福建省龙岩市六甲中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

福建省龙岩市六甲中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，点分别是上，且，线段与相交于点P，且，则用和表示为A．

B．

C．

D．

参考答案：A2.对实数和，定义运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：B本题是一个新定义运算型问题，考查了同学们处理新知识的能力，难度中等。由条件可知，的图象与x轴恰有两个公共点即y=f(x)的图象与y=c的图象有两个交点，结合图象易知当c或时成立。3.

已知命题，若非p是的必要不充分条件，则的取值范围是A.

B.

C.

D.

参考答案：答案：B4.已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3] D．[﹣1，3]参考答案：A【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．5.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D6.数列满足，则的前60项的和为A

3690

B

3660

C

1845

D

1830

参考答案：D7.将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知函数，若对于任意的恒成立，则a的最小值等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.设实数满足：，则的大小关系为A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．b<c<a参考答案：A，，故.10.已知全集，集合,，则B（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．12.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为

.

参考答案：略13.执行右边的程序框图，若，则输出的S=

．参考答案：由程序框图可知该程序是计算.当时，由得，所以所求的。14.给出下列4个命题：①函数是奇函数的充要条件是；②若函数的定义域是，则；③不等式的解集为；④函数的图像与直线至多有一个交点.其中正确命题的序号是

．参考答案：①④15.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值等于

．参考答案：设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，底面外接圆半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，即为异面直线与所成角或补角，，，所以．16.幂函数在上增函数，则m=

参考答案：317.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于_______.

参考答案：由题意可得，所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列．例如数列的控制数列是.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列是，写出所有的；（Ⅱ）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：（）.（Ⅲ）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）解：数列有个，分别为；；；；；.（Ⅱ）证明：因为，，所以.因为，，所以，即，故，即.

于是，故，（）.

（Ⅲ）设数列的控制数列为，因为为前个正整数中最大的一个，所以．

若为等差数列，设公差为，因为，所以．且

（1）当时，为常数列：.（或），此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；

（2）当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；

（3）当时，，又，，.这与矛盾！所以此时不存在.综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．

略19.已知四棱锥P﹣ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）求此四棱锥的体积；（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．参考答案：（1）解：由题意可知，PA⊥底面ABCD，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积SABCD=2×2=4，高h=2，所以．（2）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD，又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD，又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD．（3）证明：∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD且又∵CD∥AB且CD=AB，∴EF∥AB且，∴四边形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交．所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面．略20.

如图，正三棱柱中，D是BC的中点，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

参考答案：

（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

∴BD是B1D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中点，

∴AD⊥BD，

根据三垂线定理得，AD⊥B1D

（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.

∵AA1=AB

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C.…………7分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D.……9分

（Ⅲ）

……13分

略21.如图一，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为测棱PD上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示.（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求二面角A-BM-C的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)证：由俯视图可得

∴BC⊥BD 1分

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD 2分

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD 3分

∵BC?平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD． 4分(Ⅱ)解：由侧视图可得MD=3

由俯视图及ABCD是直角梯形得：

5分

∴ 6分

以为x轴、y轴、z轴建立的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)

设平面AMB的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则，即

令，则，∴是平面AMB的一个法向量 8分

设平面BMC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则，即

令x2=3，则，∴是平面BMC的一个法向量 10分

又由图可知，二面角A－BM－C为钝二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值为． 12分

22.已知点集,其中为向量,点列在点集中,为的轨迹与轴的交点,已知数列为等差数列,且公差为1,.(1)求数列,的通项公式;(2)求的最小值;(3)设,求的值.参考答案