Z变换及Z传递函数关系

Z变换及Z传递函数关系

Z传递函数的定义

设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换则G(z)就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。

Z传递函数的定义

如果已知U(z)和G(z)，则在零初始条件下离散系统的输出采样信号为因此，求解y*(t)的问题就转换为求系统的Z传递函数，这就表明Z传递函数G(z)可以表征线性离散系统的性能。

Z传递函数与脉冲响应函数的关系

G(s)T

U(z)u(t)y(t)Y(z)G(z)u*(t)y*(t)T设G(s)的输入为理想的脉冲信号脉冲响应函数则输出系统响应的卷积积分公式对于任意输入则输出

Z传递函数与脉冲响应函数的关系

设G(s)的输入为任意脉冲序列，有则输出响应为上式描述了一个脉冲序列作用于连续系统时，连续系统输出的表达式

Z传递函数与脉冲响应函数的关系

用y(kT)来描述y(t)的特征，有对于物理可实现系统根据Z变换的卷积定理

Z传递函数与脉冲响应函数的关系

Z传递函数的含义：系统Z传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t)的采样值g*(t)的Z变换。因此，Z传递函数又称为脉冲传递函数Z传递函数的求法

1．用拉氏反变换求脉冲过渡函数2．将g(t)按采样周期T离散化，得g(kT)3．应用定义求出Z传递函数，即G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(t)的Z变换。G(s)只与连续环节本身有关，G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为例已知解式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可得上式对应的脉冲传递函数为开环Z传递函数

串联环节的Z传递函数串联环节的Z传递函数的结构有两种情况：—种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号。

G1(s)Y(s)T

U(z)U(s)Y1(s)Y(z)G2(s)G(z)输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即上式对应的Z传递函数为上式中符号是的缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。

另一种是两个环节之间有同步采样开关存在。

G1(s)T

U(z)U(s)T

Y1(z)G2(s)Y(z)G(z)两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直接求出。

串联环节总的Z传递函数为

由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。在一般情况下，很容易证明：在进行计算时，应引起注意。结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积，即如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数然后再根据G(s)求G(z)。一般表示成

例：

已知分别求出串联环节两种情况的Z传递函数G(z)

并联环节的Z传递函数对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关。

G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采样开关在总输入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采样开关在各个环节输入端G2(s)Y2(s)Y(s)Y(z)根据上图可知，总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和，即上述关系可以推广到n个环节并联时、在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况。总的Z传递函数等于各环节Z传递函数之和，即闭环Z传递函数

设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则有如下定义：

闭环Z传递函数：

闭环误差Z传递函数：

Y(z)E(z)R(z)G(s)例设离散系统如图所示，求该系统的闭环误差Z传递函数及闭环Z传递函数。

Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)e(t)TH(s)G(s)解：G(s)与H(s)为串联环节且之间没有采样开关，则有闭环误差Z传递函数：又：闭环Z传递函数：

Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)e(t)TH(s)G1(s)U(z)u*(t)TG2(s)Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)Tk0kTE1(z)e1*(t)Z传递函数的物理可实现性

从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果”关系。设G(z)的一般表达式为：

不失一般性，假定其中的系统m≥0，n≥0，其余系数为任意给定值，则其对应的差分方程为由上式知，k时刻的输出y(k)不依赖于k时刻之后的输入，只取决于k时刻及k时刻之前的输入和k时刻之前的输出。故G(z)是物理可实现的。

若设G(z)的一般表达式为

不失一般性，假定其中的系统m≥0，n≥0，其余系数为任意给定值，则

如果G(z)是物理可实现的，则要求n≥m。否则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的输入，这是物理不可实现的。在扰动作用下的线性离散系统

线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用，如图所示。

根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应y(t)应为参考输入r(t)和扰动作用f(t)分别单独作用所引起响应的迭加。f(t)U(z)u*(t