人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减教案

人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减教案

教学内容：二次根式的加减教学目标：知识与技能目标：学生理解和掌握二次根式加减的方法。过程与方法目标：教师先提出问题，分析问题，渗透对二次根式进行加减的方法的理解。然后总结经验，用它来指导根式的计算和化简。情感与价值目标：通过本节的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力。重难点关键：1.重点：二次根式化简为最简根式。2.难点关键：判定是否是最简二次根式。教法：1.引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识。这充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。2.讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。学法：1.类比的方法：通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的学习策略。2.阅读的方法：让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。3.分组讨论法：将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。4.练习法：采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。媒体设计：PPT课件，展台。课时安排：1课时。教学过程：一、复习引入学生活动：计算下列各式。（1）2x+3x；（2）2x-3x+5x；（3）x+2x+3y；（4）3a-2a+a教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。同类项合并就是字母不变，系数相加减。二、探索新知学生活动：计算下列各式。（1）√2+√3；（2）√2-√3+√5（3）√7+2√7+3√7；（4）3√3-2√3+√2老师点评：（1）如果我们把2看作x，不就转化为上面的问题吗？√2+√3=(√2+√3)=(√2+√3)(√2+√3)=2+2√6+3=5+2√6（2）把8看作y；√2-√3+√5=(√2-√3+√5)=(√2-√3+√5)(√2-√3+√5)=2-2√6+3+2√10-3√6-5=-1-√6+2√10（3）把7看作z；√7+2√7+3√7=（1+2+3）√7=6√7（4）3看作x，2看作y．3√3-2√3+√2=(3-2)√3+√2=√3+√2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如√2和√8表面上看是不相同的，但它们可以合并。二次根式的加减运算当二次根式进行加减运算时，需要先将不是最简二次根式的项化为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式进行合并。例如，计算8+18，可以先将它们化为最简二次根式，即8=2√2，18=3√2，然后将它们合并，得到22√2。再例如，计算16x+64x，可以先将它们化为最简二次根式，即16x=4√x，64x=8√x，然后将它们合并，得到12√x。需要注意的是，合并二次根式时，只有被开方数相同的二次根式才能合并。例如，√2+√3和2√2+3√3就不能合并。练习题1.计算348-9^(1/3)+312，化简结果。解：首先，将9^(1/3)化为最简二次根式，即9^(1/3)=√3。然后，将348和312合并，得到660。最后，将-√3和660合并，得到(660-√3)。2.已知4x+y-4x-6y+10=0，求(22/1+y^2/x^3)-(x^2/x*x^3y)的值。解：首先，将已知等式进行变形，得到2x-1+y-3=0，即x=1/2，y=3。然后，将(22/1+y^2/x^3)-(x^2/x*x^3y)化为最简二次根式，得到(2/x^3+y^2)-(x^2/3xy)。将x=1/2，y=3代入得到(2/(1/8)+9)-(1/3)=17/3。答案：17/3。练习题中没有格式错误和明显有问题的段落，因此不需要删除和改写。教师可以通过提问复习上一节课的内容，引入本节课的主题。例如：上一节课我们学习了二次根式的化简和乘除法，今天我们将学习二次根式的加减法，并运用它解决实际问题。二、二次根式的加减法则教师可以通过例题演示，让学生理解二次根式的加减法则。例如：例1：化简$\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}$。解：根据二次根式的加减法则，同类项相加减，不同项相加减得到：$\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}=0$例2：化简$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}$。解：首先将二次根式化简成被开方数相同的最简二次根式，得到：$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}$$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}$三、利用二次根式化简的数学思想解应用题教师可以通过例题演示，让学生掌握如何利用二次根式化简的数学思想解应用题。