-高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时跟踪训练（含解析）新人教A版选修1-

复数代数形式的加减运算及其几何意义[A组学业达标]1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－iC．i D．－i解析：原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.答案：A2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．答案：D3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2 B．4C．3 D．－4解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.答案：B4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3 B．2C．1 D．－1解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.答案：D5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则eq\o(CD,\s\up10(→))对应的复数是()A．2＋4i B．－2＋4iC．－4＋2i D．4－2i解析：依题意有eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即eq\o(CD,\s\up10(→))对应的复数为4－2i.故选D.答案：D6．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，∴a＝0，b＋3≠∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i.答案：3i7．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则|eq\o(BD,\s\up10(→))|等于________．解析：如图，设D(x，y)，F是▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝4，,y＋0＝3，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝3＋3i－1＝2＋3i，所以|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝eq\r(13).答案：eq\r(13)8．若复数z满足z－1＝cosθ＋sinθi，则|z|的最大值为________．解析：∵z－1＝cosθ＋sinθi，∴z＝1＋cosθ＋sinθi.则|z|＝eq\r(1＋cosθ2＋sin2θ)＝eq\r(21＋cosθ)≤2.答案：29．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求m的值．解析：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)若z为实数，则m2－3m所以m＝1或2.(2)若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－3m－2＝0，,m2－3m＋2≠0，))解得m＝－eq\f(1,2).故当m＝－eq\f(1,2)时，z为纯虚数．10．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)向量eq\o(AO,\s\up10(→))对应的复数；(2)向量eq\o(CA,\s\up10(→))对应的复数；(3)向量eq\o(OB,\s\up10(→))对应的复数．解析：(1)因为eq\o(AO,\s\up10(→))＝－eq\o(OA,\s\up10(→))，所以向量eq\o(AO,\s\up10(→))对应的复数为－3－2i.(2)因为eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))，所以向量eq\o(CA,\s\up10(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))，所以向量eq\o(OB,\s\up10(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.[B组能力提升]1．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．答案：A2．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5解析：设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝eq\r(x－22＋y－22)表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.答案：B3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(a2＋b2)－3，,b＝－4，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,6)，,b＝－4，))所以z＝eq\f(7,6)－4i.答案：eq\f(7,6)－4i4．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设eq\o(AB,\s\up10(→))对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝eq\f(1,2)x上，求θ的值．解析：(1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．∴eq\o(AB,\s\up10(→))对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)