图论的几种算法

图论算法数值计算搜索法、最速下降……规划方法单纯型法、匈牙利算法……非数值运算搜索法、图论算法、组合优化……现代优化方法遗传算法、蚁群算法、神经网络……算法分析哥尼斯堡七桥问题从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点DABC一、图的一般理论1、起源ABCD建模：点——陆地岛屿边——桥一个图G由一个顶点集V和一个边的集E组成。E中每个元素e是连接顶点集V中两个顶点u和v的边。例:图G=<V，E>:

点集V={v1,v2,...,vn}

边集E={e1,e2,...,em}其中ek=vivj图G=<V，E>:其中V={v1,v2,v3,v4,v5}E={e1,e2,e3,e4}e1=v1v2,e2=v2v4,e3=v1v4,e4=v5v2e1v1v2v3v4v5e2e3e42、定义图的图形表示例联接点的位置,边的长度×v1v2v3v4v5e1e2e3e4比较:同构G1G2G3123434213412v1v2v3v4v5e2e3e4例（1）邻接矩阵(点点)3、矩阵表示v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8例（2）关联矩阵(点边)v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8例4、连通性邻接长2通路:长3长n-1连通矩阵v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8l01.m二、最短路问题1、单源最短路问题——Dijkstra

赋权图G

从点v0到其余结点的通路——权和最小Dijkstra算法思想按路径长度递增顺序求最短路径算法两个集合：S已求得最短路径的结点、V-S未确定

每一步：将S与V-S之间最短路经终点加入S存储G：带权邻接矩阵每点标记(dj,pj)：至j点最短路径的长度、前一点Di驼jk竟st梯ra算法忙流程赋初辰值：w，各点伍与源牺点之遮间：肌已求S＝{v0},最短脆长度d=赛w(垦v0,:厦)、前山一点p=激v0u=第v0更新d、p：若d(坚i)福>d料(u朵)柜+w竟(u童,i磁)，则d(翼i)忌=d侄(u连)缘瑞+w模(u练,i锄)，p(喜i)踏=u寻找v：V-例S中使d(骑i)最小孟的v：S＝S{v竭},敬u老=庄v若V-虹S，重魄复2，否则类：结阿束v0vud(土v)d(闪u)w(算u,初v)[d扭is织ta确nc徒e,妈pa箱th仿,p凳at四hw燥ay资]=雁d芬ij美ks收tr会a(肆v0追,w宇)最短捧路的雪长度复、前迈点、般路径午源点泥带湖权邻威接矩城阵说明愿：Ma械tl迁ab程序汉：di桑jk晃st弯ra恨.mwh铸il映e薯k<爸nfo似r甩i=效1:规nif孕d洒is沃ta木nc送e(霸i)抽>d诊is诸ta恰nc秩e(准u)援+w润(u窝,i编)di马st结an纺ce么(i楼)=哄di叠st步an巷ce趁(u安)+折w(蛾u,归i)浊;pa春th机(i歇)=科u;en降den谋d（求v*谊:V川-S中最智小距涂离点娃）k=去k+著1;s(音k)滑=v疫;u=护s(屋k)客;en裳d%赋初芹值s=败v0央;寸%已求蜜得最境短路醋径的聪结点di姨st哄an委ce册=w饰(v竭0,慎:)亮;pa脏th尾=v倡0*路on怪es斑(1朝,n姨);u=逢s(稿1)呢;k=叹1;县%s长di拾jk辜st幅ra肃.m求v*登:V粗-S中最涌小距任离点%求路算径%V坟-S中距勾离d=塔di恨st沫an帝ce颈;fo蛙r往i=阀1:壳nfo幼r救j=侍1:蕉kif筑i窑==呀s(坦j)d(亲i)饱=i魄nf寸;br搏ea挨ken汗den讯den的d%V肯-S中最窄小距欢离[d吧mi训n,庄v]荣=m她in差(d刑);pa戴th谱wa傻y=虫ze鞭ro皇s(油n)杜;pa沙th句wa盘y(侦1:兰n,票1:佛2)阁=[青v0讽*o狮ne纺s(径n,芝1)里,(育1:衫n)年']担;fo港r毯i=四1:命nq=嘉i;wh造il财e由pa袄th围(q自)~摧=v笛0pa梁th运wa怜y(醒i,侍2:御n)油=[亡pa尾th世(q睬),转pa甜th麻wa胃y(化i,开2:场(n晨-1江))着];q=伙pa筹th钥(q览);en还den村d例v1v2v3v4v5869157103OKl0倦2.职m带权卫邻接狭矩阵Fl举oy足d算法产思想带权未邻接通矩阵——两点卖之间插入肆顶点——缩短宪距离挑：构城造出若个矩团阵D(1重)、D(2劫)、…、D(n电-1录)最后企得到章距离龄矩阵——最短偶路径影．递推们公式2、每坛对顶慎点之净间的衔最短桨路——阴Fl版oy妙d带权邻接矩阵例：12345678910

11413627235411322矩阵两点极之间侨：砖插入余顶点12345678910

114136272354113221—衬—5通过1点于是1—制—5通过2点于是按1、2…毕…会不胆会错亦过一而些点仅？Ma君tl傻ab程序鸣：fl撕oy扎d.m%设初皱值D=阶w;pa秀th策=z腐er饥os症(n遍);fo这r蹦i=核1:霜nfo恶r姓j=昂1:炊nif镜D循(i非,j发)~殖=i会nfpa睬th防(i晓,j槽)=县j;en吊den踢den松dfl鼻oy质d.m%迭代炮，更唯新D及pa窃thfo责r览k=骨1:秃nfo身r绞i=畜1:亿nfo剂r代j=壳1:齐nif拨D炕(i佛,k侨)+紧D(慈k,条j)续<D段(i返,j趟)D(株i,积j)镜=D拨(i扮,k云)+搜D(景k,论j)撤;pa袭th券(i庙,j哪)=吓pa败th斩(i福,k讲);en窑den棋den贪den型d[D推,p宾at修h]昨=f滴lo娘yd因(w惹)最短缩慧路的偏长度棚、后丘点撕带骄权邻略接矩曲阵例OKl0扰3.屑m得到宰：最短忘路、暑后点路径欧？12345678910

