第四章一次函数微-应用题训练2（北师大版数学八年级上册）

北师大版数学八年级上册

第四章一次函数微专题一一应用题训练2

1.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间x(h)的

关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是,从点燃到燃尽所用的时间分别是;

(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式；

(3)当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等・

3.A,8两地相距12km,甲骑自行车从4地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往4地,

如图的折线。PQ和线段EF分别表示甲、乙两人与4地的距离、砂Vz与他们所行时间武九)之间

的函数关系，且0P与EF相交于点M.

(1)求V乙与x的函数表达式以及两人相遇地点与/地的距离.

(2)求线段0P对应的y尹与x的函数表达式.

(3)求经过多少小时，甲、乙两人相距3km.

4.如图(1)是某手机专卖店每周收支差额y(元)(手机总利润减去运营成本)与手机台数x(台)

的函数图象，由于疫情影响目前这个专卖店亏损，店家决定采取措施扭亏.

5.方式一：改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏.

6.方式二：运营成本不变，提高每台手机利润实现扭亏(假设每台手机的利润都相同).

7.解决以下问题：

8.(1)说明图(1)中点4和点B的实际意义；

9.(2)若店家决定采用方式一如图(2),要使每周卖出70台时就能实现扭亏(收支平衡)，求节

约了多少运营成本？

10.(3)若店家决定两种方式都采用，降低运营成本为m元，提高每台手机利润n元，当5000W

m<7000,50<n<100时，求店家每周销售100台手机时可获得的收支差额范围，并在图(3)

中画出取得最大收支差额时y与x的关系的大致图象，要求描出反映关键数据的点.

图⑴图(2)图(3)

11.某超市对a,B两种商品开展促销活动，活动方案有如下两种(同一种商品不可同时参与两

种活动).

AB

标价(单位：元)100110

方案一

每件商品返利按标价的30%按标价的15%

例：买一件4商品，只需付款100(1-30%)元

方案二若所购商品达到或超过101件(不同商品可累计)，则按标价的20%返利

若某单位购买/商品x件。为正整数)，购买B商品的件数比4商品件数的2倍还多2件，方案一

的付款金额为吻，方案二的付款金额为卬2・

(1)请写出叼，W2与X之间的函数表达式；

(2)该单位该如何选择活动方案，才能获得最大优惠•请说明理由；

(3)若该单位购买4商品50件，则购买B商品多少件•此时按最大优惠的付款金额为多少元•

12.研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:

氮肥施用量

03467101135202259336404471

/kg

土豆产量/t15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)当氮肥的施用量是101kg/历/^(厉必是单位“公顷”的符号)时，土豆的产量是多少？如果

不施氮肥呢？

(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.

（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.

13.某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出

发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立

即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为双分钟），

图1中线段04和折线B分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分钟）的

函数关系的图象;图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分钟）的函数关系的图象

（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；

（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离;

（3）在图2中，画出当25WxW30时，s关于x的函数的大致图象.

15.随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习

交流已不再是梦，现有某教学网站策划了4B两种上网学习的月收费方式:

收费方式月使用费/元包时上网时间"超时费/（元/m比）

A7250.01

Bmn0.01

设每月上网学习时间为小时，方案的收费金额分别为力，

x4ByB.

（1）如图是知与》之间函数关系的图象，请根据图象填空：m=;n=

（2）写出为与x之间的函数关系式.

（3）选择哪种方式上网学习合算，为什么？

16.自新冠肺炎疫情爆发以来，市场对口罩的需求量急剧增大.某口罩生产商自二月份以来，

一直积极提高产能，每日口罩生产量y（百万个）与天数x（x为正整数）的函数关系图象如图所示

.而该生产商对口的供应市场对口罩的需求量不断上升，且每日需求量z（百万个）与天数x满足

一次函数关系已知第1天需求1500万个口罩，第6天需求2000万个口罩.

17.

(1)求y与％的函数表达式.

(2)当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，求二月份以来，市民无需预

约即可购买口罩的天数.

18.我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，活动方案如下.

19.方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠;

20.方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠.

21.设某学生假期游泳x(次)，按照方案一所需费用为月(元)，且yi=k6+b；按照方案二所

需费用为丫2(元)，且=七》•其函数图象如图所示・

22.(1)求％关于x的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次

游泳的费用;

23.(2)求打折前的每次游泳费用和的的值;

24.(3)八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？

说明理由.

