黑龙江省伊春市宜春黄土岗中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

黑龙江省伊春市宜春黄土岗中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）函数的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点．【专题】：计算题．【分析】：由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得，解：由题意知log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0，由此可解得，故选A．【点评】：本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用．2.如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的．则四边形的面积构成公比为的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的，四边形的面积构成公比为的等比数列，∴第n个正方形的面积为，即第四个正方形的面积.∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝，故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.3.已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．

B．2

C．4

D．参考答案：B分析： 三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答： 解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评： 本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．4.设集合M={-1，0，1，2}，N={x|x2-x-2＜0}，则M∩N=（

）A.{0，1}

B.{-1，0}

C.{1，2}

D.{-1，2}参考答案：A试题分析：因为，，所以，故选A.5.已知为虚数单位，且，则的值为A.4

B.

C.

D.参考答案：C6.若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数为（

）A．150

B．114

C．70

D．50参考答案：B试题分析：作出平面区域，如图所示，则区域的面积为，区域表示以为圆心，以为半径的圆，则区域和的公共面积为，所以芝麻落入区域的概率为，所以落在区域中的芝麻数约为，故选B.考点：几何概型；二元一次不等式组表示的平面区域.7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则B=（）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对参考答案：C8.已知函数，若实数是方程的解，

且，则的值（

）A．恒为负

B．等于零

C．恒为正

D．不小于零参考答案：A9.若集合，则（

）A．B．或C．D．参考答案：C略10.已知全集，则为A.{-1,1}

B.{-2} C.{-2,2} D.{-2,0,2}参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断： ①f（x）是周期函数； ②f（x）关于直线x=1对称； ③f（x）在[0，1]上是增函数； ④f（x）在[1，2]上是减函数； ⑤f（2）=f（0）， 其中正确的序号是． 参考答案：①②⑤【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间． 【专题】压轴题． 【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再根据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可． 【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2）， ∴f（x）是周期为2的函数，则①正确． 又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x）， ∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确， 又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数， ∴f（x）在[0，1]上是减函数， 又∵对称轴为x=1． ∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0）， 故③④错误，⑤正确． 故答案应为①②⑤． 【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆． 12.已知x>0,y>0,且，则的最小值为________.参考答案：1213.函数的最小正周期是

，最小值是

．参考答案：考点：三角函数的图像与性质最小值为：-2+1=-1.14.过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=

．参考答案：4【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．15.已知平面区域的面积是5,则实数____参考答案：答案:

16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．参考答案：17.在等比数列中，，且，，成等差数列，则通项公式

.参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】设，带入，解得，则，.【思路点拨】根据等差数列的性质列关系式，求出通项公式。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．（1）证明：∠PBC=90°；（2）若PB=3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．【分析】（1）取AD中点O，连OP、OB，证明AD⊥平面POB，利用BC∥AD，可得BC⊥平面POB，从而可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴BC⊥PB，即∠PBC=90°．（2）解：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），由PO=BO=，PB=3，得∠POB=120°，∴∠POz=30°，∴P（0，﹣，），则=（﹣1，，0），=（﹣2，0，0），=（0，，﹣），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取z=，则=（0，1，），设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．19.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.参考答案：（I）（II）X的所有可能的取值为：0,1,2,3，∴X的分布列为：X0123P∴略20.已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么曲线；（2）先求出过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l参数方程，然后代入曲线C1，利用参数的应用进行求解的即可．【解答】解：（1）∵C1：（t为参数），C2：（θ为参数），∴消去参数得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：，曲线C1为圆心是（﹣2，1），半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．（2）曲线C2的左顶点为（﹣4，0），则直线l的参数方程为（s为参数）将其代入曲线C1整理可得：s2﹣3s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1+s2=3，s1s2=4，所以|AB|=|s1﹣s2|==．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点的距离公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．21.（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目

测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，解得.所以此次测试总人数为．

答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．

……4分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为．

……7分（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．

从这8人中随机抽取2人有，

共28种情况．

事件A包括共12种情况．

所以．

答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．

……………13分22.（本小题满分12分）

已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于两点，设

，求的最大值．参考答案：（I）；（II）．试题解析：（Ⅰ）设代入已知可得，轨迹C的轨迹方程为．

-------------4分（Ⅱ）设，则圆的方程为．---------6分令