(\frac{2-3}{2+\sqrt{3^2-3}}\right)=3-2;$$$$\frac{3+4}{3-4}=\left(\frac{3+4}{3-4}\right)=4-3;$$$$\vdots$$（1）利用上述规律直接计算$\frac{1}{99+100}$的结果；（2）用含$n$（$n$为正整数）的代数式表示上述规律，并证明。分析：本题考查分母有理化。解：（1）$$\frac{1}{99+100}=\frac{1}{199}=\left(\frac{100-99}{100+99}\right)=\frac{1}{100}-\frac{1}{99}=\frac{10}{990}-\frac{11}{990}=-\frac{1}{990}.$$（注意：原式的结果为负数）（2）设$a_n=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}$，则有：$$a_n=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=-\frac{1}{n+1}.$$因此，原式可以表示为：$$\frac{1}{99+100}+\frac{1}{98+99}+\cdots+\frac{1}{2+3}=\sum_{n=1}^{98}a_n=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=-\frac{1}{100}.$$习题37.化简：七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同，那么它们是同类二次根式。同类二次根式的判断方法：（1）先化简二次根式；（2）看被开方数是否相同；（3）定结果：若相同，则它们是同类二次根式；若不相同，则不是。同类二次根式的合并方法：几个同类二次根式相加减，将它们的系数相加减，二次根式保持不变。八、二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再合并同类二次根式。二次根式加减运算的步骤：（1）化简参与运算的二次根式；（2）合并同类二次根式；（3）检查结果。例24.计算：（1）$8+18+12$；（2）$27-12+45$。解：（1）原式$=22+32+23=5\sqrt{2}+2\sqrt{3}$；（2）原式$=33-23+35=8$。注意：不是同类二次根式不能合并。例25.计算：$\sqrt{\frac{25}{2}}+3\sqrt{2}-\sqrt{18}