25.4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.

26.甲书店：所有书籍按标价8折出售；

27.乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折.

28.(1)以x(单位：元)表示标价总额，y(单位：元)表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方

式，求y关于x的函数解析式；

29.(2)“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？

30.疫苗接种，利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5万人

接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况

变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内,

甲、乙两地的接种人数y(万人)与各自接种时间x(天)之间的关系如图所示.

31.(1)直接写出乙地每天接种的人数及a的值；

32.(2)当甲地接种速度放缓后，求y关于％的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

33.(3)当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数.

34.

35.某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.居民每月应交水费y（元）是用

水量x（吨）的函数其图象如图所示.

36.⑴求y与x的函数解析式；

37.（2）若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？

38.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.

设某学生暑期健身支（次），方案一所需费用%=/qx+b;方案二所需费用丁2=心》,其函数图象

如图所示.

(1)求七和b的值，并说明它们的实际意义.

(2)求打折前的每次健身费用和心的值.

(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少•说明理由.

39.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8:00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休

息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12:00准时

到达乙地.设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线。CDE表示接到通知前y与x之

间的函数关系.

41.(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/时;

42.(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数解析式；

43.(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达•请说明理由.

44.某玩具厂在圣诞节期间准备生产4B两种玩具共80万套，两种玩具的成本和售价如下表:

AB

成本(元/套)2528

售价(元/套)3034

(1)若该厂所筹集资金为2180万元，且所筹资金全部用于生产，则这两种玩具各生产多少万

套？

(2)设该厂生产4种玩具化万套，两种玩具所获得的总利润为w万元，请写出w与x的关系式.

(3)由于资金短缺，该厂所筹集的资金有限，只够生产4种49万套、B种31万套或者4种50万

套、B种30万套.但根据市场调查，每套4种玩具的售价将提高a元(a>0),B种玩具售价不

变，且所生产的玩具可全部售出，该玩具厂将如何安排生产才能获得最大利润？

45.江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售

品质相同的小龙虾.“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙(单位:

元)与原价M单位：元)之间的函数关系如图所示.

48.(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

49.点燃蜡烛时，蜡烛燃烧长度与时间成正比例函数关系，长为21cm的蜡烛，点燃6min后变

短了3.6cm.设蜡烛点燃xmin后变短了ycm.求：

(l)y关于x的函数表达式.

(2)自变量X的取值范围.

(3)此蜡烛点燃几分钟后燃烧完•

50.某航空公司规定乘客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李

费y(元)是行李质量％(kg)的一次函数.已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为

50kg时需付行李费8元.

(1)当行李的质量%超过规定时，求y与％之间的函数表达式.

(2)求乘客最多可免费携带的行李的质量.

参考答案

1.解：(l)30cm,25cm；2h,2.5九；

(2)设甲蜡烛燃烧时y与％之间的函数表达式为y=k.x+

由图可知，函数的图象过点(2,0),(0,30),

2kl+瓦=0懈得［k]=—15,

b]=30,b]=30.

・,・甲蜡烛燃烧时y与久之间的函数表达式为y=-15%+30；

设乙蜡烛燃烧时y与％之间的函数表达式为y=k2x+b2,

由图可知，函数的图象过点(250),(0,25),

[2.5fc2+b2O'解得女2=-10,

lb2=25,=25.

，乙蜡烛燃烧时y与i之间的函数表达式为y=-10%+25；

⑶联立忧之4

解得｛；：；5.

.•.当％=1时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等.

2.解：(1)设与％的函数关系式是=kx+b,

•・•点(0,12),(2,0)在函数y乙=kx+b的图象上，

.仅=12

"l2k+b=0'

解得仁：；，

即y,与x的函数关系式是=-6x+12,

当x=0.5时，yz=-6x0.5+12=9,

即两人相遇地点与4地的距离是9km；

(2)设线段OP对应的y/与％的函数关系式是y*=ax,

•••点(0.5,9)在函数丫/=数的图象上,

9=0.5a,

解得Q=18,

即线段OP对应的y中与％的函数关系式是y/=i8x；

(3)令|18尢一(-6%+12)1=3,

解得，%!=!，x-

O2O

即经过。小时或射、时时，甲、乙两人相距3km.