例如：例3：已知$5\approx2.236$，求$(80-1)(\frac{3}{39}-\frac{5}{55}-\frac{5}{y+33x})$的值，精确到$0.01$。解：首先将$(80-1)$化简成$79$，然后将$\frac{3}{39}-\frac{5}{55}-\frac{5}{y+33x}$化简成最简形式，得到：$\frac{3}{39}-\frac{5}{55}-\frac{5}{y+33x}=\frac{1}{13}-\frac{1}{11}-\frac{5}{y+33x}$然后将$y=3,x=9$代入，得到：$\frac{1}{13}-\frac{1}{11}-\frac{5}{y+33x}=\frac{1}{13}-\frac{1}{11}-\frac{5}{3+33\times9}$$=\frac{1}{13}-\frac{1}{11}-\frac{5}{300}=\frac{1}{13}-\frac{1}{11}-\frac{1}{60}$$=\frac{60\times44-60\times52-13\times11}{13\times11\times60}=-\frac{5}{858}$最后将$79\times(-\frac{5}{858})$计算得到$-0.45$，精确到$0.01$。四、小结练习教师可以通过小结练习，让学生巩固所学知识。例如：小结：将$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}$化简成最简形式。练习：将$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}$化简成最简形式。解：同二次根式的加减法则例2，化简得到$\sqrt{3}$。上节课，我们已经学习了二次根式的加减问题，可以归纳为两个步骤：第一步，将二次根式化简为最简形式；第二步，将具有相同被开方数的二次根式合并。下面我们将通过三个例题来巩固这些知识。例1.在直角三角形ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动。问：多少秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）解：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，则有PB=x，BQ=2x。根据三角形面积公式，可以求出x的值。依题意，得：x·2x=352x²=35x²=35/2x²=17.5因此，x=√(17.5)PQ=PB+BQ=2√(17.5)答：多少秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为2√(17.5)厘米。例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？解：由勾股定理，得AB=√(AD²+BD²)=√(4²+2²)=√(20)=2√(5)BC=√(BD²+CD²)=√(2²+1²)=√(5)所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2√(5)+√(5)+5+2=7+3√(5)≈13.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材。例3.若最简根式3a-b/4a+3b与根式2ab²-b³+6b²是同类二次根式，求a、b的值。（同类二次根式是指被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化为最简形式后，被开方数相同。由于根式2ab²-b³+6b²不是最简二次根式，因此将其化简为|b|·2a-b+6，才能使用同类二次根式的定义，得到3a-b/4a+3b=2和2a-b+6=4a+3b。解：首先将根式2ab²-b³+6b²化为最简形式：2ab²-b³+6b²=b(2a-1+6)=|b|·2a-b+6由题意得：3a-b/4a+3b=22a-b+6=4a+3b解得：a=1，b=1归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题。五、布置作业一、选择题1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）。（结果用最简二次根式）A.5√2B.5√3C.5D.以上都不对2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米。（结果同最简二次根式表示）A.13√10B.13√2C.10√13D.5√13二、填空题21.某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m²，鱼塘的宽是_______m。（结果用最简二次根式）答：20√22.已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周长是________。（结果用最简二次根式）答：4+2√2三、综合提高题1.若最简二次根式3m²-2与n-14m²-10是同类二次根式，求m、n的值。答：m=±2，n=±32.