11413627235411322求路局径fu托nc偷ti斑on缸p粪at乔hw漏ay冷=r跌oa筒d(乞pa矛th野,v拦1,颜v2池)%求路挂径：fl框oy耐d的后狱续指扛令pa钱th祖wa僻y=从v1修;q玩=v悄1;喊k=午1;wh载il伤e孔pa香th怜(q飘,v奥2)摊~=赔v2k=锈k+酷1;pa脸th谋wa矮y(童k)虚=p恭at鸦h(渣q,纷v2扯);q=上pa顺th转(q怖,v扛2)蛇;en愚dpa纤th漏wa妖y(笨k+援1)亏=v虎2;ro厌ad繁.ml0迅3.翼m函数——灶v1与v2之间路径普起点乔辅助盲点殖循蒸环变偶量起鹅点循环猫：q至v2后点迟不是v2循环单变量改增加——为纪株录路径灵增加事点辅助肉点为捐新点到终喉点v2结束路径尤终点v2三、恰树无回纯路的页连通微图:其树旋根,乓树凡叶,揉树望枝例：方法：避圈法最小滥生成源树12486223v1v2v3v4v5v612622v1v2v3v4v5v612862v1v2v3v4v5v6最短恢路径扫生成晶树Kr捎us吧ka若l算法——避圈背法开始察：G中的委边均牙为白视色在白唐色边枣中，录挑选枝一条完权最的小的美边，估使其锹与红匙色边绿不形挡成圈始，将擦该白山色边急涂红伞；重复陵：直惕到有n-躬1条红巧色边魂，这n-泼1条红怨色边涨便构袍成最番小生接成树T的边碰集合注：脏如何躲加边弯判断兰不形湿成圈柜？判断呢两端涨点是笛否属技于同距一子宫树子树寺：用剂最小西标号默点纪胜录最小珍生成盐树纪录沸两端扒点与时边权Ma水tl追ab程序戒：Kr富us匹ka颠l.找mn=英si镇ze祥(w出,1榜);%求点出边矩糠阵k=丙1;fo淘r竖i=尝1:鄙(n彻-1共)fo饺r妇j=耕(i庸+1搬):督nif销w机(i左,j壤)~伍=i树nfb(揭:,魔k)飞=[屡i;溜j;羡w(赞i,渗j)偷];k=豆k+捆1;en灵den累den庄dm=森si棚ze谷(b微,2茶);[b问,I东]=腐so架rt拌ro滤ws溜(b贷',搂3)糕,b鼓=b何'排序kr艳us秆ka祸l.散m树权和所在厚子树抬的最小亚标号嚷点进入享最小仇树的边法数fo违r瞎i=悄1:铲mif侦t欧(b星(1砍,i后))估~=浆t(肌b(吩2,年i)嘱)T(盗1:桐2,竟k)旬=b孤(1族:2羽,i反);c=蛙c+盈b(挣3,努i)服;tm岁in仍=m要in角(t鸽(b猴(1衫,i铅))保,t钱(b皇(2嚼,i捆))音);tm弟ax偷=m虽ax慰(t直(b胳(1尤,i得))芽,t茶(b拆(2诸,i换))缝);fo雨r惊j=棚1:贯nif添t型(j近)=裤=t炉ma缺xt(柱j)烧=t病mi替n;en歉den造dk=阶k+付1;en装dif董k止==牧nbr洁ea针k;en偏den促dT=狡[]病;c=夫0;t=立1:栗n;k=夹1;更新帅子树的最订小标裹号点赋初座值不在打同一尚子树例v1v2v3v4v5869157103OKl0凝4.鄙m带权叙邻接大矩阵结果T捡=1原4哄2斥24杯5户3与5c社=1贤7Eu忠le碌r图存在跨一条荒通过骂所有滨边一帝次的是路线等的图写：遍外历边Th若图G为欧懒拉图G连通,且所涌有结讨点度停数(以此请点为幅端点群的边诱的个知数)均为会偶数中国嚼邮路症问题——遍历蠢边——路最括短带权轮图——权和溪最小算法愉：Fl众eu辱ryHa篮mi绣lt灯on图存在炼通过贫每结色点一卵次的挺路线赖的图歇：遍帮历点——国际胃难题旅行璃商问顺题——遍历点——路最筛短→疲权和鸽最小父的回灭路算法树：改良怎圈算野法四、饶其他二分计图匹配找问题算法州：匈州牙利园算法网络济流最大导流算法斯：Fo赛rd僚-F各ul雁ke匙rs含on标号仪算法着色甜图点、姜边、酸面算法伴：著名商算法饺：di拖jk起st肺ra四fl耍oy衣d应用略：建留模竞鼻赛98朵B灾情春巡视何路线07熄B公交袄线路说明练习洪水著排险求区饿域间著的邻族接矩全阵区域1至区浓域20长度魄不超克过5的路妹径有列多少累条是否衣任两姐区域雕通过佩长度扒不超座过5的路屯径均术可达熟到练习某街怠道如氧图画出环A点票到各册顶点捷的最纺短道均路（茎最短锈路经吵生成吸树）☆