OO

3.解：(1)由图像可知4点是函数图象与x轴的交点，所以点4的实际意义表示当卖出100台手机时，

该专卖店每周收支差额为0;

B点是函数图象与y轴的交点，所以点B的实际意义表示当手机店一台手机都没有卖出时，该专卖

店节损20000兀；

(2)由图(1)可求出以前的函数为y=200x-20000,

若店家决定采用方式一，降低运营成本，即将函数图象上下平移，所以可以设新函数为y=200x+

b,

•••函数图象经过点(70,0),代入可得200x70+b=0,解得：b=-14000,

要使每周卖出70台时就能实现扭亏(收支平衡)，运营成本为14000元，节约了6000元运营成本;

(3)设新函数为y=(200+n)x-(20000-m),

•：50<n<100,5000<m<7000

250<200+n<300,13000<20000-m<15000

当店家每周售出100台手机，收支差额最小时y=250X100-15000=10000,

收支差额最大时y=300x100-13000=17000,

二收支差额范围为10000<y<17000,

4.解:(l)Wi=100(1-30%)x+110(1-15%)(2x+2)=257%+187.

当4B两种商品累计件数达到或超过101件，即x233时，

W2=[100%+110(2%+2)](1-20%)=256%+176.

(2)由题意，得x+2x+2=101,解得x=33.

当总件数不足101件，即％<33时，选择方案一比较优惠；

当总件数大于等于101件时,即x>33时，W1-w2=(257%+187)-(256x+176)=x+11>0,

.•・选择方案二比较优惠.

(3)当x=50时，2%+2=102(件)，此时选择方案二比较优惠，

w2=256X50+176=12976(元).

答：购买B商品102件，此时按最大优惠的付款金额为12976元.

5.解：(1)上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系；

(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是：32.29吨/公顷，

如果不施氮肥，土豆的产量是：15.18吨/公顷；

(3)当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施

肥太多或太少都会使土豆产量减产;

（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用

量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产.

6.解：（1）由题意可得，甲步行的速度为2400+30=80（米/分钟），

乙出发时甲离开小区的路程是10x80=800（米）.

答：甲步行的速度是80米/分钟，乙出发时甲离开小区的路程是800米.

（2）设直线。4的函数表达式为y=kx,

：.30/c=2400,解得k=80,

•••直线04的函数表达式为y=80x.

当x=18时，y=80x18=1440,

则乙骑自行车的速度为1440+（18-10）=180（米/分钟）.

•.•乙骑自行车的时间为25-10=15（分钟），

乙骑自行车的路程为180x（25-10）=2700（米），

当x=25时，甲走过的路程为80x25=2000（米），

・•.乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离为2700-2000=700（米）.

答：乙骑自行车的速度是180米/分钟，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米.

（3）乙步行的速度为80-5=75（米/分钟），

•••乙到达学校的时间为25+（2700-2400）+75=29（分钟）.

当25SXW30时，s关于x的函数的大致图象如图所示.

M米）f

10G252930M分钟)

7.(1)10;50

(2)为与％之间的函数关系式为:

当工<25时,=7,

当%>25时，=7+(%-25)X60X0.01,

:.yA—0.6%—8,

=f7(0<x<25)

“以一10.6%-8(x>25),

(3):知与x之间函数关系为：当xW50时，yB=10,

当x>50时，ye=10+(x-50)x60x0.01=0.6x-20,

当0<xS25时，yA=7,yB=50,

F<VB<

••・选择4方式上网学习合算，

当25cxs50时.yA=yB,即0.6x—8=10,解得；x=30,

.,•当25cx<30时，yA<yB,选择4方式上网学习合算，

当x=30时，yA=yB,选择哪种方式上网学习都行，

当30<xW50,yA>yB<选择B方式上网学习合算，

当x>50时，vyA=0.6x—8,yB=0.6x—20,以>丫8，二选择B方式上网学习合算,

综上所述：当0<x<30时，力<外,选择4方式上网学习合算，

当x=30时，%=犯，选择哪种方式上网学习都行，

当x>30时，yA>yB,选择B方式上网学习合算.

