福建省福州市梅埔学校2022年高三数学理上学期期末试题含解析

福建省福州市梅埔学校2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略3.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为（）A．

B．1

C．

D．2参考答案：B4.下列命题错误的是

（

）A.

命题“若则”的逆否命题为“若则”B.

若为假命题，则均为假命题C.

命题存在使得，则任意都有D.“x>2”是“”的充分不必要条件参考答案：B5.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.设，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于(

) A．2 B．2 C．4 D．8参考答案：B考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答： 解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．8.已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（

）（A）向右平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向左平移个长度单位

参考答案：A9.已知，则向量的夹角为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.下列函数中，满足“f（xy）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=﹣x3 C．f（x）=logx D．f（x）=3﹣x参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【专题】构造法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可知，对数函数符合条件，f（xy）=f（x）+f（y），再给出证明，最后根据函数的单调性确定选项．【解答】解：对数函数符合条件f（xy）=f（x）+f（y），证明如下：设f（x）=logax，其中，x＞0，a＞0且a≠1，则f（xy）=logaxy=logax+logay=f（x）+f（y），即对数函数f（x）=logax，符合条件f（xy）=f（x）+f（y），同时，f（x）单调递减，则a∈（0，1），综合以上分析，对数函数f（x）=符合题意，故答案为：C．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数的运算和函数模型的确定，以及对数的运算性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为8时，则其输出的结果是

。参考答案：答案：212.在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是_________．参考答案：略13.在约束条件下，则的最小值是_________参考答案：略14.已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是______．参考答案：【分析】由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题15.正数a，b，c满足，则的取值范围是______.参考答案：【分析】构造空间向量，，利用得到结论.【详解】令z=，则，又，记，，则，又，∴，即.【点睛】本题考查了三维向量坐标的运算，考查了的应用，考查了分析问题、转化问题的能力，属于发散思维的综合性问题.16.已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列．（1）当0＜x≤1时，f（x）=

．（2）若该数列的前n项的和为Sn，则S10=

．参考答案：（1）2x﹣2．（2）S10=45．

考点：数列的求和；函数零点的判定定理．专题：等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x﹣1在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序为0，1，2，3，4，…，n+1．方程g（x）=f（x）﹣x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答： 解：当x≤0时，g（x）=f（x）﹣x+1=x，故a1=0当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1≤0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣1+1=2x﹣2，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣1，故a2=1；当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣2+1=2x﹣3，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣2，故a3=2；当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣3+1=2x﹣4，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣3，故a4=3；…以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=n+1．故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列．故S10==45故答案分别为：2x﹣2，45．点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、函数图象的交点、“分类讨论”方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是

．参考答案：1，a＞1【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点.（I）写出圆的直角坐标方程；（II）求的值．参考答案：（I）圆的极坐标方程为，所以

转化成直角坐标方程为

即………4分（II）由点的极坐标得直角坐标将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程得设为方程的两个根，则所以=.………………10分19.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ），得切线斜率为

--------------2分据题设，，所以，故有

---------------------------------3分所以切线方程为即

-------------------------4分（Ⅱ）当时，由于，所以，可知函数在定义区间上单调递增--------------------------------------------------------------6分当时，，若，则，可知当时，有，函数在定义区间上单调递增----------------------------------8分若，则，可得当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。综上，当时，函数的单调递增区间是定义区间；当时，函数的单调增区间为，减区间为

--------------------------------------10分（Ⅲ）当时，考查，不合题意，舍；当时，由（Ⅱ）知。故只需，即

-----------------------11分令，则不等式为，且。构造函数，则，知函数在区间上单调递增。因为，所以当时，，这说明不等式的解为，即得。综上，实数的取值范围是

--------------------------------------14分20.（12分）已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)求四棱锥P－ABCD的体积；（Ⅱ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;参考答案：解析：(Ⅰ)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.--------------------------------2分∴----------------------------6分（Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------7分证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC-----------9分又∵∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE-------12分21