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福建省福州市梅埔学校2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知的三边长成公差为的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形的周长是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:D2.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:D略3.已知是虚数单位,复数是纯虚数,则实数x的值为()A.

B.1

C.

D.2参考答案:B4.下列命题错误的是

)A.

命题“若则”的逆否命题为“若则”B.

若为假命题,则均为假命题C.

命题存在使得,则任意都有D.“x>2”是“”的充分不必要条件参考答案:B5.已知集合,,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案:B6.设,,则的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案:D略7.若复数z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则|a+2i|等于(

) A.2 B.2 C.4 D.8参考答案:B考点:复数求模;复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.专题:计算题.分析:先将z计算化简成代数形式,根据纯虚数的概念求出a,再代入|a+2i|计算即可.解答: 解:z==.根据纯虚数的概念得出∴a=2.∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B.点评:本题考查了复数代数形式的混合运算,纯虚数的概念、复数的模.考查的均为复数中基本的运算与概念.8.已知函数(其中)的部分图象如右图所示,为了得到的图象,则只需将的图象(

)(A)向右平移个长度单位

(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位

(D)向左平移个长度单位

参考答案:A9.已知,则向量的夹角为

A.

B.

C.

D.参考答案:A略10.下列函数中,满足“f(xy)=f(x)+f(y)”的单调递减函数是()A.f(x)=lnx B.f(x)=﹣x3 C.f(x)=logx D.f(x)=3﹣x参考答案:C【考点】抽象函数及其应用.【专题】构造法;函数的性质及应用.【分析】根据条件可知,对数函数符合条件,f(xy)=f(x)+f(y),再给出证明,最后根据函数的单调性确定选项.【解答】解:对数函数符合条件f(xy)=f(x)+f(y),证明如下:设f(x)=logax,其中,x>0,a>0且a≠1,则f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y),即对数函数f(x)=logax,符合条件f(xy)=f(x)+f(y),同时,f(x)单调递减,则a∈(0,1),综合以上分析,对数函数f(x)=符合题意,故答案为:C.【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,涉及抽象函数的运算和函数模型的确定,以及对数的运算性质,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面是一个算法的程序框图,当输入的值为8时,则其输出的结果是

。参考答案:答案:212.在直角三角形ABC中,AB=4,AC=2,M是斜边BC的中点,则向量在向量方向上的投影是_________.参考答案:略13.在约束条件下,则的最小值是_________参考答案:略14.已知函数,则当函数恰有两个不同的零点时,实数a的取值范围是______.参考答案:【分析】由题方程恰有两个不同的实数根,得与有2个交点,利用数形结合得a的不等式求解即可【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根,所以与有2个交点,因为表示直线的斜率,当时,,设切点坐标为,,所以切线方程为,而切线过原点,所以,,,所以直线的斜率为,直线与平行,所以直线的斜率为,所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点,考查数形结合思想,考查切线方程,准确转化题意是关键,是中档题,注意临界位置的开闭,是易错题15.正数a,b,c满足,则的取值范围是______.参考答案:【分析】构造空间向量,,利用得到结论.【详解】令z=,则,又,记,,则,又,∴,即.【点睛】本题考查了三维向量坐标的运算,考查了的应用,考查了分析问题、转化问题的能力,属于发散思维的综合性问题.16.已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列.(1)当0<x≤1时,f(x)=

.(2)若该数列的前n项的和为Sn,则S10=

.参考答案:(1)2x﹣2.(2)S10=45.

考点:数列的求和;函数零点的判定定理.专题:等差数列与等比数列.分析:函数y=f(x)与y=x﹣1在(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交点依次为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),…,(n+1,n+1).即函数g(x)=f(x)﹣x+1的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,4,…,n+1.方程g(x)=f(x)﹣x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0,1,2,3,4,…,可得数列通项公式.解答: 解:当x≤0时,g(x)=f(x)﹣x+1=x,故a1=0当0<x≤1时,有﹣1<x﹣1≤0,则f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣1+1=2x﹣2,g(x)=f(x)﹣x+1=x﹣1,故a2=1;当1<x≤2时,有0<x﹣1≤1,则f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣2+1=2x﹣3,g(x)=f(x)﹣x+1=x﹣2,故a3=2;当2<x≤3时,有1<x﹣1≤2,则f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣3+1=2x﹣4,g(x)=f(x)﹣x+1=x﹣3,故a4=3;…以此类推,当n<x≤n+1(其中n∈N)时,则f(x)=n+1.故数列的前n项构成一个以0为首项,以1为公差的等差数列.故S10==45故答案分别为:2x﹣2,45.点评:本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、函数图象的交点、“分类讨论”方法、数形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实根个数记为f(t).若g(x)=lnx,则f(t)=;若g(x)=(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是

.参考答案:1,a>1【考点】分段函数的应用.【分析】若g(x)=lnx,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1,若g(x)=(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则x>0时,函数的最大值大于2,且对称轴位于y轴右侧,解得答案.【解答】解:若g(x)=lnx,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1,g(x)=,当t≤0时,f(t)=1恒成立,若存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则x>0时,函数的最大值大于2,且对称轴位于y轴右侧,即,解得:a>1,故答案为:1,a>1三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),点的极坐标为,设直线与圆交于点.(I)写出圆的直角坐标方程;(II)求的值.参考答案:(I)圆的极坐标方程为,所以

转化成直角坐标方程为

即………4分(II)由点的极坐标得直角坐标将直线的参数方程(为参数)代入圆的直角坐标方程得设为方程的两个根,则所以=.………………10分19.(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程;(Ⅱ)讨论函数的单调区间;(Ⅲ)若对于任意的,都有,求实数的取值范围.参考答案:解:(Ⅰ),得切线斜率为

--------------2分据题设,,所以,故有

---------------------------------3分所以切线方程为即

-------------------------4分(Ⅱ)当时,由于,所以,可知函数在定义区间上单调递增--------------------------------------------------------------6分当时,,若,则,可知当时,有,函数在定义区间上单调递增----------------------------------8分若,则,可得当时,;当时,.所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减。综上,当时,函数的单调递增区间是定义区间;当时,函数的单调增区间为,减区间为

--------------------------------------10分(Ⅲ)当时,考查,不合题意,舍;当时,由(Ⅱ)知。故只需,即

-----------------------11分令,则不等式为,且。构造函数,则,知函数在区间上单调递增。因为,所以当时,,这说明不等式的解为,即得。综上,实数的取值范围是

--------------------------------------14分20.(12分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅱ)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;参考答案:解析:(Ⅰ)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.--------------------------------2分∴----------------------------6分(Ⅱ)不论点E在何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------7分证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC-----------9分又∵∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC

∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE-------12分21

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