8.解：(1)当0Wx<18时一，设y与x的函数表达式为丫=/£X+外/£40),

由题意可得，看:争+人，

(0=10,

*=2,

"lb=10,

:.y=2x+10,

当%>18时，y=46,

综上所述，”｛就券)GV到'

(2)设每日需求量z(百万个)与天数x满足的一次函数关系为z=mx+n(m40),

由题意可得,(20XA,

解得｛:二；4,

・•・z=%+14.

当0<x<18时,由y>z,

得2%+102%+14,

A4<x<18;

当%>18时，由y>z,

得x+14W46,

・•・18<%<32,

4<x<32,且％为整数，

・・・市民无需预约即可购买口罩的天数共有29天.

9解:(1)因为％=融％+」过点(0,30),(10,180),

所以&那…80,解哦=3，

所以购买一张学生卡的费用为30元和购买一张学生卡后每次游泳费用为15元。

(2)由题意可得，打折前的每次健身费用为15+0.6=25(元)，

则七=25x0.8=20；

(3)选择方案一所需费用更少.理由如下：

由题意可知，yx=15%+30,y2=20x.

当健身8次时，

选择方案一所需费用：yx=15x8+30=150(元)，

选择方案二所需费用：丫2=20x8=160(元)，

因为150<160,

所以选择方案一所需费用更少.

10.解:(1)甲书店：y=0.8%,

乙书店：y=｛瑟X*%>100-

(2)令0.8x=0.6x+40,

解得：%=200,

当x<200时，选择甲书店更省钱，

当x=200,甲乙书店所需费用相同，

当x>200,选择乙书店更省钱.

11.解：(1)乙地接种速度为40+80=0.5(万人/天),

0.5a=25—5»

解得a=40.

(2)设丫=依+8将(40,25),(100,40)代入解析式得:

[25=40k+b

Uo=10Qk+b'

解得卜，

lz?=15

1

・•・y=-%4-15(40<x<100).

(3)把x=80代入y=+15得y=[x80+15=35,

40-35=5(万人).

12.解：(1)当xW5时，设y与％之间的函数解析式为：y=ax,

把点(5,3.6),代入得：5a=3.6,

解得a=0.72.

故y=0.72x(x<5)；

当％>5时，设y与％之间的函数解析式为：y=kx+b.

而该函数图象经过A点(5,3.6)和8(8,6.3),

+b=3.6

<+b=6.3'

解得：b=-0.9,k=0.9.

故y=0.9x—0.9(%>5),

_tO.72x(0<%<5)

"y=(0.9x-0.9(x>5);

(2)x=3.5吨时，则将x的值代入y=0.72x,得y=2.52.

则交水费2.52元；

交水费9元时，

v3.6<9,

交水费9元时用水超过5吨.

将y=9代入y=0.9x-0.9,

得0.9久-0.9=9,

解得x=11.

故交水费9元时，用水11吨.

13.(1)•••%=ktx+b过点(0,30),(10,180),

由180=10/C1+30,解得峪=15,b=30.

的=15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后，每次健身费用为15元；

b=30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元.

(2)由题意可得，打折前每次健身费用为15+0.6=25(元)，

则七=25x0.8=20.

(3)当健身8次时，选择方案一所需费用为%=15x8+30=150(元)；

选择方案二所需费用为丫2=20x8=160(元).

v150<160,

••・选择方案一所需费用较少.

14.解：(1)80；

(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为：(240-80)+80+1.5=3.5(小时)，

•••点£的坐标为(3.5,240),

设线段CE所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b,则：

(1.5k+b=80

(3.5k+b=240，

解得仁驾

••・线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y=80x-40,其中1.5<%<3.5；

(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290+80+0.5=4.125(小时),

12：00-8：00=4(小时)，

4.125>4,

所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达.

15.解：(1)设生产4种玩具x万套，B种玩具(80-%)万套，

根据题意得，25xx10000+28(80-x)x10000=2180X10000,

解得x=20,

80-20=60,

答：生产4种玩具20万套，B种玩具60万套.

(2)ivx10000=(30-25)xX10000+(34-28)(80-%)x10000.

化简，得

w=-X+480.

即w与x的关系式是：w=-x+480.

(3)根据题意可得，获得的利润为：w=-x+480+ax.

当x=49时，wi=-49+4