同学们，我们以前学过完全平方公式a±2ab+b=（a±b），你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如2√2=（2），5=（5），你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：2√2=（2-1）=2-2×1×2+1=2-2+1=1反之，1=2-2+1=（2-1）∴1=（2-1）求：（1）3+2√2；（2）4+2√3；（3）你会算4-√2吗？（4）若a±2b=m±n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由。答案：（1）3+2√2=（2+√2）+1；（2）4+2√3=（√3+1）²；（3）4-√2=（2-√2）²-2；（4）m=a±b，n=a±2b。因为m±n=(a±b)±(a±2b)=2a±3b，所以m、n与a、b的关系是：m=a±b，n=a±2b。本节课将学习含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。学习目标包括知识与技能目标、过程与方法目标和情感与价值目标。重点是二次根式的乘除、乘方等运算规律，难点关键是由整式运算知识迁移到含二次根式的运算。教学方法包括引导发现法和讲练结合法，学习方法包括类比的方法、阅读的方法、分组讨论法和练习法。本节课采用PPT课件和展台进行教学，共1个课时。在复习引入环节，老师让学生完成一些计算题，主要是对八年级上册整式运算的再现。这些内容包括单项式×单项式、单项式×多项式、多项式÷单项式、完全平方公式和平方差公式的运用。在探索新知环节，老师引导学生思考，如果把整式运算中的x、y、z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立呢？答案是仍成立。因为整式中的x、y、z是一种字母，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以整式中的运算规律也适用于二次根式。例1中的计算题也是基于这个原理展开的。教学过程中，老师采用引导发现法和讲练结合法，让学生通过观察、类比、阅读、分组讨论和练习等方法，体验学习活动中的交流与合作，提高学生的素质。同时，采用PPT课件和展台进行教学，使学生更加直观地理解和掌握知识。本文没有格式错误，但是有明显的排版问题，需要重新排版。同时，文章中的一些符号需要修改，例如“×”应该改为“*”，“÷”应该改为“/”等。重新排版后：一、知识点概述本节课主要介绍了二次根式的运算规律，包括加、减、乘、除、乘方等运算。同时，还介绍了如何应用这些规律进行计算和化简。二、例题演练例1.计算：(6+8)*3(46-32)/22分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，因此可以直接用整式的运算规律进行计算。解：(6+8)*3=6*3+8*3=18+24=32(46-32)/22=46/22-32/22=23/11-16/11=7/11例2.计算：(5+6)*(3-5)(10+7)*(10-7)分析：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立。解：(5+6)*(3-5)=35-(5*6)+18-6*5*2=13-30=-17(10+7)*(10-7)=10^2-7^2=69三、应用拓展例3.已知：(x-b)/(x-a)=2-(ab)其中a、b是实数，且a+b≠0，化简(x+1-x)/(x+1+x-x)+(x+1+x)/(x+1-x-x)并求值。分析：由于(x+1+x)*(x+1-x)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可。(x+1-x)^2*(x+1+x)^2解：原式=(x+1-x)/(x+1+x-x)+(x+1+x)/(x+1-x-x)=(2x+1)/(2)+(2x+1)/(2x)=(2x^2+x+2x+1)/(2x)=(2x^2+3x+1)/(2x)∵(x-b)/(x-a)=2-(ab)∴b*(x-b)=2ab-a*(x-a)∴bx-b=2ab-ax+a∴(a+b)*x=a+2ab+b∴(a+b)*x=(a+b)∵a+b≠0∴x=(a+b)∴原式=(2(a+b)^2+3(a+b)+1)/(2(a+b))=(2a^2+7ab+2b^2+3a+3b)/(2(a+b))四、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算。五、选择填空题1.(24-3*5^(1/2))/(3*5^(1/2))*2的值是（）。A.20-3*5^(1/2)；B.330-2*3^(1/2)；C.230-2*3^(1/2)；D.20+3*5^(1/2)2.计算(x+x-1)*(x-x+1)的值是（）。A.2；B.3；C.4；D.1填空题1.(-(3^(1/2)+1))/(2^(1/2)-1)的计算结果（用最简根式表示）是________。2.(1-2*3^(1/2))*(1+2*3^(1/2))-(2*3^(1/2)-1)的计算结果（用最简二次根式表示）是_______。3.若x=2-3^(1/2)，则x+2/x+1=________。4.已知a=3+2*3^(1/2)，b=3-2*3^(1/2)，则a*b-a/b=_________。三、综合提高题1.化简5+7/(3+2^(1/2))的值。2.已知x*y=1，求(x+1/x)*(y+1/y)的值。3.已知x=2